Bijzondere functies

Inleiding

Je kent al diverse functies. Alleen sprak je tot nu toe vaak over verbanden en formules. Denk nog even terug aan de lineaire verbanden, de kwadratische verbanden en de hyperbolische verbanden. Het gaat daarbij eigenlijk steeds over functies.
In dit onderdeel komen enkele bijzondere functies voorbij.

Je leert nu:

• werken met lineaire functies;
• werken met absolute waarde en modulusfuncties;
• werken met gehele delen en de Entier-functie.

Je kunt al:

• het begrip functie en de bijbehorende notaties gebruiken;
• het domein en het bereik van een functie vinden;
• de intervalnotatie gebruiken.

Verkennen

Je staat op een viaduct over de snelweg A1.
Je ziet een auto rijden met een snelheid van 90 km/h.
Precies 6 minuten later zie je een tweede auto onder het viaduct uitkomen.
Deze tweede auto rijdt 120 km/h en in dezelfde richting als de eerste auto.

> Teken bij elk van deze auto’s de grafiek van de afstand tot het viaduct. Zet beide grafieken in één figuur en kies geschikte eenheden.
> Na hoeveel minuten heeft de tweede auto de eerste ingehaald? (Gebruik je grafieken of geef een berekening.)
> Je kunt ook kijken naar de onderlinge afstand van beide auto’s. Teken de grafiek van die onderlinge afstand. Waarom heeft deze grafiek een knik?

Uitleg

Twee auto’s rijden met een constante snelheid over dezelfde weg. Auto 1 gaat van A naar B met een constante snelheid van 90 km/h en auto 2 van B naar A met een constante snelheid van 120 km/h.
A en B liggen 50 km van elkaar verwijderd. Beide auto’s zijn op hetzelfde moment gestart. Als je wilt berekenen op welk tijdstip ze elkaar tegenkomen, stel je (bijvoorbeeld) de afstand tot A voor door de variabele a. Neem voor de tijd in minuten de variabele t.

Omdat auto 1 met 1,5 km per minuut rijdt, geldt: a₁ = 1,5t.
Voor auto 2 geldt a₂(0) = 50 en dus: a₂ = 50 – 2t.

Bij beide formules is er een lineair verband tussen a en t: a₁ en a₂ zijn lineaire functies. Je ziet hier de beide grafieken, het zijn rechte lijnen.

De auto’s komen elkaar tegen als 1,5t = 50 – 2t.
Als je deze vergelijking oplost vind je t ≈ 14,3 minuten.

Twee auto’s rijden elkaar over dezelfde weg tussen A en B tegemoet met elk een constante snelheid.
Voor auto 1 geldt: a₁ = 1,5t.
Voor auto 2 geldt: a₂ = 50 – 2t.
t is in minuten, a is de afstand tot A in km.

Hun onderlinge afstand kun je weergeven door de verschilgrafiek van a₁ en a₁. Je ziet hem in de figuur getekend. De verschilgrafiek vertoont een knik op het moment dat a₁ = a₂, dus bij t ≈ 14,3.
Dat komt omdat een afstand altijd positief is:

• als t < 14,3 dan is het positieve verschil a₂ – a₁;
• als t > 14,3 dan is het positieve verschil a₁ – a₂.

Bij de verschilgrafiek hoort een functie die eigenlijk twee voorschriften kent, eentje voor t < 14,3 en eentje voor t > 14,3.
Als een uitdrukking met variabelen positief moet zijn (omdat het een afstand voorstelt bijvoorbeeld) zet je die uitdrukking tussen zogenaamde absoluutstrepen.
Hier bijvoorbeeld is die afstand |a₁ – a₂|.
Dit is de absolute waarde van het verschil van a₁ en a₂, de waarde zonder het (min)teken.

‡

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg. Twee auto’s rijden met een constante snelheid over dezelfde weg. Auto 1 gaat van `A` naar `B` met een constante snelheid van 90 km/h en auto 2 van `B` naar `A` met een constante snelheid van 120 km/h.
   1. In de Uitleg wordt de afstand van beide auto’s tot `A` bekeken. Bekijk die afstand nu vanuit `B`. Schrijf de twee bijpassende formules op.
   2. Onderzoek door berekening of beide auto’s elkaar nu op hetzelfde tijdstip tegenkomen.
   3. In de Uitleg vind je een passende verschilgrafiek met afstanden t.o.v. `A`. Maak nu zelf een grafiek van hun onderlinge afstand met de afstanden t.o.v. `B`.
   4. Voor welke twee waarden van `t` bedraagt die onderlinge afstand 20 km?


