Eigenschappen van logaritmen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. `t = `^1,05`log(2) ~~ 14,2` jaar.
   2. `t = `^1,05`log(3) ~~ 22,5` jaar.
   3. `t = `^1,05`log(6) ~~ 36,7` jaar.
   4. De tijd waarin het saldo verdubbelt plus de tijd waarin het verdrievoudigt is de tijd waarin het zes keer zo groot wordt. En dus is de tijd waarin het zes keer zo groot wordt min de tijd waarin het drie keer zo groot wordt de verdubbelingstijd.
   5. ^g`log(a) - `^g`log(b) = `^g`log(a/b)`
2. 1. De tijd die nodig is om de hoeveelheid te halveren.
      `g^t = 1/2`, dus `t = `^g`log(1/2)`.
   2. `g = 0,93`, dus `t = `^0,93log(1/2) ~~ 9,55` jaar. Dat is 9 jaar en 7 maanden.
   3. `g^(28) = 1/2`, dus `g = root[28](0,5) ~~ 0,976`
3. 1. `4 + 3 = 7`
   2. `4 - 3 * 1 = 1`
   3. `1 + 2 = 3`
4. 1. Ga uit van `(g^r)^s = g^(r * s)` en neem daarin `r =`^g`log(a)` en `s = p`.
      Dan vind je $a^p={\left(g^{log(a)}\right)}^p=g^{p{·}^{g}log(a)}$. Neem nu aan beide zijden de logaritme met grondtal `g` en je vindt ^g`log(a^p) = p * `^g`log(a)`.
   2. Volgt bijvoorbeeld uit ^g`log(a) - `^g`log(b) = `^g`log(a) + -1 * `^g`log(b) = `^g`log(a) + `^g`log(b^(-1)) = `^g`log(a * b^(-1)) = `^g`log(a/b)`.
5. 1. Methode I: beide zijden logaritme nemen geeft `log(3^x) = x * log(3) = log(8100)` en dus `x = (log(8100))/(log(3)) ~~ 8,1918`.
      Methode II: `3^x = 8100` geeft `x = `³`log(8100) = (log(8100))/(log(3)) ~~ 8,1918`.
   2. Methode I: beide zijden logaritme nemen geeft `log((1/4)^x) = x * log(1/4) = log(0,002)` en dus `x = (log(0,002))/(log(1/4)) ~~ 4,4829`.
      Methode II: `(1/4)^x = 0,002` geeft `x = `^1/4`log(0,002) = (log(0,002))/(log(1/4)) ~~ 4,4829`.
6. 1. `x = 5^2 = 25`
   2. `2x = 4^0 = 1` geeft `x = 0,5`
   3. `x^2 = (1/4)^(-4) = 256` geeft `x = 16 vv x = -16`
   4. `sqrt(x) = 2^5 = 32` geeft `x = 32^2 = 1024`
7. 1. `log(4x * x) = log(4x^2) = 1`, geeft `4x^2 = 10^1 = 10` en dus `x = +-sqrt(2,5)`.
   2. `log(x^2) - log(2x) = log((x^2)/(2x)) = log(1/2 x) = 2`, geeft `1/2 x = 10^2 = 100` en dus `x = 200`.
8. 1. ¹⁰`log(5 * 20) = `¹⁰`log(100) = 2`
   2. ⁴`log(100/4) = `⁵`log(25) = 2`
   3. ⁶`log(3^2 * 4) = `⁶`log(36) = 2`
   4. ^1/3`log(45/5) = `^1/3`log(9) = -2`
9. 1. ⁵`log(5^4) = 4`
   2. ²`log(100) = (log(100))/(log(2)) ~~ 6,644`
   3. ⁷`log(7^(0,5) = 0,5`
   4. ⁸`log(8000) = (log(8000))/(log(8)) ~~ 4,322`
   5. ^1/3`log(50) = (log(50))/(log(1//3)) ~~ -3,561`
   6. ¹⁰`log(40 * 25) = `¹⁰`log(10^3) = 3`
   7. ^1/3`log(0,0003) = (log(0,0003))/(log(1//3)) ~~ 7,384`
10. 1. `0,93^t = 0,5`, dus `t = `^0,93`log(0,5) ~~ 9,55` jaar.
    2. `400 rarr 200 rarr 100 rarr 50`, dus 3 halveringstijden en dat is `3 * 9,55 = 28,65` jaar.
    3. `50 * 0,93^t = 10`, dus `0,93^t = 0,2` en `t = `^0,93log(0,2) ~~ 22,18` jaar.
11. 1. 2 halveringstijden en dus `2 * 165 = 330` dagen.
    2. 3 halveringstijden, dus 495 dagen.
    3. `100 rarr 50 rarr 25 rarr 12,5`, dus iets minder dan 495 dagen.
    4. `g^(165) = 0,5`, dus `g_(text(dag)) ~~ 0,9958`.
       `100 * 0,9958^t = 15`, dus `0,9958^t = 0,15` en `t = `^0,9958`log(0,15) = 451` dagen.
12. Het groeipercentage is `p`, dus de groeifactor is `1 + p/100 = g`. Voor de verdubbelingstijd `T` geldt `g^T = 2`, dus `(1 + p/100 )^T = 2`. Dat geeft `log((1 + p/100)^T) = log(2)`, dus `T * log (1 + p/100) = log(2)` en daaruit volgt de gegeven formule.
    
13. 1. `5^x = 0,016` geeft `x = `⁵`log(0,016) ~~ -2,6`.
    2. `x^2 = 3^3 = 27` geeft `x = +-sqrt(27)`.
    3. `log(2x) - log(x^2) = log(2/x) = 1` geeft `2/x = 10^1 = 10` en dus `x = 2/10 = 0,2`.
14. 1. `200000 * 1,10^t = 300000`, dus `1,10^t = 1,5` en `t = `^1,10`log(1,5) ~~ 4,25` jaar en dat is ongeveer 4 jaar en 3 maanden.
    2. `1,10^t = 2`, dus `t = `^1,10`log(2) ~~ 7,27` jaar.
    3. `t = `^1,10`log(3) = 11,53` jaar.
    4. `7,27 + 11,53 = 18,80` jaar.
    5. `t = `^1,10`log(6) = 18,80` jaar.
15. 1. `800 rarr 400 rarr 200 rarr 100`, 3 keer halfwaardetijd, dus `3 * 15 = 45` uur.
    2. `g^(15) = 0,5`, dus `g ~~ 0,9548`.
    3. Los op: `800 * 0,9548^t = 160`, dus `0,9548^t = 0,2` en `t = `^0,9458`log 0,2 ~~ 34,8` uur.
16. `g = 0,92`, dus `0,92^T = 1/3` en `T = (log(1//3))/(log(0,92)) ~~ 13,175`. Dus ongeveer 13 uur.
    
17. `g = 1,003`, dus `1,003^T = 2` en `T = (log(2))/(log(1,003)) ~~ 231`. Dus ongeveer 231 jaar.
18. 1. `0,5^t = 1/30` geeft `t = `^0,5`log(1/30) ~~ 4,907`.
    2. `1 - x = 5^2 = 15` geeft `x = -24`.
    3. ²`log(3x^2) = 5` geeft `3x^2 = 2^5 = 32` en dus `x = +-sqrt(32)` (alleen voldoet `-sqrt(32)` niet omdat in een logaritme geen negatief getal kan worden ingevuld).