Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. Verticale asymptoot `x = 4`.
      `text(D)_f = (:4, rarr:)`.
    2. Er is geen snijpunt met de `y`-as.
      Het snijpunt met de `x`-as vind je uit `f(x) = -2 ln(x - 4) + 2 = 0` en dit geeft `ln(x - 4) = 1`, dus `x = 4 + text(e)`. Dus `(4 + text(e), 0))`.
    3. `f'(x) = (-2)/(x - 4)` geeft `f'(4 + text(e)) = (-2)/(text(e))` en dus is de vergelijking van de raaklijn `y = (-2)/(text(e)) * x + 8/(text(e)) + 2`.
    4. `f(x) = 10` geeft `ln(x - 4) = -4` en dus `x = text(e)^(-4) + 4`.
      `f(x) = -10` geeft `ln(x - 4) = 6` en dus `x = text(e)^(6) + 4`.
      Grafiek: `text(e)^(-4) + 4 < x < text(e)^(6) + 4`.
    1. De exponent van deze functie is altijd kleiner of gelijk aan nul. Daarmee komt de functiewaarde altijd op het volgende interval: `(:0,1]`.
      Je kunt ook `f'(x) = -xtext(e)^(- 1/2x^2) = 0` oplossen.
    2. `f"(x) = (-1 + x^2)text(e)^(- 1/2x^2) = 0` geeft `x = +-1`.
      De twee buigpunten zijn `(+-1, text(e)^(-1/2))`.
    3. Maak ze met de grafische rekenmachine: Y1=e^(-0.5x^2) en Y2=nDeriv(Y1,X,X).
    1. `f(x) = g(x)` geeft `2^(-x) = 4` en dus `x = -2`.
      Grafiek: `x > -2`.
    2. `int_(-2)^0 (2^x + 4 - (2^x + 2^(-x)) text(d)x = [4x - (2^(-x))/(ln(2))]{:(0),(-2):} = 8 - 5/(ln(2))`.
    3. `|f(p) - g(p)| = 8` geeft `2^(-p) - 4 = 8 vv 4 - 2^(-p) = 8`.
      Dit kan alleen als `2^(-p) - 4 = 8` en dus `2^(-p) = 12`, zodat `p = -^2 log(12)`.
    4. `f(x) + g(x) = 2 * 2^x + 2^(-x) + 4 = -2` geeft `2 * (2^x)^2 + 6 * 2^x + 1 = 0`, zodat `2^x = (-4 +- sqrt(28))/4 = -1 +- 1/2 sqrt(7)`. Dit geeft `x = ^2 log(-1 + 1/2sqrt(7))`.
    1. `t rarr oo` geeft `text(e)^(-0,31t) rarr 0` en dus `N(t) rarr 1200`.
    2. Horizontale asymptoot `N = 1200`.
    3. `1200(1 - text(e)^(-0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(-0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.
    4. `v(t) = 372text(e)^(-0,31t)` en als `t rarr oo` dan gaat `v(t) rarr 0`.
      Dat wil niet zeggen dat `N` naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar `0` en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.
    5. `N'(t) = 372text(e)^(-0,31t) > 0` voor elke waarde van `t`.
    6. `t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.
    7. `v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(-0,31t) = 186` geeft `text(e)^(-0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24`. Dat is ongeveer `2` uur en `14` minuten.
    1. Voor functie `f` moet `4 - x^2 > 0` en dit geeft als domein `text(D)_f = (:-2, 2:)`.
      Aan de grafiek zie je dat de functie `f` een maximum heeft voor `x = 0` en twee verticale asymptoten bij `x = -2` en `x = 2`, dus: `text(B)_f = (:larr, log(4)]`.
      Voor functie g moet `3x > 0`, dus `text(D)_f = (:0,rarr:)`.
      Verder is dit een functie waarvan de grafiek kan worden gevonden door transformaties uit te voeren op de grafiek van `y = log(x)`. Dus `text(B)_f = RR`.
    2. `f(x) = g(x)` geeft `4 - x^2 = 3x` en dus `x = 1 vv x = -4`.
      Grafieken: `-2 < x <= 1`.
    3. `S(1, log(3))` en `f'(x) = (-2x)/((4 - x^2)ln(10))` en `g'(x) = 1/(x ln(10))`.
      `f'(1) = (-2)/(3ln(10)) = tan(alpha)` geeft `alpha ~~ -16,1`°.
      `g'(1) = (1)/(ln(10)) = tan(beta)` geeft `beta ~~ 23,5`°.
      De hoek tussen beide raaklijnen is ongeveer `40`°.