2. Twee fietsers komen elkaar op `t = 0` tegen. Beiden fietsen met een snelheid van 18 km/h. Hun onderlinge afstand `a` in m hangt af van de tijd in s.
   1. Welk voorschrift heeft `a` als functie van `t`?
   2. Bereken de tijdstippen waarop de onderlinge afstand 90 m is.

Theorie

Er bestaan veel verschillende soorten functies.

Als y een lineaire functie is van x heeft het functievoorschrift de vorm y = ax + b, waarin

• a het hellingsgetal is;
• b het begingetal, de functiewaarde bij x = 0 is.

De grafiek van een lineaire functie is een rechte lijn door (0, b) en (1, b + a). Voor "hellingsgetal" wordt wel het woord richtingscoëfficiënt gebruikt, want dit getal bepaalt de richting van de grafiek.

Je noemt f(x) = ax + b een familie van functies (in dit geval de familie van de lineaire functies). Het gaat daarbij om een verband tussen de variabelen x en y = f(x).
a en b noem je parameters.
Zo heb je ook de familie van de kwadratische functies. En er bestaan nog veel meer families van functies...

De absolute waarde |x| van een getal x is de waarde ervan zonder (min)teken.
Zo is: |3| = 3 en |–3| = 3.
Dit komt omdat beide getallen dezelfde (positieve) afstand tot 0 hebben: ze zijn elkaars tegengestelde. De wiskundige notatie voor de absolute waarde van x is met absoluutstrepen, de meeste rekenmachines gebruiken: abs(x).
De eenvoudigste absoluutfunctie is: `y=|x|={(x,text( als ) x>=0),(-x,text( als ) x<0):}`.
De grafiek zie je hiernaast.

Het gehele deel van een getal x is dat getal zonder decimalen. Het gehele deel van 2,913 is hetzelfde als dat van 2,0 en dat van 2,5, namelijk 2.
Het gehele deel van –2,913 is –2.
Hierbij past de zogenaamde entierfunctie of integerfunctie. Deze functie rondt elke x-waarde naar beneden af op een gehele waarde.
Je schrijft: y = int(x).
De grafiek vertoont sprongen, het is een trapgrafiek. Je ziet hem getekend, let goed op de open en de gesloten rondjes.
Het domein van de entierfunctie is `RR`.
Het bereik is {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

‡

Voorbeeld 1

Je ziet hier de punten P(10,210) en Q(30,300). Stel een functievoorschrift op voor de functie waarvan de grafiek een rechte lijn door `P` en `Q` is.

Stel een functievoorschrift op voor de functie waarvan deze rechte lijn de grafiek is.

Antwoord

Er is sprake van een lineaire functie f.
Je zoekt daarom het hellingsgetal en het begingetal (de functiewaarde bij 0).
Vergelijk de twee gegeven punten van de grafiek.

Bij een toename van x met 30 – 10 = 20 hoort een toename van y met 300 – 210 = 90.
Dus bij een toename van x met 1 hoort een toename van y met `90/20=4,5`.
Daarom is het hellingsgetal 4,5.

De functiewaarde bij 0 is niet bekend.
De functie heeft een voorschrift van de vorm f(x) = 4,5x + b.
Omdat f(10) = 210 geldt: 210 = 4,5 ·10 + b. En dit geeft b = 165.

Dus het functievoorschrift is f(x) = 4,5x + 165.

‡

Voorbeeld 2

Hier zie je de grafieken van y₁ = x² en y₂ = 6 – x.

De afstand tussen beide grafieken kun je definiëren als a(x) = |y₂ – y₁|.
Het is dan de lengte van lijnstuk PQ.

Door punt P te bewegen over zijn grafiek, zie je a veranderen.
De functiewaarden a(x) doorlopen de blauwe grafiek.
Je kunt deze grafiek maken met je grafische rekenmachine door het functievoorschrift in gesplitste vorm in te voeren: `a(x)={(6-x-x^2,text{ als } -3<=x<=2),(x^2-(6-x),text{ als } x<-3 vv x>2):}`

De grafiek heeft twee knikpunten die precies zitten bij de x-waarden waarin `6-x=x^2`. Je kunt ze dus algebraïsch berekenen.

