Eigenschappen van machtsfunties

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Machtsfuncties > Eigenschappen van machtsfunties > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Machtsfuncties > Eigenschappen van machtsfunties > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg, pagina 1.
   Maak de functies: ${\displaystyle f\left(x\right)=x^4}$, ${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$, ${\displaystyle h\left(x\right)=x^2}$ en ${\displaystyle j\left(x\right)=x}$.
   1. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt: ${\displaystyle f\left(x\right)=g\left(x\right)}$? En ${\displaystyle f\left(x\right)>g\left(x\right)}$?
   2. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt: ${\displaystyle f\left(x\right)=h\left(x\right)}$? En ${\displaystyle f\left(x\right)>h\left(x\right)}$?
   3. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt: ${\displaystyle f\left(x\right)=j\left(x\right)}$? En ${\displaystyle f\left(x\right)>j\left(x\right)}$?
   4. Om de voorgaande vragen in het algemeen te kunnen beantwoorden, kijk je naar twee functies: ${\displaystyle f\left(x\right)=x^p}$ en ${\displaystyle g\left(x\right)=x^q}$, waarbij ${\displaystyle p}$ een even positief getal is en ${\displaystyle q}$ een oneven positief getal.
      Neem de tabel over en vul hem in.
   
   

   				${\displaystyle x>1}$
   ${\displaystyle p>q}$



2. Bekijk de functies ${\displaystyle k\left(x\right)=x^5}$ en ${\displaystyle l\left(x\right)=x^6}$.
   1. Maak een schets van de grafieken van ${\displaystyle k\left(x\right)}$ en ${\displaystyle l\left(x\right)}$. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.
   2. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ${\displaystyle x^6=10}$? Los op: .
   3. En voor welke waarde van ${\displaystyle x}$ geldt ${\displaystyle x^5=10}$? Los op: ${\displaystyle x^5>10}$.


3. Bekijk de Uitleg, pagina 2.
   Maak de functies: ${\displaystyle k\left(x\right)=x^{-1}}$ en ${\displaystyle l\left(x\right)=x^{-2}}$.
   1. Welke asymptoten hebben deze functies? En waarom?
   2. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ${\displaystyle k\left(x\right)=l\left(x\right)}$? Los op: .
   3. Los de volgende vergelijkingen op:
      • ${\displaystyle x^{-1}=\mathrm{0,005}}$ en ${\displaystyle x^{-2}=\mathrm{0,005}}$
      • ${\displaystyle x^{-1}=5000}$ en ${\displaystyle x^{-2}=5000}$
   4. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ?
   5. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ${\displaystyle x^{-1}>5000}$?
   6. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ?
   7. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ${\displaystyle x^{-2}>5000}$?


4. Bekijk de Uitleg, pagina 3.
   Maak de functies: ${\displaystyle a\left(x\right)=x^{-\frac{1}{2}}}$, ${\displaystyle b\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$, ${\displaystyle c\left(x\right)=x}$ en ${\displaystyle d\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$
   1. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ?
   2. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ?
   3. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ?
   4. Maak in één figuur een schets van de grafieken van ${\displaystyle d\left(x\right)}$ en ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{4}}}$. Controleer je schets met de grafische rekenmachine.
   5. Voor welke waarden van ${\displaystyle x}$ geldt ${\displaystyle x^{\frac{1}{4}}>4}$?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Machtsfuncties > Eigenschappen van machtsfunties > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

5. In Voorbeeld 1 zie je hoe je de ongelijkheid oplost.
   1. Los zelf eerst de vergelijking ${\displaystyle 3x^{\frac{3}{2}}=12}$ algebraïsch op.
   2. In het voorbeeld wordt daarbij een macht met exponent ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ gebruikt. Licht die stap toe.
      Heb je dat zelf ook gedaan?
   3. Los op dezelfde manier algebraïsch op: .
      Geef je eindantwoord in twee decimalen nauwkeurig.


6. Bekijk de functie ${\displaystyle f\left(x\right)=3{(x+1)}^3-5}$.
   1. Beschrijf in de juiste volgorde welke transformaties er nodig zijn vanuit ${\displaystyle y=x^3}$ om tot de functie ${\displaystyle f\left(x\right)}$ te komen. Geef elke keer aan wat er met de grafiek gebeurt als je deze transformatie toepast. Werk eventueel met de applet in Voorbeeld 2.
   2. Los op: .


7. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch op. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine. Houd ook rekening met het domein van de verschillende functies.
   2. ${\displaystyle \frac{1}{x^4}=81}$


8. Gegeven is de functie ${\displaystyle f\left(x\right)=2{(x+1)}^{-2}-4}$.
   1. Welke asymptoten heeft de grafiek van ${\displaystyle y=x^{-2}}$?
   2. Beschrijf welke transformaties je moet uitvoeren op de grafiek van ${\displaystyle y=x^{-2}}$ om die van ${\displaystyle f}$ te krijgen.
   3. Welke asymptoten heeft de grafiek van ${\displaystyle f}$?
   4. Schrijf domein en bereik van ${\displaystyle f}$ op.
   5. Los op: .


