Stelsels

Inleiding

Een muziekvoorstelling trekt 300 bezoekers. Een kinderkaartje kostte € 2,50 en een kaartje voor volwassenen kostte € 4,50. In totaal is er voor € 1110,00 aan inkomsten door de kaartverkoop.
Wil je nu weten hoeveel volwassenen en hoeveel kinderen er in de zaal zaten, kun je met twee variabelen werken. Je krijgt dan twee vergelijkingen met twee onbekenden en die kun je op verschillende manieren oplossen.
Over het oplossen van dergelijke stelsels vergelijkingen gaat dit onderdeel.

Je leert nu:

systematisch een stelsel vergelijkingen met twee variabelen oplossen;
gebruik maken van substitutie.

Je kunt al:

werken met variabelen (met 'letters');
eenvoudige algebraïsche technieken zoals terugrekenen, de balansmethode bij vergelijkingen en werken met haakjes.

Verkennen

Een muziekvoorstelling trekt 300 bezoekers. Een kinderkaartje kostte € 2,50 en een kaartje voor volwassenen kostte € 4,50. In totaal is er voor € 1110,00 aan inkomsten door de kaartverkoop.

> Bereken hoeveel kinderen er in de zaal zaten.

Theorie

Bij het oplossen van een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden zoek je in feite naar de snijpunten van twee bijpassende grafieken.
Die snijpunten kun je vaak vinden door:

door beide vergelijkingen met elkaar te combineren en er zo één vergelijking met één onbekende van te maken;
door beide vergelijkingen zo te herschrijven dat je ze in de grafische rekenmachine kunt invoeren en dan de gevraagde snijpunten door de machine te laten berekenen.

Bij het combineren van beide vergelijkingen maak je gebruik van:

substitutie:
Je drukt bij één van beide vergelijkingen de éne variabele in de andere uit en je vervangt dan in de andere vergelijking die variabele door de gevonden uitdrukking, zie Voorbeeld 1.
de balansmethode:
Je telt dan de linkerzijden en de rechterzijden van beide vergelijkingen bij elkaar. Je zorgt er wel eerst voor dat dan één van beide variabelen wegvalt (door een slimme vermenigvuldiging toe te passen). Zie Voorbeeld 2.

‡

Voorbeeld 1

Antwoord

Noem het aantal kinderen x en het aantal volwassenen y, dan is x + y = 300.
De totale inkomsten zijn 2,5x + 4,5y en dat is samen 1110 euro: 2,5x + 4,5y = 1110.

De vergelijking x + y = 300 kun je schrijven als y = 300 – x.
In de andere vergelijking kun je nu y vervangen door 300 – x.
Dat heet substitutie.
Je krijgt dan: 2,5x + 4,5(300 – x) = 1110.

Deze vergelijking heeft alleen x als onbekende. Hij is dus op te lossen: x = 120.
Er zaten daarom 120 kinderen in de zaal.

‡

Voorbeeld 2

Je kunt het stelsel vergelijkingen uit Voorbeeld 1 ook anders oplossen.
Schrijf het als

x + y	=	300
2,5x + 4,5y	=	1110

Vermenigvuldig je de bovenste vergelijking met –2,5, en tel je bij beide vergelijkingen de linkerzijden en de rechterzijden op, dan krijg je

–2,5x – 2,5y	=	–750
2,5x + 4,5y	=	1110

2y	=	360

Deze vergelijking heeft alleen y als onbekende. Hij is dus op te lossen: y = 180.
Er zaten daarom 300 – 180 = 120 kinderen in de zaal.

‡

Voorbeeld 3

Het stelsel x + y = 300. en 2,5x + 4,5y = 1110 kun je ook met de grafische rekenmachine oplossen.

De vergelijking x + y = 300 kun je schrijven als y = 300 – x.
En de vergelijking 2,5x + 4,5y = 1110 kun je schrijven als `y=5/9 x + 246 2/3`.

Voer je beide vergelijkingen in je grafische rekenmachine in, dan kun je de grafieken bekijken.
Zowel x als y kunnen waarden aannemen vanaf 0 t/m 300, dus de vensterinstellingen liggen voor de hand. De GR kan het snijpunt voor je berekenen: x = 120 en y = 180.

‡

Voorbeeld 4

Welke afmetingen heeft een rechthoekig veld met een oppervlakte van 120 m² en een omtrek van 46 m?

Antwoord

Noem de lengte van de rechthoek l en de breedte b.
Een oppervlakte van 120 m² betekent l · b = 120.
Een omtrek van 46 m betekent 2l + 2b = 46.

Dit stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden is alleen algebraïsch op te lossen d.m.v. substitutie.
Schrijf 2l + 2b = 46 als l = 23 – b en vervang in de andere vergelijking l door deze uitdrukking. Je krijgt: (23 – b) · b = 120.

De vergelijking (23 – b) · b = 120 schrijf je als b² – 23b + 120 = 0.
Door ontbinden in factoren vind je b = 8 V b = 15.

Het grasveld wordt 15 bij 8 m.

‡

Opgaven

Bekijk Voorbeeld 1.
Je ziet hoe een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden wordt opgelost door middel van substitutie. Je gaat nu deze methode toepassen bij het vinden van de waarden voor `x` en `y` die voldoen aan `2x + y = 6` en `x - 3y = -4`.
1. Druk in de eerste vergelijking `y` uit in `x`.
2. Voor het resultaat in de tweede vergelijking voor `y` in (de substitutie).
3. Los nu de in b gevonden vergelijking op.
4. Bereken de bijbehorende waarde voor `y`.
5. Je kunt dit stelsel ook oplossen door `x` uit de drukken in `y`. Los het stelsel ook op die manier op.