    1. Vanwege de ln-functie moet `x > 0`.
      Verder moet `1 + ln^2(x) != 0`, maar dat is voor elke `x > 0` het geval.
    2. `f(x) = 0` geeft `4 ln(x) = 0` en dus `x = 1`. Nulpunt `(1,0)`.
      `f'(x) = (4 - 4ln^2(x))/(x(1 + ln^2(x))^2) = 0` geeft `4 - 4ln^2(x) = 0` en dus `ln^2(x) = 1`.
      Dit geeft `x = text(e) vv x = 1/(text(e))`.
      Met de grafiek vind je min.`f(1/(text(e))) = -2` en max.`f(text(e)) = 2`.
    3. `f(x) = 1` geeft `4ln(x) = 1 + ln^2(x)` en dus `ln^2(x) - 4ln(x) + 1 = 0`, zodat `ln(x) = (4 +- sqrt(12))/2 = 2 +- sqrt(3)`.
      Dit geeft `x = text(e)^(2 +- sqrt(3))`. Met de grafiek: `0 < text(e)^(2 - sqrt(3)) vv x > text(e)^(2 + sqrt(3))`.
    4. `f(text(e)^2) = 1,6` en `f'(text(e)^2) = (-2,4)/(text(e)^2)`.
      De raaklijn heeft vergelijking `y = (-2,4)/(text(e)^2) * x + 4`.
      Dus `B(0,4)` en `A(5/3 text(e)^2, 0)` en de lengte van `AB` is `sqrt(16 + 25/9 text(e)^4)`.
    1. `f_1(x) * f_(-1)(x) = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = k` geeft `x^2 = 1 + k`.
      Er zijn geen oplossingen voor `x` als `1 + k < 0` en dus `k < -1`.
    2. `f'_p(x) = (-px^2 + (p^2 + 2)x - p)e^(-px)` en `f"_p(x) = (p^2x^2 - (p^3 + 4p)x + 2p^2 + 2)e^(-px)`.
      Voor de gevraagde buigpunten moet `f_p(x) = 0 nn f"_p(x) = 0`.
      `f_p(x) = 0` geeft `x = 0 vv x = p`.
      `f"_p(0) = 2p^2 + 2 = 0` heeft geen oplossingen.
      `f"_p(p) = (-2p^2 + 2)text(e)^(-p^2) = 0` geeft `p = +-1`.
    3. `f'_p(x) = (-px^2 + (p^2 + 2)x - p)e^(-px) = 0` geeft `x = (-p^2 - 2 +- sqrt(p^4 + 4))/(-2p)`
    1. Halvering per vaste periode, dus exponentiële groei. Elk exponentieel groeimodel is te schrijven m.b.v. een e-macht.
    2. `H(t) = 1 * (0,5^(1/(4,486)))^t ~~ 1 * 0,856^5 ~~ 1 * text(e)^(-0,155t)`.
    3. Bij een exponentieel proces is de groeifactor niet afhankelijk van de (begin)hoeveelheid.
    4. `0,5^(1/(8,06)) ~~ text(e)^(-0,086)`, dus `k ~~ -0,086`.
    5. `H(t) = 1 * text(e)^(-0,086t)` geeft `H'(t) = -0,086 * text(e)^(-0,086t) = -0,086 * H(t)`, dus de evenredigheidsconstante is `-0,086`.
    6. `text(e)^(-0,086t) = 0,1` geeft `t ~~ 26,8`.
    7. Ook na 26,8 dagen.
    8. `text(e)^(-0,086t) = 0,01` geeft `t ~~ 72,3`. Na 72,3 dagen is hoeveelheid niet meer meetbaar. De stof verdwijnt (in theorie) nooit volledig
    1. Voor 1985 geldt `t = 0`, er zijn dan `0,5` miljoen schollen ouder dan 1 jaar. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar is telkens `0,67` deel van dat van het voorgaande jaar plus 0,5 mln larven die hun eerste jaar hebben overleefd. Dus in de jaren 1986, 1987, ..., 1995 worden dat er: `0,83`; `1,06`; `1,20`; `1,30`; `1,36`; ... miljoen.
    2. Dit wordt een steeds langzamer stijgende grafiek. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar nadert steeds langzamer de 1,50 miljoen.
    3. `G = 1,50`.
      Gebruik nu `S(0) = 0,50` en (bijvoorbeeld) `S(4) = 1,30` en je vindt: `S(t) ~~ 1,50 - 1,00 * text(e)^(-0,40t)`.
