Integralen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Integralen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Integralen > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk de Uitleg. Er worden primitieven bepaald van exponentiële en logaritmische functies.
   1. Als ${\displaystyle f\left(x\right)=g^x}$ dan is ${\displaystyle F\left(x\right)=\frac{1}{ln\left(g\right)}\cdot g^x+c}$. Laat zien dat dit klopt door ${\displaystyle F}$ te differentiëren.
   2. Leid de primitieve van ${\displaystyle g\left(x\right)={\text{e}}^x}$ af uit die van ${\displaystyle f\left(x\right)=g^x}$.
   Neem nu de functie ${\displaystyle h\left(x\right)=2+\mathrm{0,5}{\text{e}}^{2x}}$.
   3. Bereken ${\displaystyle {\int }_0^{2}h\left(x\right)\text{d}x}$.
   4. Wat heb je met de integraal uit c uitgerekend?


2. In de Uitleg wordt verteld dat ${\displaystyle F\left(x\right)=ln\left|x\right|+c}$ de primitieve is van ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1}{x}}$.
   1. Laat met behulp van differentiëren zien dat dit juist is.
   2. Welke primitieve heeft ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{4}{x+2}}$?
   3. Welke primitieve heeft ${\displaystyle h\left(x\right)=\frac{4}{2x+4}}$?


3. In de Uitleg wordt verteld dat ${\displaystyle F\left(x\right)=xln\left(x\right)-x+c}$ de primitieve is van ${\displaystyle f\left(x\right)=ln\left(x\right)}$.
   1. Laat met behulp van differentiëren zien dat dit juist is.
   2. Welke primitieve heeft ${\displaystyle f\left(x\right){=}^{g}log\left(x\right)}$?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Integralen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. Het gaat hier vooral om het toepassen van de eerdere theorie en het gebruik van logaritmische schalen.

Opgaven

4. Primitiveer de volgende functies, zie Voorbeeld 1.
   1. ${\displaystyle f\left(x\right)={\text{e}}^{x+1}}$
   2. ${\displaystyle f\left(x\right)=5+3\cdot 2^{4x}}$
   3. ${\displaystyle f\left(x\right)=2x+\frac{1}{x}}$
   4. ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{3}{2x+1}}$
   5. ${\displaystyle f\left(x\right)=ln\left(3x\right)}$
   6. ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{{\text{e}}^{4x}}}$


5. Bepaal de volgende integralen met behulp van primitiveren.
   1. ${\displaystyle {\int }_0^2\frac{3}{3x+4}\text{d}x}$
   2. ${\displaystyle {\int }_0^4{\mathrm{0,5}}^{2x-1}\text{d}x}$
   3. ${\displaystyle {\int }_1^2\frac{x^4+5x^2}{x^3}\text{d}x}$
   4. ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,25}}^{\text{e}}ln\left(4x\right)\text{d}x}$


6. Gegeven is de functie ${\displaystyle f\left(x\right)={\text{e}}^x}$. Het vlakdeel ${\displaystyle V}$ wordt ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$, de lijn ${\displaystyle x=2}$ en de twee coördinaatassen.
   1. Bereken de oppervlakte van ${\displaystyle V}$. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2.
   2. Het vlakdeel ${\displaystyle V}$ wordt om de ${\displaystyle x}$-as gewenteld. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.
   3. Het vlakdeel ${\displaystyle V}$ wordt om de ${\displaystyle y}$-as gewenteld, zie ook Voorbeeld 3. Bereken met behulp van de grafische rekenmachine de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat in twee decimalen nauwkeurig.
   4. Bereken de omtrek van vlakdeel ${\displaystyle V}$ in twee decimalen nauwkeurig, zie ook Voorbeeld 4.


7. Gegeven is de functie ${\displaystyle f}$ door ${\displaystyle f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}}$.
   ${\displaystyle V}$ is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$ en de lijn ${\displaystyle y=2\frac{1}{2}}$.
   1. Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van ${\displaystyle V}$.
   2. Het vlakdeel ${\displaystyle V}$ wordt gewenteld om de ${\displaystyle x}$-as. Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.
   3. Bereken met behulp van de grafische rekenmachine de omtrek van ${\displaystyle V}$.

