Eigenschappen van machtsfuncties

Antwoorden bij de opgaven

    1. `x^4 = x^3` als `x = 0 vv x = 1`. `x^4 > x^3` voor waarden van `x` in `(:larr,0:)uu(:1,rarr:)`.
    2. `x^4 = x^2` als `x = -1 vv x = 1`. `x^4 > x^3` voor waarden van `x` in `(:larr,-1:)uu(:1,rarr:)`.
    3. `x^4 = x` als `x = 0 vv x = 1`. `x^4 > x` voor waarden van `x` in `(:larr,0:)uu(:1,rarr:)`.

    		4. `x < -1``-1 < x < 0``0 < x < 1``x > 1`
      `p < q``f(x) > g(x)``f(x) > g(x)``f(x) > g(x)``f(x) < g(x)`
      `p > q``f(x) > g(x)``f(x) > g(x)``f(x) < g(x)``f(x) > g(x)`
    1. -
    2. `x^6 = 10` geeft `x ~~ -1,47 vv x = 1,47`. `x^6 < 10` geeft `-1,47 < x < 1,47`.
    3. `x^5 = 10` geeft `x ~~ 1,58`. `x^5 < 10` geeft `x < 1,58`.
    1. `x = 0` (delen door `0`) en `y = 0`, want bij grote waarden van `x` wordt de functiewaarde ongeveer `0`.
    2. Als `1/x = 1/(x^2)` dan moet `x = x^2` en `x != 0`, dus `x = 1`.
      Grafieken tekenen geeft `1/x < 1(x^2)` als `x < 0 vv 0 < x < 1`.
    3. `x^(-1) = 0,005` geeft `x = 200`
      `x^(-2) = 0,005` geeft `x ~~ 14,14 vv x ~~ -14,14`
      `x^(-1) = 5000` geeft `x = 0,0002`
      `x^(-2) = 5000` geeft `x ~~ 0,01414 vv x ~~ -0,01414`
    4. `x < 0 vv x > 200`
    5. `0 < x < 0,0002`
    6. `x < -14,14 vv x > 14,14`
    7. `-0,01414 < x < 0 vv 0 < x < 0,01414`
    1. `x > 1`
    2. `x > 1`.
    3. `0 < x < 1`
    4. -
    5. `x > 256`
    1. -
    2. Omdat `(a^(3/2))^(2/3) = a^1 = a` heft een macht met exponent `2/3` een macht met exponent `3/2` als het ware op.
    3. `x^(3/5) = 12` geeft `x = 12^(5/3) ~~ 62,9`.
      `x^(3/5) < 12` geeft `0 <= x < 62,9`.
    1. Eerst `2` eenheden in de `x`-richting schuiven, daarna met `3` vermenigvuldigen t.o.v. de `x`-as, tenslotte `-5` eenheden in de `y`-richting schuiven.
    2. `f(x) = 10` geeft `(x + 2)^3 = 5` en dus `x + 3 = root[3](5)` zodat `x = -3 + root[3](5)`.
      `f(x) < 10` als `x < -3 + root[3](5)`.
    1. `0 < x < 1`
    2. `x = -1/3 vv x = 1/3`
    3. `x > 1/3`
    4. `x < 0 vv x > root[3](1/30)`
    5. `x < 0 vv 0 < x < 1`
    6. `-1 < x < 0 vv 0 < x < 1`
    1. `x = 0` en `y = 0`
    2. Eerst 1 eenheid in de `x`-richting verschuiven, dan met 2 vermenigvuldigen t.o.v. de `x`-as, tenslotte 4 eenheden in de `y`-richting verschuiven.
    3. `x = -1` en `y = -4`
    4. `text(D)_(f) = (:larr,-1:)uu(:-1,rarr:)` en `text(B)_(f) = (:-4,rarr:)`
    5. `f(x) = 10` geeft `(x + 1)^(-2) = 7` en dus `x = -1 - 7^(-1/2) vv x = -1 + 7^(-1/2)`.
      `f(x) < 10` als `x < -1 - 7^(-1/2) vv x > -1 + 7^(-1/2)`.
    1. rat: `Z = 0,75` en `m = 1,10` geeft: `0,75 = c * 1,10^p`
      mens: `Z = 18,0` en `m = 76,1` geeft: `18,0 = c * 76,1^p`
      Dit geeft: `24 ~~ 69,18^p` en dus `p ~~ 0,75`. Hieruit vind je `c ~~ 0,70`.
    2. `Z = 0,70 * 1000^(0,75) ~~ 124,5` L.
    1. `a = 500p^(-1)`
    2. Als `p = 2,50`, dan `a = 200` en als `p = 5,00`, dan `a = 100`. Bij verdubbeling van de prijs wordt de omzet gehalveerd.
