Eigenschappen van logaritmen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Eigenschappen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Eigenschappen > Uitleg

Bestudeer in de Uitleg wat een logaritme is en hoe je die berekend.

Opgaven

  1. In de Uitleg werd bekeken in welke tijd een saldo zich verdubbeld dan wel verdrievoudigd.
    1. Hoe lang duurt het voor het saldo 2 keer zo groot (dus € 8000,=) geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.
    2. Hoe lang duurt het voor het saldo 3 keer zo groot geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.
    3. Hoe lang duurt het voor het saldo 6 keer zo groot geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.
    4. Het antwoord bij a kun je krijgen door het antwoord bij b van dat bij c af te trekken. Controleer dit en geef een verklaring.
    5. Bij d heb je een voorbeeld van een eigenschap van logaritmen die in de Theorie staan vermeld. Om welke eigenschap gaat het hier?

  2. Bij exponentiële afname komt het begrip halveringstijd voor.
    1. Geef een omschrijving van het begrip halveringstijd. Maak hierbij gebruik van een logaritme.
    2. Bereken in maanden nauwkeurig de halveringstijd in het geval een hoeveelheid jaarlijks met 7% afneemt.
    3. De radioactieve stof Strontium heeft een halveringstijd van 28 jaar. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de groeifactor per jaar.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Logaritmische functies > Eigenschappen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. In Voorbeeld 1 gaat het om de eigenschappen van logaritmen. Je kunt ze controleren door getallen in te vullen. Controleer:
    1. 2log(16) + 2log(8) = 2log(128)
    2. 2log(16) – 3 · 2log(2) = 2log(2)
    3. 3log(3) + 3log(9) = 3log(27)

  2. In de Theorie vind je het bewijs van een aantal genoemde eigenschappen. Bestudeer die bewijzen.
    1. Gebruik de bekende eigenschap van machten, `(g^r)^s = g^(r * s)`, om te bewijzen dat `p * `g`log(a) = `g`log(a^p)`.
    2. Bewijs nu de eigenschap van het verschil van twee logaritmen met hetzelfde grondtal.

  3. In Voorbeeld 2 zie je hoe de eigenschappen van logaritmen kunnen worden gebruikt om een vergelijking van het type `g^x = a` op te lossen. Er worden twee methodes gebruikt.
    Los de volgende vergelijkingen op beide manieren op, geef benaderingen in vier decimalen nauwkeurig.
    1. `3^x = 8100`
    2. `(1/4)^x = 0,002`

  4. Bekijk in Voorbeeld 3 hoe je een vergelijking kunt oplossen waarin een logaritme voor komt. Los nu zelf op:
    1. 5`log(x) = 2`
    2. 4`log(2x) = 0`
    3. 1/4`log(x^2) = -4`
    4. 2`log(sqrt(x)) = 5`

  5. Bestudeer in Voorbeeld 4 hoe je de eigenschappen van logaritmen gebruikt bij het exact oplossen van logaritmische vergelijkingen. Los nu zelf op:
    1. `log(4x) + log(x) = 1`
    2. `2 * log(x) - log(2x) = 2`

Verwerken

  1. Gebruik de eigenschappen van logaritmen om te berekenen:
    1. 10`log(5)` + 10`log(20)`
    2. 5`log(100)` – 5`log(4)`
    3. 2 · 6`log(3)` + 6`log(4)`
    4. 1/3`log(45)` – 1/3`log(5)`

  2. Ga na welke van de volgende logaritmen eenvoudig zonder rekenmachine te berekenen zijn. Geef van die opgaven het exacte antwoord. Bereken van de overige opgaven het antwoord tot op drie cijfers achter de komma. Gebruik hierbij de log-toets van de rekenmachine.
    1. 5`log(625)`
    2. 2`log(100)`
    3. 1/7`log(sqrt(7))`
    4. 8`log(8000)`
    5. 1/3`log(50)`
    6. 10`log(40)` + 10`log(25)`
    7. 1/3`log(0,0003)`