Bekijk Voorbeeld 2.
Je ziet hoe hetzelfde stelsel vergelijkingen als in Voorbeeld 1 nu wordt opgelost met de balansmethode. Eerst wordt er slim vermenigvuldigd.
Los het stelsels vergelijkingen `2x + y = 6` en `x - 3y = -4` op die manier op.

Bekijk Voorbeeld 3.
Nu wordt hetzelfde stelsel vergelijking met de grafische rekenmachine opgelost. Pas deze techniek ook toe op het stelsel `2x + y = 6` en `x - 3y = -4`.

De balansmethode kun je niet altijd toepassen bij het oplossen van een stelsel van vergelijkingen. Bekijk Voorbeeld 4.
1. Welk stelsel vergelijkingen tref je hier aan?
2. Waarom kun je dit stelsel vergelijkingen niet oplossen met de balansmethode?
3. Met welke methode wordt het stelsel opgelost?
4. Je kunt het stelsel ook met de grafische rekenmachine oplossen. Laat zien hoe dat gaat.

Los de volgende stelsels vergelijkingen algebraïsch op.
1. `2x + 3y = 6` en `4x + 5y = 20`
2. `2a - b = 5` en `5a + 3b = 10`
3. `x^2 + y^2 = 25` en `2y = x + 5`

Als je een stelsel vergelijkingen met de grafische rekenmachine oplost, dan zie je dat het telkens gaat om snijpunten van twee (rechte of kromme) lijnen.
Er zijn gevallen waarin een stelsel vergelijkingen niet oplosbaar is. Je spreekt dan van een strijdig stelsel.Er zijn ook gevallen waarin een stelsel vergelijkingen oneindig veel oplossingen heeft. Dan heb je een afhankelijk stelsel.
Wat is er bij de volgende stelsels vergelijkingen aan de hand?
1. `2x - 5y = 20` en `y = 2,5x`
2. `2x + 5y = 20` en `y = 2,5x`
3. `2x - 5y = 20` en `y = 2,5x - 10`

Verwerken

Los de volgende stelsels vergelijkingen algebraïsch op.
1. `x + y = 6` en `2x - 3y = 0`
2. `2x + 4y = 7` en `3x + 5y = 8`
3. `y = x^2` en `x + y = 6`
4. `4x + 6y = 12` en `3x - 4y = 8`
5. `xy = 84` en `2x + y = 29`
6. `x^2 + y^2 = 25` en `y = 2x`

Van een rechthoek is de oppervlakte 200 cm² en de omtrek 90 cm. Noem de lengte `l` en de breedte `b`, beide in m.
Stel twee vergelijkingen op waaraan `l` en `b` moeten voldoen.
Bereken de oplossing van dit stelsel.

In een bak zitten 1000 pakjes. In een aantal van die pakjes zit een cadeautje van € 9,-, in de overige zit een cadeautje ter waarde van € 1,-. Het totale bedrag aan cadeautjes in de bak is € 3000,-.
De vraag is: Hoeveel pakjes met een cadeautje van € 9,- zitten er in de bak?
1. Stel twee lineaire vergelijkingen op om dit probleem op te lossen.
2. Breng de lijnen die bij deze vergelijkingen horen in beeld op je grafische rekenmachine.
3. Bepaal de oplossing van het probleem.
4. Waarom is in dit geval een grafische oplossing heel nauwkeurig?

Op een kaasboerderij wordt van 9,8 kg melk 1 kg volvette kaas gemaakt. 22,5 kg melk verwerken ze daar tot 1 kg boter. Er is 1000 kg melk in voorraad. Er wordt altijd twee keer zoveel boter dan kaas gemaakt.
Hoeveel kg kaas en hoeveel kg boter kan er van de beschikbare hoeveelheid melk worden gemaakt?
Los dit probleem op met behulp van een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Voor een heg koopt iemand jonge groenblijvende planten: 20 thuja’s en 12 jeneverbessen. Dat kost hem € 267,00. Na het planten blijven er 2 jeneverbessen over, maar zijn er 5 thuja’s tekort. Bij het tuincentrum ruilen ze de twee jeneverbessen voor vijf thuja’s, maar er moet € 18,00 worden bijbetaald.
Wat kost een thuja en wat kost een jeneverbes?

Deze puzzel wordt toegeschreven aan Euklides (ongeveer 300 v.Chr.). Los hem op.
Een ezel en een muildier sjokken voort, beladen met allemaal even zware zakken. De ezel zucht onder zijn last, waarop het muildier tegen zijn lotgenoot zegt: "Wat kreun en jammer je toch! Tweemaal zoveel zou ik dragen als jij, als je mij één zak van jouw zou geven, terwijl we evenveel zouden dragen als je er één van mij nam."
Hoeveel zakken draagt ieder dier?

Testen

Los de volgende stelsels vergelijkingen algebraïsch op.
1. `k + 3v = 200` en `k + v = 110`
2. `3a + 4b = 10` en `a - 2b = 4`
3. `2x - y = 5` en `3x + 5y = 15`
4. `pq = 400` en `q = 45 - 0,5p`

In een klein theater zijn twee soorten plaatsen: 'zaal' en 'balkon'.
Voor een bepaalde voorstelling kost een zaalplaats € 12,50 en een balkonplaats € 15,00. Er worden die avond 82 kaarten verkocht met een totale opbrengst van € 1080,00.
Hoeveel mensen hadden een balkonplaats?