Logaritmische functies

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Logaritmische functies > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Logaritmische functies > Uitleg

Bestudeer in de Uitleg wat een logaritme is en hoe je die berekend.

Opgaven

In de Uitleg wordt het verband besproken tussen de grafieken van bijvoorbeeld `y_1 = 2^x` en `y_2 = `²`log(x)`.
1. Maak beide grafieken op je grafische rekenmachine.
2. Het punt `(4,2)` ligt op de grafiek van `y_2`. Welk punt op de grafiek van `y_1` is het spiegelbeeld van dit punt bij spiegeling in de lijn `y = x`?
3. Noem nog twee punten op de grafiek van `y_2` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `y_1`.
4. Welke verband bestaat er tussen het bereik van `y_1` en het domein van `y_2`?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Logaritmische functies > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

Teken de grafieken van `y_1 = (1/2)^x` en `y_2 = `^1/2`log(x)` op je grafische rekenmachine. De eigenschappen van `y_2` kun je afleiden uit die van `y_1`. Bekijk de Theorie.
1. Schrijf het domein, het bereik en de asymptoot van de functie `y_2` op.
2. Voor welke waarde van `x` is `y_2 = 2`?
3. Voor welke waarden van `x` geldt `y_2 > 2`?

Maak de grafiek van de functie `f(x) = `³`log(x)`.
1. Schrijf het domein, het bereik en de asymptoot van de functie `f` op.
2. Voor welke waarde van `x` is `f(x) = 2`?
3. Voor welke waarden van `x` geldt `f(x) > 2`?
4. Voor welke waarden van `x` geldt `f(x) < 2`?

In Voorbeeld 1 zie je hoe de karakteristieken van een logaritmische functie kunnen worden berekend.
Maak de grafiek van de functie `f(x) = -1 + 2 * `^0,3`log(x - 1)`.
Gebruik eventueel de applet bij Voorbeeld 2.
1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = `^0,3`log(x)`?
4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.

Bekijk Voorbeeld 3.
Maak de grafiek van de functie `f(x) = 2 + 3 * `²`log(x + 4)`.
Gebruik eventueel de applet bij Voorbeeld 2.
1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = `²`log(x)`?
4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.

Verwerken

Maak de grafiek van de functie `f(x) = 1 - 3 * log(x + 4)`.
1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
2. Schrijf de vergelijking van de verticale asymptoot op.
3. Door welke transformaties ontstaat de grafiek van `f` uit die van `y = log(x)`?
4. Bereken algebraïsch het nulpunt van de grafiek van `f`.

De grafieken van de functies `f(x) = (1/2)^x` en `g(x) = 2^x` zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de `y`-as.
De grafieken van de functies `h(x) = `^1/2`log(x)` en `k(x) = `²`log(x)` moeten dan elkaar spiegelbeeld zijn ten opzichte van de `x`-as. Dat wil zeggen dat `h(x) = -k(x)`.
1. Voor welke waarde van `x` is `h(x) = 3`?
2. Voor welke waarde van `x` is `k(x) = -3`?
3. Het punt `(1/8, 3)` op de grafiek van `h` heeft een spiegelbeeld op de grafiek van `k`. Wat zijn de coördinaten van dit spiegelbeeld?
4. Geef nog een punt op de grafiek van `h` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `k`.
5. Teken de grafieken van `h` en `k` in één figuur en los op: `h(x) = k(x)`.
6. Om de vergelijking ^1/2`log(x) = -`²`log(x)` voor willekeurige `x > 0` te controleren schrijf je beide functievoorschriften in de vorm waarin je ze in de grafische rekenmachine kunt invoeren. Toon nu aan dat `h(x) = -k(x)` voor willekeurige `x > 0`.

Lichtgevoeligheid van fotografisch opnamemateriaal wordt uitgedrukt in een gevoeligheidsgetal. Het meest gebruikte systeem hiervoor is het ASA-systeem (American Standards Association). Op filmrolletjes staat meestal ook een ander gevoeligheidsgetal vermeld, de DIN-waarde. Het verband tussen ASA en DIN wordt gegeven door de formule
`y = 1 + a * log x`
Hierin geeft `x` de lichtgevoeligheid in ASA aan en `y` de lichtgevoeligheid in DIN. Een film van 100 ASA heeft een DIN-waarde 21.
1. Bereken `a`.
2. Maak de grafiek. De meest gangbare films hebben een ASA-waarde tussen 50 en 1000.
3. Hoeveel ASA heeft een film met een gevoeligheid van 31 DIN?

Gegeven zijn de functies `f(x) = `²`log(x)` en `g(x) = `²`log(2 - x)`.
1. Bepaal het domein, het bereik en de asymptoot van de functies `f` en `g`.
2. De grafiek van de functie `g` ontstaat door transformatie uit die van `f`. Beschrijf de transformaties in de juiste volgorde.
3. Teken de grafiek van de functies `f` en `g` en los op: `f(x) = g(x)`.
4. In welke lijn zijn de grafieken van `f` en `g` elkaars spiegelbeeld?

Testen

Het verband tussen de (gemiddelde) lengte `L` in cm en het (gemiddelde) gewicht `G` in kg voor kinderen tussen 6 en 13 jaar wordt gegeven door de formule
`L = k * log(G/G_0)`
De constanten `G_0` en `k` hangen af van de leefomstandigheden. Voor de westerse wereld geldt `G_0 = 2,4` (in één decimaal nauwkeurig).
1. Mark (8 jaar) woont in Nederland en heeft een lengte van 1,30 m en weegt 26,3 kg. Bereken `k` in gehelen nauwkeurig. Neem aan dat Mark wat lengte en gewicht betreft een gemiddeld Nederlands kind is.
2. Helen is 1,40 m lang. Schat haar gewicht in kg.
3. Schrijf de formule in de vorm `G = b * g^L`, voor `k = 120`. Geef daarbij `g` in vier decimalen nauwkeurig.

Gegeven zijn de functies `f` en `g` met voorschriften `f(x) = `^1/3`log(2x)` en `g(x) = `³`log(3x - 6)`.
1. Bepaal domein, bereik en asymptoot van `f` en teken de grafiek van `f`.
2. Door middel van welke transformaties kan de grafiek van `f` ontstaan uit die van `y = `^1/3`log(x)`?
3. Bepaal domein, bereik en asymptoot van `g` en teken de grafiek van `g`.
4. Door middel van welke transformaties kan de grafiek van `g` ontstaan uit die van `y = `³`log(x)`?
5. Los op in drie decimalen nauwkeurig: `f(x) = g(x)`.