9. Bestudeer Voorbeeld 4 over de formule van Kleiber. Er wordt een formule opgesteld voor het verband tussen het zuurstofverbruik ${\displaystyle Z}$ in L en de massa ${\displaystyle m}$ in kg bij zoogdieren. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de gegevens van de muis en het paard.
   1. Stel de formule op uitgaande van de gegevens van de rat en de mens. Vind je dezelfde formule?
   2. Bereken met de formule van Kleiber het zuurstofverbruik van een koe van 1000 kg.

Verwerken

10. In een grootwinkelbedrijf onderzoekt de marktafdeling hoe de tomatenverkoop afhangt van de prijs. Iemand beweert dat dan de volgende formule geldt: ${\displaystyle a=\frac{500}{p}}$. Hierin is ${\displaystyle a}$ de verkoop per dag in kg en ${\displaystyle p}$ de prijs per kg in euro.
    1. Schrijf de formule zo, dat blijkt dat de afzet recht evenredig is met de macht van de prijs.
    2. Teken de grafiek met de grafische rekenmachine voor de prijs tussen € 1,00 en € 5,00 per kg. Als de prijs verdubbeld wordt, wordt de afzet dan meer of minder dan de helft? Hoe kun je dat aan de grafiek direct zien?
    3. Het bedrijf heeft een voorraad van ${\displaystyle 300}$ kg tomaten. Bereken de prijs waarbij de voorraad binnen een dag is verkocht. Geef ook de formule waarmee je dit direct kunt berekenen.
    4. Hoe groot is de verkoop bij een prijs van € 0,01? En bij € 100,00? Geef zelf aan wat dit betekent voor de bruikbaarheid van deze formule.


11. Gegeven is de functie ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{x-1}}+5}$.
    1. Leg uit dat de grafiek van deze functie kan ontstaan door transformatie van de grafiek ${\displaystyle y=x^{-\frac{1}{2}}}$.
    2. Welke transformaties moet je toepassen om de grafiek van ${\displaystyle f}$ te krijgen?
    3. Schrijf domein en bereik van ${\displaystyle f}$ op.
    4. Los op: .


12. Bekijk de grafieken van de functies ${\displaystyle f\left(x\right)=-5+2\sqrt{x-3}}$ en ${\displaystyle g\left(x\right)=\sqrt{x}}$.
    1. Schrijf ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle g}$ als machtsfunctie en beschrijf hoe de grafiek van ${\displaystyle f\left(x\right)}$ vanuit die van ${\displaystyle g\left(x\right)}$ kan ontstaan.
    2. Geef het domein en bereik van zowel ${\displaystyle f}$ als ${\displaystyle g}$.
    3. Los op: ${\displaystyle f\left(x\right)\ge 100}$.


13. Gegeven is de functie ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{100}{{(x-10)}^2}+25}$.
    1. Laat zien, dat de grafiek van deze functie kan ontstaan uit een machtsfunctie. Schrijf bijbehorende transformaties op.
    2. Welke asymptoten heeft de grafiek van ${\displaystyle f}$?
    3. Schrijf domein en bereik van ${\displaystyle f}$ op.
    4. Los op: .


14. Een functie die door transformatie uit een machtsfunctie ontstaat is: ${\displaystyle h\left(x\right)=a{(x-b)}^c+d}$.
    1. Voor welke waarden van ${\displaystyle c}$ heeft de functie een maximum of minimum?
    2. Waar hangt het van af of het een maximum of minimum is?
    3. Hoe kun je uit deze formule aflezen waar de top zich bevindt? Geef de coördinaten van deze top.

Testen

15. Geef van de volgende machtsfuncties
    • het domein en het bereik;
    • de intervallen waarop de grafiek dalend dan wel stijgend is;
    • het maximum of minimum (voor zover van toepassing);
    • de asymptoten (voor zover van toepassing)
    1. ${\displaystyle a\left(x\right)=x^5}$ en ${\displaystyle b\left(x\right)=x^6}$
    2. ${\displaystyle c\left(x\right)=x^{-3}}$ en ${\displaystyle d\left(x\right)=x^{-4}}$
    3. ${\displaystyle e\left(x\right)=x^{\frac{1}{4}}}$ en ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{3\frac{1}{2}}}$


16. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch op.
    1. ${\displaystyle 2{(x+4)}^4-10=500}$
    2. ${\displaystyle 10-2\sqrt{x-4}>6}$
    4. ${\displaystyle 2{(x+1)}^3>20}$