Logaritmische schalen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Logaritmische schalen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Logaritmische schalen > Uitleg

Bestudeer in de Uitleg wat een logaritme is en hoe je die berekend.

Opgaven

1. In de Uitleg werd voor de grafiek van de exponentiele functie `B(t) = 600 * 2^t` op de `B`-as een speciale schaalverdeling gebruikt.
   1. Zijn op deze schaalverdeling de afstanden tussen twee maatstreepjes steeds even groot?.
   2. Laat zien dat de punten die horen bij `B(5)` en `B(10)` goed zijn getekend.
   In feite staat op de verticale as de waarde van `B` op de plek van `log(B)`.
   Neem maar eens een gewoon stuk roosterpapier en maak een assenstelsel met `log(B)` uitgezet tegen `t`.
   3. Maak eerst een tabel van `log(B)` afhankelijk van `t`.
   4. Zet de bijbehorende punten in je assenstelsel. Als het goed is krijg je een rechte lijn als grafiek.
   5. Met de eigenschappen van logaritmen kun je laten zien, dat `log(B)` ook echt een lineaire functie van `t` is. Toon aan dat `B = 600 * 2^t` is te herschrijven tot `log(B) = log(2) * t + log(600)`.


2. Gegeven de functie `f(x) = 2 * 3^x`.
   1. Maak een grafiek van `log(y)` uitgezet tegen `x`. Neem `x` van 0 tot 15.
   2. Vervang de getallen op de verticale as door de bijbehorende `y`-waarden. Je krijgt dan weer een grafiek van `y` als functie van `x`, maar nu met een logaritmische schaal op de verticale as.
   3. Lees uit de laatste grafiek af hoe groot `f(10)` is en controleer het antwoord met het gegeven functievoorschrift.
   4. Laat zien, dat `log(y)` een lineaire functie is van `x`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Logaritmische schalen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 zie je hoe je getallen kunt plaatsen op een logaritmische schaal en hoe je van zo'n schaal waarden kunt aflezen. Teken zelf zo'n logaritmische schaal.
   1. Geef de getallen 20, 20000 en 0,02 op deze schaal aan.
   2. Een mens is ongeveer 1,80 m groot. Geef dit getal op je schaalverdeling aan.
   3. De Mount Everest is ongeveer 8884 km hoog. Geef dit getal op je schaalverdeling aan.
   4. Een amoebe is een ééncellig organisme met een afmeting van 0,003 tot 0,8 millimeter. Geef deze getallen op je schaalverdeling aan.
   5. Op je schaalverdeling is `a` het getal dat midden tussen `10^3` en `10^4` in zit. Bereken `a` in gehelen nauwkeurig.


4. Maak zelf een assenstelsel met op de verticale as een logaritmische schaalverdeling, of haal van de website bij de Theorie een blad enkellogaritmisch papier.
   Gegeven is nu de functie `N(t) = 12000 * 0,8^t`.
   1. Teken de grafiek van `N(t)` in dit assenstelsel (of op het enkellogaritmische papier).
   2. Toon met behulp van de eigenschappen van logaritmen aan dat er tussen `log(N)` en `t` een lineair verband bestaat.


5. Laat zien dat elk verband van de vorm `y = b * g^x` kan worden geschreven als `log(y) = log(g) * x + log(b)`.
   Leg uit dat dit betekent dat elke exponentiële functie op enkellogaritmisch papier een rechte lijn als grafiek heeft.
   Het omgekeerde geldt ook, hoe bewijs je dat?
   


6. In Voorbeeld 2 zie je een rechte lijn in een assenstelsel waarvan de verticale as een logaritmische schaal heeft. Daarbij kun je een functievoorschrift opstellen van de vorm `A = b * g^t`.
   1. Lees de waarden voor `A` bij `t = 2` en `t = 10` af.
   2. Stel met behulp van deze waarden `A(t)` op. Ga na, dat je ongeveer hetzelfde vindt als in het voorbeeld.
   3. Waarom is het handiger om de waarde bij `t = 0` te gebruiken?


7. Bekijk deze grafiek van de functie `N(t)`.
   1. Welke coördinaten heeft het snijpunt van de twee assen?
   2. Lees twee waarden voor `N(t)` uit de grafiek af en stel een formule op voor `N(t)`.
   3. Bereken ter controle met die formule het snijpunt met de getekende `t`-as.
   4. Waarom heeft het geen zin om te vragen naar de oplossingen van `N(t) = 0`?