Verwerken

8. Bereken de volgende integralen exact en controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.
   1. ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{2x+1}\text{d}x}$
   2. ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{2\text{e}}-{\text{e}}^{2x}\text{d}x}$
   3. ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,25}}^{1}ln\left(4x\right)\text{d}x}$
   4. ${\displaystyle {\int }_1^4\frac{x+4}{2x}\text{d}x}$
   5. ${\displaystyle {\int }_0^{1}2+5\cdot {10}^{\mathrm{0,5}x}\text{d}x}$
   6. ${\displaystyle {\int }_1^{2}log\left(3x\right)\text{d}x}$


9. Bepaal de primitieve functie ${\displaystyle F\left(x\right)}$ als bekend is dat:
   1. ${\displaystyle f\left(x\right)=-\mathrm{0,25}{\text{e}}^{-\frac{1}{2}x}+\text{e}}$ en ${\displaystyle F\left(0\right)=1}$
   2. ${\displaystyle f\left(x\right)=1-log\left(x\right)}$ en ${\displaystyle F\left(1\right)=0}$


10. Gegeven is de functie ${\displaystyle f}$ met ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{2x}}$.
    ${\displaystyle V}$ is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$, de ${\displaystyle x}$-as en de lijn ${\displaystyle x=4}$.
    1. Bereken exact de oppervlakte van ${\displaystyle V}$.
    2. Bereken de omtrek van ${\displaystyle V}$ in twee decimalen nauwkeurig.
    3. ${\displaystyle V}$ wordt gewenteld om de ${\displaystyle x}$-as. Bereken de exacte inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.


11. Gegeven is de functie ${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2{\text{e}}^x}{{\text{e}}^x+1}}$.
    1. Laat zien dat ${\displaystyle f\text{'}\left(x\right)=\frac{2{\text{e}}^x}{{({\text{e}}^x+1)}^2}}$.
    2. Bepaal de oppervlakte van het gebied tussen de ${\displaystyle x}$-as en de functie ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{2{\text{e}}^x}{{({\text{e}}^x+1)}^2}}$ op het interval ${\displaystyle \left[\mathrm{0,2}\right]}$.
    Voor ${\displaystyle a>0}$ is ${\displaystyle G_a}$ het gebied ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$ en de ${\displaystyle x}$-as op ${\displaystyle [-a,a]}$.
    3. Bereken de exacte waarde van ${\displaystyle a}$ waarvoor de oppervlakte van ${\displaystyle G_a}$ gelijk is aan ${\displaystyle 1}$.


12. Gegeven zijn de functies ${\displaystyle f_p}$ door ${\displaystyle f_p\left(x\right)=px{\text{e}}^{-x^2}}$.
    ${\displaystyle V_p}$ is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$, de ${\displaystyle x}$-as en de lijn ${\displaystyle x=2}$.
    1. Toon aan dat ${\displaystyle F\left(x\right)=-\mathrm{0,5}p{\text{e}}^{-x^2}+c}$ de primitieve is van ${\displaystyle f}$.
    2. Bereken de oppervlakte van ${\displaystyle V_1}$.
    3. Voor welke ${\displaystyle p}$ is de oppervlakte van ${\displaystyle V_p}$ gelijk aan 10?

Testen

13. Bereken de volgende integralen met behulp van primitiveren.
    1. ${\displaystyle {\int }_1^2(\frac{2}{x}+{\text{e}}^x)\text{d}x}$
    2. ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{2x}}{{\text{e}}^x}\text{d}x}$
    3. ${\displaystyle {\int }_1^2\frac{4}{2x+3}\text{d}x}$
    4. ${\displaystyle {\int }_1^2{(1-\frac{3}{x})}^2\text{d}x}$
    5. ${\displaystyle {\int }_2^{4}ln(x-1)\text{d}x}$
    6. ${\displaystyle {\int }_0^2{2}^{3x}\text{d}x}$


14. Gegeven is ${\displaystyle f\left(x\right)={\text{e}}^{\frac{x}{3}}-2x+5}$.
    Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$, de ${\displaystyle y}$-as, de lijn ${\displaystyle y=5-2x}$, de ${\displaystyle x}$-as en de lijn ${\displaystyle x=6}$.
    


15. Gegeven is de functie ${\displaystyle f}$ door ${\displaystyle f\left(x\right)={\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}$.
    ${\displaystyle V}$ is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van ${\displaystyle f}$ en de lijn ${\displaystyle y=4}$.
    1. Bereken algebraïsch de extremen van ${\displaystyle f}$.
    2. Los op: .
    3. Bereken exact de oppervlakte van ${\displaystyle V}$.
    4. Bereken exact de inhoud van het lichaam dat ontstaat door ${\displaystyle V}$ om de ${\displaystyle x}$-as te wentelen.