Logaritmische vergelijkingen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Voer in: Y1=3*log(X)/log(2)+16 met venster: `0 <= x <= 200` en `0 <= y <= 50`.
    2. `x ~~ 161,27`
    3. `3 * `2`log(x) + 16 = 38` geeft 2`log(x) = 22/3` en dus `x = 2^(22//3) ~~ 161,27`.
    4. En?
    1. Domein: `(:0, rarr:)`
      Bereik: `RR`
      Vericale asymptoot: `x = 0`
    2. `0 < x <= 161,26`
  3. `2 + 3 * `2`log(x - 4) = 11` geeft 2`log(x - 4) = 3` en dus `x - 4 = 2^3` en `x = 12`.
    De verticale asymptoot is `x = 4` en uit de grafiek lees je de oplossing van de ongelijkheid af: `4 < x <= 12`.
    1. `1 + 4 * `1/2`log(x + 5) = -3` geeft 1/2`log(x + 5) = -1` en `x + 5 = (1/2)^(-1) = 2` zodat `x = -3`.
    2. `text(D)_(f) = (:-5, rarr:)`, `text(B)_(f) = RR`, verticale asymptoot `x = -5`.
    3. Grafiek tekenen: `-5 < x <= -3`.
    1. `text(D)_(f) = (:0, rarr:)` en `text(D)_(g) = (:larr; 2,5:)`.
    2. De verticale asymptoot van de grafiek van `f` is: `x = 0`.
      De verticale asymptoot van de grafiek van `f` is: `x = 2,5`.
    3. `1/2 x = 5 - 2x` geeft `x = 2`.
    4. Bekijk de grafieken: `2 < x < 2,5`.
  6. 6`log(x(x - 1)) = 1` geeft `x^2 - x = 6` en dus `(x - 3)(x + 2) = 0`.
    Je vindt: `x = 3 vv x = -2` waarvan `x = -2` niet voldoet.
    1. 1/2`log(x) = `2`log(x) // `2`log(1/2) = -`2`log(x)`.
      Je krijgt dan 2`log(x) = -`2`log(x)` en dus 2`log(x) = 0` zodat `x = 2^0 = 1`.
    2. Bekijk beide grafieken: `0 < x < 1`.
    1. `x = (1/3)^4 = 1/81`
    2. Grafiek maken: `x >= 1/81`.
    3. 2`log(x - 2) = 16/4 = 4` geeft `x - 2 = 2^4 = 16` en dus `x = 18`.
    4. Grafiek maken: `2 < x <= 18`.
    5. 3`log(x - 2) = `3`log(3) + `3`log(2^5) = `3`log(96)` geeft `x = 98`.
    6. `log((2x)/(x - 1)) = 2` geeft `(2x)/(x - 1) = 10^2 = 100` en dus `2x = 100x - 100` zodat `x = 100/98 = 50/49`.
    1. `text(D)_(f) = (:-4, rarr:)`, `text(B)_(f) = RR`, verticale asymptoot `x = -4`.
    2. `f(x) = 0` geeft `log(x + 4) = 1/3` en dus `x + 4 = 10^(1/3)` zodat `x = root[3](10) - 4`.
      Grafiek: `x > root[3](10) - 4`.
    1. `text(D)_(g) = (:1, rarr:)`, `text(B)_(g) = RR`, verticale asymptoot `x = 1`.
    2. `g(x) = -14` geeft 1/3`log(x - 1) = -2` en dus `x - 1 = (1/3)^(-2) = 9` zodat `x = 10`.
      Grafiek: `1 < x <= 10`.
    1. 3`log(x) = `3`log(5^2), dus `x = 5^2 = 25`.
    2. 1/3`log(x) = `1/3`log(5 * 2)`, dus `x = 10`.
    3. 2`log(x) = 5`, dus `x = 2^5 = 32`.
