Stelsels

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Werken met formules > Stelsels > Inleiding

Bij Verkennen wordt een probleem gesteld. Probeer dit op te lossen.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Werken met formules > Stelsels > Theorie

Bekijk eerst de Theorie. De Voorbeelden komen in de volgende opgaven aan de orde.

Opgaven

  1. Bekijk Voorbeeld 1.
    Je ziet hoe een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden wordt opgelost door middel van substitutie. Je gaat nu deze methode toepassen bij het vinden van de waarden voor `x` en `y` die voldoen aan `2x + y = 6` en `x - 3y = -4`.
    1. Druk in de eerste vergelijking `y` uit in `x`.
    2. Voor het resultaat in de tweede vergelijking voor `y` in (de substitutie).
    3. Los nu de in b gevonden vergelijking op.
    4. Bereken de bijbehorende waarde voor `y`.
    5. Je kunt dit stelsel ook oplossen door `x` uit de drukken in `y`. Los het stelsel ook op die manier op.

  2. Bekijk Voorbeeld 2.
    Je ziet hoe hetzelfde stelsel vergelijkingen als in Voorbeeld 1 nu wordt opgelost met de balansmethode. Eerst wordt er slim vermenigvuldigd.
    Los het stelsels vergelijkingen `2x + y = 6` en `x - 3y = -4` op die manier op.

  3. Bekijk Voorbeeld 3.
    Nu wordt hetzelfde stelsel vergelijking met de grafische rekenmachine opgelost. Pas deze techniek ook toe op het stelsel `2x + y = 6` en `x - 3y = -4`.

  4. De balansmethode kun je niet altijd toepassen bij het oplossen van een stelsel van vergelijkingen. Bekijk Voorbeeld 4.
    1. Welk stelsel vergelijkingen tref je hier aan?
    2. Waarom kun je dit stelsel vergelijkingen niet oplossen met de balansmethode?
    3. Met welke methode wordt het stelsel opgelost?
    4. Je kunt het stelsel ook met de grafische rekenmachine oplossen. Laat zien hoe dat gaat.

  5. Los de volgende stelsels vergelijkingen algebraïsch op.
    1. `2x + 3y = 6` en `4x + 5y = 20`
    2. `2a - b = 5` en `5a + 3b = 10`
    3. `x^2 + y^2 = 25` en `2y = x + 5`

  6. Als je een stelsel vergelijkingen met de grafische rekenmachine oplost, dan zie je dat het telkens gaat om snijpunten van twee (rechte of kromme) lijnen.
    Er zijn gevallen waarin een stelsel vergelijkingen niet oplosbaar is. Je spreekt dan van een strijdig stelsel.Er zijn ook gevallen waarin een stelsel vergelijkingen oneindig veel oplossingen heeft. Dan heb je een afhankelijk stelsel.
    Wat is er bij de volgende stelsels vergelijkingen aan de hand?
    1. `2x - 5y = 20` en `y = 2,5x`
    2. `2x + 5y = 20` en `y = 2,5x`
    3. `2x - 5y = 20` en `y = 2,5x - 10`

Verwerken

  1. Los de volgende stelsels vergelijkingen algebraïsch op.
    1. `x + y = 6` en `2x - 3y = 0`
    2. `2x + 4y = 7` en `3x + 5y = 8`
    3. `y = x^2` en `x + y = 6`
    4. `4x + 6y = 12` en `3x - 4y = 8`
    5. `xy = 84` en `2x + y = 29`
    6. `x^2 + y^2 = 25` en `y = 2x`

  2. Van een rechthoek is de oppervlakte 200 cm2 en de omtrek 90 cm. Noem de lengte `l` en de breedte `b`, beide in m.
    Stel twee vergelijkingen op waaraan `l` en `b` moeten voldoen.
    Bereken de oplossing van dit stelsel.

  3. In een bak zitten 1000 pakjes. In een aantal van die pakjes zit een cadeautje van € 9,-, in de overige zit een cadeautje ter waarde van € 1,-. Het totale bedrag aan cadeautjes in de bak is € 3000,-.
    De vraag is: Hoeveel pakjes met een cadeautje van € 9,- zitten er in de bak?
    1. Stel twee lineaire vergelijkingen op om dit probleem op te lossen.
    2. Breng de lijnen die bij deze vergelijkingen horen in beeld op je grafische rekenmachine.
    3. Bepaal de oplossing van het probleem.
    4. Waarom is in dit geval een grafische oplossing heel nauwkeurig?

  4. Op een kaasboerderij wordt van 9,8 kg melk 1 kg volvette kaas gemaakt. 22,5 kg melk verwerken ze daar tot 1 kg boter. Er is 1000 kg melk in voorraad. Er wordt altijd twee keer zoveel boter dan kaas gemaakt.
    Hoeveel kg kaas en hoeveel kg boter kan er van de beschikbare hoeveelheid melk worden gemaakt?
    Los dit probleem op met behulp van een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

  5. Voor een heg koopt iemand jonge groenblijvende planten: 20 thuja’s en 12 jeneverbessen. Dat kost hem € 267,00. Na het planten blijven er 2 jeneverbessen over, maar zijn er 5 thuja’s tekort. Bij het tuincentrum ruilen ze de twee jeneverbessen voor vijf thuja’s, maar er moet € 18,00 worden bijbetaald.
    Wat kost een thuja en wat kost een jeneverbes?

  6. Deze puzzel wordt toegeschreven aan Euklides (ongeveer 300 v.Chr.). Los hem op.
    Een ezel en een muildier sjokken voort, beladen met allemaal even zware zakken. De ezel zucht onder zijn last, waarop het muildier tegen zijn lotgenoot zegt: "Wat kreun en jammer je toch! Tweemaal zoveel zou ik dragen als jij, als je mij één zak van jouw zou geven, terwijl we evenveel zouden dragen als je er één van mij nam."
    Hoeveel zakken draagt ieder dier?

Testen

  1. Los de volgende stelsels vergelijkingen algebraïsch op.
    1. `k + 3v = 200` en `k + v = 110`
    2. `3a + 4b = 10` en `a - 2b = 4`
    3. `2x - y = 5` en `3x + 5y = 15`
    4. `pq = 400` en `q = 45 - 0,5p`

  2. In een klein theater zijn twee soorten plaatsen: 'zaal' en 'balkon'.
    Voor een bepaalde voorstelling kost een zaalplaats € 12,50 en een balkonplaats € 15,00. Er worden die avond 82 kaarten verkocht met een totale opbrengst van € 1080,00.
    Hoeveel mensen hadden een balkonplaats?