    3. Als `a = 300`, dan `p = 500/300 ~~ 1,67`. Formule: `p = 500/a`.
    4. Als `p = 0,01`, dan `a = 50000` en als `p = 100`, dan `a = 5`. Dus `0,50 <= p <= 5`.
    1. `f(x) = 3 * (x - 1)^(-1/2) + 5`
    2. Eerst 1 verschuiven in de `x`-richting, dan met 3 vermenigvuldigen in de `y`-richting en tenslotte 5 in de `y`-richting verschuiven.
    3. `text(D)_(f) = (:1,rarr:)` en `text(B)_(f) = (:5,rarr:)`
    4. `3/(sqrt(x - 1)) + 5 = 10` geeft: `3/(sqrt(x - 1)) = 5` en `sqrt(x - 1) = 0,6`, zodat `x = 1,36`.
      `f(x) <= 10` als `x >= 1,36`.
    1. `f(x) = -5 + 2(x - 3)^(1/2)` en `g(x) = x^(1/2)`.
      Eerst 3 eenheden in de `x`-richting verschuiven, dan met 2 vermenigvuldigen t.o.v. `x`-as, tenslotte `-5` eenheden in de `y`-richting verschuiven.
    2. `text(D)_(f) = [3,rarr:)` en `text(B)_(f) = [-5,rarr:)`
      `text(D)_(g) = [0,rarr:)` en `text(B)_(g) = [0,rarr:)`
    3. `-5 + 2(x - 3)^(1/2) = 100` geeft `(x - 3)^(1/2) = 52,5` en dus `x = 2759,25`.
      `f (x) >= 100` voor `x >= 2759,25`.
    1. `f(x) = 110(x - 10)^(-2) + 25` ontstaat uit `y = x^(-2)` door: 10 eenheden in de `x`-richting verschuiven, met 100 vermenigvuldigen t.o.v. de `x`-as en 25 naar in de `y`-richting verschuiven.
    2. `x = 10` en `y = 25`
    3. `text(D)_(f) = (:larr,10:)uu(:10,rarr:)` en `text(B)_(f) = (:25,rarr:)`
    4. `f(x) = 50` geeft `(x - 10)^2 = 4` en `x = 8 vv x = 12`.
      `f (x) <= 50` voor `x <= 8 vv x >= 12`.
    1. Als `c` een geheel even getal is.
    2. Of `a` positief (minimum) of negatief (maximum) is.
    3. `b` en `d` geven de verschuiving van de basisfunctie aan. De "top" is `(b, d)`.
    1. `a`: `text(D)_(a) = RR` en `text(B)_a = RR`, stijgend voor elke `x`.
      `b`: `text(D)_b = RR` en `text(B)_b = [0,rarr:)`, stijgend voor `x < 0` en dalend voor `x > 0`.
    2. `c`: `text(D)_c = (:larr,0:)uu(:0,rarr:)` en `text(B)_c = (:larr,0:)uu(:0,rarr:)`, stijgend voor elke `x`, asymptoten `x=0` en `y=0`.
      `d`: `text(D)_d = (:larr,0:)uu(:0,rarr:)` en `text(B)_d = (:0,rarr:)`, stijgend voor `x < 0` en dalend voor `x > 0`, asymptoten `x=0` en `y=0`.
    3. `e`: `text(D)_e = [0,rarr:)` en `text(B)_e = [0,rarr:)`, stijgend voor elke `x > 0`.
      `f`: `text(D)_(f) = [0,rarr:)` en `text(B)_(f) = [0,rarr:)`, stijgend voor elke `x > 0`.
    1. `(x + 3)^4 = 255` geeft `x = -3 + root[4](255) vv x = -3 - root[4](255)`
    2. `10 - 2sqrt(x - 4) = 6` geeft: `sqrt(x - 4) = 2` en dus `x = 2^2 + 4 = 8`
      Oplossing ongelijkheid: `4 <= x < 8`.
    3. `root[4](x) = 20` geeft `x = 20^4`.
      Oplossing ongelijkheid: `0 <= x < 160000`.
    4. `2(x + 1)^3 = 100` geeft `(x+1)^3 = 50` en dus `x = -1 + root[3](50)`
      Oplossing ongelijkheid: `x > -1 + root[3](50)`.
    5. `5 + 2sqrt(x - 3) = 20` geeft `sqrt(x - 3) = 7,5` en dus `x = 59,25`
      Oplossing ongelijkheid: `3 <= x < 59,25`.