    4. Het aantal vissen dat sterft als gevolg van de visserij is 23% van het aantal aanwezige vissen. Er van uitgaande dat larven te klein zijn voor bevissing zou dit betekenen dat het deel van de schollen ouder dan 1 jaar dat jaarlijks overleeft `0,67 * 0,77 ~~ 0,52` wordt.
    5. Doen.
    1. `T(t) = 10 + 10 * 0,9982^t` geeft 15°C na 385 minuten en 19,5° na 28,5 minuten.
    2. `T'(0) = -0,018`°C/min en `T'(60) = -0,016`°C/min.
    3. `T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `T'(t) ~~ 0,0279 * 0,9982^t > 0` voor elke `t`.
    4. 20°C na 18,2 minuten.
    5. `T(t) = 10 + 10,5 * 0,9982^t` geeft 19,5°C na 55,6 min.
      `T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft 20,5°C na 37,0 min.
      De periode is 92,6 minuten, dus CV brandt gedurende 40% van de periode.
    6. De CV gaat uit bij 20,25°C en de CV gaat aan bij 19,75°C.
      `T(t) = 10 + 10,25 * 0,9982^t` geeft 19,75°C na 27,8 min.
      `T(t) = 35 - 15,25 * 0,9982^t` geeft 20,25°C na 18,5 min.
      De periode is 46,3 minuten, dus CV brandt gedurende 40% van de periode.
    7. De CV gaat uit bij 20,5°C en de CV gaat aan bij 19,5°C.
      `T(t) = 3 + 17,5 * 0,9982^t` geeft 19,5°C na 32,7 min.
      `T(t) = 28 - 8,5 * 0,9982^t` geeft 20,5°C na 69,5 min.
      De periode is 102,2 minuten, dus CV brandt gedurende 68% van de periode.
      De CV gaat uit bij 20,25°C en de CV gaat aan bij 19,75°C.
      `T(t) = 3 + 17,25 * 0,9982^t` geeft 19,5°C na 16,3 min.
      `T(t) = 28 - 8,25 * 0,9982^t` geeft 20,5°C na 34,7 min.
      De periode is 51,0 minuten, dus CV brandt gedurende 68% van de periode.
    1. Vast percentage "overblijvers", dus constante groeifactor.
    2. `M = 0,05`: `(0; 0,05)` op verticale as.
      `G = 0,21`: de richtingscoëfficiënt van de lijn is `log(text(e)^(0,21))`.
    3. `m = 0,05 text(e)^(0,21x)`, de grafiek past bij de formule.
    4. `m(10) ~~ 0,41` dus zo'n 59 tienjarigen.
    5. `M ~~ 0,09`. Exponentiële groei tussen `(0;0,09)` en `(10;0,38)`, zodat `G ~~ 0,14`.
    6. Dit volgt uit `text(e)^(Gx) = 2`.
    7. Kalkoen: `SCVT = 3,3`.
      Spreeuw: `SCVT = 5,0`.
    8. Kalkoen: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,21x))`.
      Spreeuw: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,14x))`.
      Eerste grafiek eerder op nul, deze grafiek daalt in begin iets minder sterk, daarna sterkere daling. Meer "vergrijzing" bij de spreeuwen.
    1. `log(10A) = log(A) + log(10) = log(A) + 1`.
    2. De aardbeving in Chili was `10^(3,3) ~~ 1995` keer zo sterk.
    3. Vergelijkbaar bewijs als in a.
    4. `D = 152,7`° dus ongeveer 17.000 km.
    5. `8,8 = log(A/T) + 1,66 * log(D) + 3,30` geeft `log(A/T * D^(1,66)) = 5,5` en dus `A/T * D^(1,66) = 10^(5,5)` zodat `D = 2057 * (T/A)^(0,60)`. `p ~~ 2057` en `q ~~ 0,60`.
    1. `C(t) = 0,035` geeft `t ~~ 0,3469 vv t ~~ 6,0715` (met de GR). Het medicijn is 5 uur en 43 minuten (of 343 minuten) werkzaam.
    2. `C'(t) = 0,12 * 1 * text(e)^(-0,5t) + 0,12 * t * -0,5 * text(e)^(-0,5t)` en dan herleiden naar de juiste formule.
    3. `C"(t) = 0,12 * (0,25t - 1) * text(e)^(-0,5t) = 0` geeft `t = 4`.
    4. Het hoogste maximum is het maximum op `[18, 24]` van `C(t) + C(t - 6) + C(t - 12) + C(t - 18)`.
      Dit maximum kun je met de GR vergelijken met 0,11. Je concludeert dat de concentratie op `[18, 24]` niet boven de 0,11 (mg/cm3) komt.