‡

Voorbeeld 3

Je ziet hier de grafiek van y = int(x) zoals een grafische rekenmachine die tekent. De grafiek is eigenlijk onjuist en het is zelfs nog erger:
je kunt met je grafische rekenmachine een oplossing vinden van de vergelijking int(x) = 2,5.

Waarom is dit allemaal onjuist?

Antwoord

De functie y = int(x) zorgt er voor dat van elke waarde van x het gehele deel wordt genomen.
Bij alle x-waarden uit het interval `[2,3:)` is de functiewaarde dus 2.
Een uitkomst als 2,5 kan helemaal nooit voorkomen, alle uitkomsten (functiewaarden) zijn gehele getallen.
De grafiek hoort daarom uit lijnstukjes evenwijdig aan de x-as te bestaan. De verticale verbindingslijntjes die een grafische rekenmachine maakt, hebben geen enkele betekenis.

‡

Opgaven

3. Bekijk de Theorie. Elke lineaire functie `f` heeft een functievoorschrift van de vorm `f(x) = ax + b`. In de figuur hebben de parameters `a` en `b` vaste waarden want de grafiek gaat door `(0,3)` en `(1;3,5)`.
   1. Welke betekenis heeft de parameter `a` voor de grafiek van `f`? Welke waarde heeft `a` in de figuur?
   2. Welke betekenis heeft de parameter `b` voor de grafiek van `f`? Welke waarde heeft `b` in de figuur?
   3. Welke waarden voor `a` en `b` moet je nemen om als grafiek een rechte lijn door `A(1,2)` en `B(5,3)` te krijgen?
   4. Hoe kun je het bijbehorende functievoorschrift afleiden uit de coördinaten van `A` en `B`?


4. Voor een rit in een taxi betaal je voorrijkosten en een bedrag per gereden kilometer:
   • voorrijkosten € 3,20
   • per gereden km € 1,20
   De ritprijs (`R`) hangt af van het aantal gereden kilometer (`a`).
   1. Laat zien dat `R(10) = 15,2`.
   2. Stel een voorschrift op voor de functie `R(a)`.
   3. Dit is een voorbeeld van een lineaire functie. Teken de grafiek van deze functie op je grafische rekenmachine.
   4. Waar vind je de twee getallen 3,20 en 1,20 in je grafiek terug?


5. Bekijk in Voorbeeld 1 hoe je het voorschrift opstelt van een lineaire functie als twee punten van de grafiek zijn gegeven. Je ziet hier twee grafieken van lineaire functies. Stel voor elk van deze functies een passend voorschrift op en bereken algebraïsch het snijpunt van beide lijnen.


6. Bekijk in de Theorie wat een absolute waarde is. De absoluutfunctie is ook op je grafische rekenmachine te vinden.
   1. Breng de grafiek van `f(x) = |x|` met je grafische rekenmachine goed in beeld.
   2. Welk knikpunt heeft de grafiek van `f`?
   3. Los op: `|x| = 6`.
   4. Waarom is de vergelijking `|x| = -2` niet oplosbaar?


7. Bekijk de grafieken van de functie `y_1 = |x| - 2` en `y_2 = |x - 3|`.
   1. Schrijf bij elk van deze functies het voorschrift in gesplitste vorm, dus zonder absoluutstrepen.
   2. Bereken algebraïsch het snijpunt van beide grafieken.
   3. Los bij beide functies de vergelijking `y = 4` op.


8. Bekijk Voorbeeld 2. Het gaat daarin om de "afstand" `a(x) = |y_1 - y_2|` tussen de grafieken van `y1 = x^2` en `y_2 = 6 - x`.
   1. Teken de grafiek van `a(x)` op je grafische rekenmachine.
   2. Waarom staat "afstand" tussen aanhalingstekens?
   3. Voor welke `x` is de "afstand" tussen beide grafieken gelijk aan 4?


9. Bekijk in de Theorie wat de integerfunctie voorstelt en daarna Voorbeeld 3. De entierfunctie is ook op je grafische rekenmachine te vinden.
   1. Wat is er niet goed aan de grafiek die de GR maakt van y = int(x)?
   2. Los op: int(x) = 2.