8. Bestudeer in Voorbeeld 3 wat je verstaat onder deciBel als maat voor het geluidsdrukniveau.
   1. In een bibliotheek is het erg rustig met een geluidsdrukniveau van ongeveer 35 dB. Hoeveel bedraagt daar de effectieve geluidsdruk?
   2. Je loopt op de stoep, het autoverkeer levert geluidsdrukniveau van ongeveer 55 dB. Iemand zet opeens een elektrische drilboor aan van 95 dB. Hoeveel bedraagt het totale geluidsdrukniveau op dat moment?
   3. Als het geluidsdrukniveau tijdens een concert toeneemt van 110 naar 130 dB, hoeveel keer zo groot wordt dan de effectieve geluidsdruk?

Verwerken

9. De bevolking van een middelgrote stad groeit vanaf 1-1-2000 met (ongeveer) 6% per jaar. Op 1-1-2000 zijn er 80000 inwoners.
   1. Stel een formule op voor het aantal inwoners `A` afhankelijk van de tijd `t` in jaren vanaf 1-1-2000.
   2. Teken een bijpassende grafiek op enkellogaritmisch papier.
   3. Lees uit die grafiek het aantal inwoners af op 1-1-2015. Controleer je antwoord met behulp van de formule.


10. Deze tabel met gegevens hoort bij een bacteriecultuur. `t` is gegeven in uren, en `N(t)` in aantallen.
    
    

    t	0	1	2	3	4	5	6
    N	50	84	141	237	398	670	1125

    
    
    1. Maak met behulp van deze tabel een tabel waarin `log(N)` wordt uitgezet tegen `t`.
    2. Teken de bijbehorende grafiek. Kun je deze grafiek benaderen door een rechte lijn? Is er sprake van exponentiële groei?
    3. Stel een formule op voor `log(N)` als functie van `t`.
    4. Stel met behulp van het antwoord uit c een formule op voor `N` als functie van `t`.


11. Op enkellogaritmisch papier is de grafiek getekend van een toenemende hoeveelheid `V` als functie van de tijd `t`.
    
    
    
    
    1. Geef een formule voor `V(t)`.
    2. Bereken de waarde van `t` waarvoor `V(t) = 10` in twee decimalen nauwkeurig. Controleer je antwoord met de grafiek.
    3. Voor negatieve waarden van `t` heeft de grafiek een snijpunt met de `t`-as. Bereken de bijbehorende waarde van `t` in twee decimalen nauwkeurig.


12. Zoogdieren gaan bij een bepaalde pasfrequentie (het aantal passen per minuut) over van draf naar galop. De pasfrequentie waarbij dat gebeurt hangt af van de lichaamsmassa (in kg). Noem de lichaamsmassa `m` (in kg) en de pasfrequentie `P`. De rechte lijn gaat door de punten die horen bij een kleine hond en bij paarden.
    1. Waaraan kun je zien dat op beide assen van deze grafiek een logaritmische schaal is gebruikt?
    2. Omdat op beide assen een logaritmische schaal is gebruikt is in feite `log(P)` uitgezet tegen `log(m)`. Voor het punt dat hoort bij paarden geldt dan ongeveer `log(m) = 2,9` en `log(P) = 2,0`. Bepaal zelf de bijpassende waarden van het punt dat bij een kleine hond hoort.
    3. Leid nu een formule af voor `log(P)` als functie van `log(m).
    4. Met behulp van de eigenschappen van logaritmen kun je nu een formule afleiden voor `P` als functie van `m`. Laat zien hoe dat gaat.

Testen

13. Teken een getallenlijn met een logaritmische schaalverdeling (neem deze figuur over).
    
    
    
    
    1. Welk getal hoort bij het pijltje?
    2. Teken een pijltje dat hoort bij het getal 2.
    3. Geef aan waar `5,5` en waar `10^(0,5)` moeten staan. Doe dit ook bij `55` en `10^(1,5)`.
    4. Geef ook `3 1/4` en `10^(1/4)` aan.


14. Bij een biologisch experiment groeit in een vijver een waterplant. De waterplant bedekt een steeds groter deel van het wateroppervlak. Elke week meet men de oppervlakte die de waterplant bedekt. De meetwaarden staan in de tabel.
    
    

    aantal weken	0	1	2	3	4	5	6
    oppervlakte (dm2)	40	57	89	134	200	305	447

    
    
    1. Zet de punten `(0, 40), (1, 57), ... , (6, 447)` uit op enkellogaritmisch papier.
    2. Trek door deze punten zo goed mogelijk een rechte lijn.
    3. Van welk type groei is hier sprake? Waar zie je dat aan?
    4. Stel een formule op voor de oppervlakte die de waterplant bedekt, afhankelijk van de tijd `t` in weken.