    4. 5`log(x) = `5`log(5^3) + `5`log(3^4) = `5`log(5^3 * 3^4)`, dus `x = 125 * 81 = 10125`.
    5. `x = 5(2 - x)` geeft `x = 10/6 = 5/3`.
    6. 5`log(x) = `5`log(5^3) + `5`log(x^4) = `5`log(5^3 * x^4)`, geeft `x = 125x^4`, dus `x(125x^3 - 1) = 0` zodat `x = 0 vv x = 0,2`. Omdat `x = 0` niet voldoet is het antwoord `x = 0,2`.
    1. `text(D)_(f) = (:0, rarr:)`, `text(B)_(f) = RR`, verticale asymptoot `x = 0`.
      `text(D)_(g) = (:-3, rarr:)`, `text(B)_(g) = RR`, verticale asymptoot `x = -3`.
    2. 1/4`log(x) = -`4`log(x)`.
      `-1 + `4`log(x + 3) = -`4`log(x)` geeft 4`log(x + 3) + `4`log(x) = 1` en 4`log(x(x + 3)) = 1`.
      Dit betekent: `x^2 + 3x = 4^1 = 4` en dus `x^2 + 3x - 4 = 0`, zodat `x = -4 vv x = 1`.
      Alleen `x = 1` zit de beide domeinen.
    3. `x >= 1`
    4. `0 < x < 1`
    1. 4`log(x) = `2`log(x)` / 2`log(4) = 1/2`2`log(x)`.
      2`log(x - 3) = 1/2`2`log(x)` geeft `2 * `2`log(x - 3) = `2`log(x)` en 2`log(x - 3)^2 = `2`log(x)`.
      Dus is `x^2 - 6x + 9 = x` en dit geeft `x^2 - 7x + 9 = 0` zodat `x = (7 +- sqrt(13))/2`.
      Alleen `x = (7 + sqrt(13))/2` voldoet.
    2. `x > (7 + sqrt(13))/2`
    1. 1/4`log(x + 6) = -2/3` geeft `x + 6 = (1/4)^(-2/3) = 4^(2/3) = root[3](16)` en dus `x = root[3](16) - 6`.
    2. `x > root[3](16) - 6`
    1. `x - 5 = 7^0 = 1`, dus `x = 6`.
    2. `x^(-1) = 5`, dus `x = 0,2`.
    3. `x = 4^(0,5)/3 = 2/3`.
    4. `2x^2 = (1/2)^0 = 1` geeft `x = +- sqrt(1/2)`; alleen `x = sqrt(1/2)` voldoet.
    1. `text(D)_(f) = (:0, rarr:)`, `text(B)_(f) = RR`, verticale asymptoot `x = 0`.
      `text(D)_(g) = (:2, rarr:)`, `text(B)_(g) = RR`, verticale asymptoot `x = 2`.
    2. 1/3`log(2x) = -2` geeft `2x = (1/3)^(-2) = 9` en dus `x = 4,5`.
    3. 1/3`log(2x) = 9` geeft `2x = (1/3)^(9) ~~ 0,0000508` en dus `x ~~ 0,0000254`.
      Oplossing: `0 < x < 0,0000254`.
    4. 3`log(3x - 6) = 0` geeft `3x - 6 = 1` en dus `x = 7/3`.
    5. `0 < x <= 7/3`
    6. 1/3`log(2x) = `3`log(2x)` / 3`log(1/3) = -`3`log(2x)`.
      3`log(3x - 6) = -`3`log(2x)` geeft `3x - 6 = (2x)^(-1)` en dus `2x(3x - 6) = 1` zodat `6x^2 - 12x - 1 = 0`.
      Met de `abc`-formule: `x = (12 +- sqrt(168))/(12) = 1 +- 1/6 sqrt(42)`.
      Alleen `x = 1 + 1/6 sqrt(42)` voldoet.
    7. `2 < x <= 1 + 1/6 sqrt(42)`