10. Gegeven is de functie `f` met `f(x)` = int(`2x`) – 1.
    1. Bereken `f(2,43)` en `f(-pi)`.
    2. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
    3. Los op: `f(x) = 4`.

Verwerken

12. Stel een voorschrift op van de lineaire functie waarvan de grafiek gaat door de punten `P(2,80)` en `Q(8,140)`.


13. Een echtpaar wil vanaf het station met de taxi naar huis. Ze kunnen kiezen tussen een treintaxi en een gewone taxi. De treintaxi kost € 3,00 per persoon. De gewone taxi rekent € 2,25 per rit en daarboven op nog € 0,75 per minuut.
    1. Bij de gewone taxi is de ritprijs (`R`) afhankelijk van het aantal minuten (`a`) dat je er in zit. Stel het bijbehorende functievoorschrift `R(a)` op.
    2. Bij welke reistijd is het voordeliger om een treintaxi te nemen?
    3. Taxi’s rijden in de stad gemiddeld 30 km/h. Wat raad je dit echtpaar aan als ze 5 km van het station wonen?


14. Twee cilindervormige kaarsen worden tegelijkertijd aangestoken. Ze branden gelijkmatig op. Een uur na het aansteken heeft kaars I een lengte van 75 cm en is kaars II nog 71 cm lang. 3, 5 uur na het aansteken worden beide kaarsen opnieuw gemeten: kaars I is dan 62,5 cm en kaars II is dan nog 61 cm lang.
    1. Stel voor elk van deze kaarsen een formule op voor de lengte `L` in cm als functie van de brandtijd `t` in uren.
    2. Hoeveel uur na het aansteken zijn beide kaarsen even lang?
    3. Hoeveel uur na het aansteken verschillen ze 1 cm in lengte?


15. Gegeven is het functievoorschrift `y(x) = ||x - 2| - 2|`.
    1. Verklaar waarom de grafiek van deze functie de vorm van de letter W heeft.
    2. Bereken algebraïsch de nulpunten van deze functie.
    3. Los op: `y = 1`.
    4. Verzin zelf een functievoorschrift waarmee je een letter M (een omgekeerde W) in beeld krijgt die symmetrisch ligt ten opzichte van de `y`-as.


16. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 4x|x - 1|`.
    1. In welk punt heeft de grafiek van deze functie een knik?
    2. Schrijf het functievoorschrift in gesplitste vorm, zonder absoluutstrepen.
    3. Los op: `y < 0,5`.


17. De grafiek van de functie `f` met `f(x) = |ax + b|` gaat door de punten `(0,3)`, `(1,1)` en `(4,5)`. Bepaal de juiste waarden van de parameters `a` en `b`.


18. Bekijk de grafieken van `y_1` = int(`2x + 1`) en `y_2 = x +` int(`x`) op je grafische rekenmachine met domein `[-4,4]`.
    1. Schrijf van elk van beide functies het bereik op.
    2. Hebben deze grafieken gemeenschappelijke punten? Licht je antwoord toe.
    3. Los op: `y_2 = 2x`.

Testen

18. Je ziet de grafieken van de jaarlijkse kosten van twee verschillende auto’s. Auto A was duurder in de aanschaf en heeft mede daarom hogere vaste kosten per jaar, maar is per gereden kilometer iets goedkoper.
    1. Stel voor beide auto’s een passende formule op voor de jaarlijkse kosten als functie van het aantal gereden kilometers.
    2. Bereken vanaf welk aantal gereden kilometers per jaar het voordeliger is om auto A aan te schaffen.


19. De grafiek van een lineaire functie gaat door de punten `A(-24,42)` en `B(30,16)`. Stel een passend functievoorschrift op.


20. Los de volgende vergelijkingen op.
    1. `|x^2 - 4|= 2`
    2. int(`2x - 1`) = 3


21. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 0,5x + |x - 1| + |1 + 2x|`.
    1. Waarom kent de grafiek van `f` twee knikpunten?
    2. Schrijf het functievoorschrift zonder absoluutstrepen in gesplitste vorm.
    3. Wat is het bereik van deze functie?
    4. Los op: `f(x) >= 4`.