  3. Een radioactieve stof vervalt volgens deze formule:

    `N(t) = N(0) * 0,93^t`

    `N` is de hoeveelheid in mg en `t` de tijd in jaren.
    1. Hoeveel bedraagt de halveringstijd?
    2. Een laboratorium heeft 400 g van deze stof. Bereken met behulp van de halveringstijd hoe lang het duurt voor dat deze hoeveelheid minder is geworden dan 50 g.
    3. Bereken tot op een maand nauwkeurig hoe lang het duurt voor dat 50 g van deze stof minder is geworden dan 10 g.

  4. Het radioactieve calcium-45 heeft een halveringstijd van 165 dagen.
    1. Na hoeveel tijd is er van een willekeurige beginhoeveelheid calcium-45 nog 1/4 deel over?
    2. Na hoeveel tijd is er van een willekeurige beginhoeveelheid calcium-45 nog 1/8 deel over?
    3. In een laboratorium is 100 gram calcium-45 aanwezig. Schat met behulp van de antwoorden bij vraag a en b hoe lang het duurt tot deze hoeveelheid minder is geworden dan 15 gram.
    4. Bereken het antwoord van c tot op een dag nauwkeurig.

  5. Een hoeveelheid groeit exponentieel met groeipercentage `p` procent. Toon aan dat de verdubbelingstijd `T` gegeven wordt door

    `T = (log(2))/(log(1 + p/100))`


  6. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op. Geef daarna benaderingen in één decimaal nauwkeurig.
    1. `10 * 5^x = 0,16`
    2. 3`log(x^2) = 3`
    3. `log(2x) - 2 * log(x) = 1`

Testen

  1. Iemand koopt een huis voor € 200000,= en verwacht dat de waarde van het huis per jaar 10% zal stijgen.
    1. Hoe lang duurt het voordat het huis € 300000,= waard is? Schrijf het antwoord als logaritme en bereken die logaritme tot op de maand nauwkeurig.
    2. Hoe lang duurt het voordat de waarde van het huis twee keer zo groot is geworden?
    3. Hoe lang duurt het voordat de waarde van het huis drie keer zo groot is geworden?
    4. Hoe lang duurt het voordat de waarde van het huis zes keer zo groot is geworden? Laat zien hoe je dit kunt berekenen met behulp van de antwoorden bij b en c.
    5. Hoe kun je het antwoord van vraag d in één keer berekenen?

  2. Bij radioactieve stoffen wordt in plaats van het woord halveringstijd vaak het woord halfwaardetijd gebruikt. In een laboratorium bevindt zich 800 g van het radioactieve natrium-24. Deze stof heeft een halfwaardetijd van 15 uur.
    1. Laat zien hoe lang het duurt tot er nog maar 100 g van het natrium-24 over is.
    2. Hoeveel bedraagt de groeifactor per uur?
    3. Bereken tot op een kwartier nauwkeurig hoe lang het duurt tot er van de 800 g natrium-24 nog maar 160 g over is.

  3. Een suikerpatiënt moet zich een injectie met insuline toedienen op het moment dat er nog maar een derde deel van de vorige injectie insuline in zijn bloed zit. De hoeveelheid insuline in het bloed neemt per uur met 8% af.
    Hoeveel tijd zit er tussen twee opeenvolgende injecties? Schrijf de oplossing als logaritme en geef een benadering in uren nauwkeurig.

  4. Omstreeks 1650 groeide de wereldbevolking met een percentage van 0,3% per jaar. Schrijf de verdubbelingstijd als logaritme en geef een benadering in gehele jaren.

  5. Los algebraïsch op:
    1. `600 * 0,5^t = 20`
    2. 5`log(1 - x) = 2`
    3. 2`log(x) + `2`log(3x) = 5`