Groeimodellen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Groeimodellen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Groeimodellen > Uitleg

Opgaven

1. Bekijk het eerste deel van de Uitleg. Daarin gaat het over het tekenen van de grafiek van een exponentiële functie.
   1. Ga na dat de getekende grafiek juist is.
   Neem nu de functie `K(t) = 600 * 0,8^t`.
   2. Laat op algebraïsche wijze zien dat `log(K)` een lineaire functie van `t` is.
   3. Teken de grafiek van `log(K)`.
   Zowel de grafiek van `N` als die van `K` kun je op enkellogaritmisch grafiekenpapier tekenen. Je hoeft dan niet eerst de formule te herschrijven.
   4. Neem een blad van dit grafiekenpapier en teken daarop de grafieken van beide functies.
   5. Je ziet hieronder de grafiek van een nieuwe functie N(t) op enkellogaritmisch grafiekenpapier. Leg uit dat de grafiek door (0,5;8000) en (6;400) gaat en stel het functievoorschrift op.
   6. Lees uit de figuur af hoe groot N(1) en N(4,5) (bij benadering) zijn. Controleer je antwoorden met behulp van het functievoorschrift.
   7. Heeft N(t) = 0 oplossingen? Kan er op de verticale as een 0 voorkomen?




2. Bekijk de functie `N_4(t) = 400 - 300 * 0,75^t`.
   1. Teken de grafiek van `N_4` op enkellogaritmisch grafiekenpapier.
   2. Kun je verklaren waarom de grafiek geen rechte lijn wordt?


3. Deze tabel met gegevens hoort bij een bacteriecultuur. `t` is gegeven in uren, en `N(t)` in aantallen.
   
   

   t	0	1	2	3	4	5	6
   N(t)	50	84	141	237	398	670	1125

   
   
   1. Maak met behulp van deze tabel een tabel waarin `log(N)` wordt uitgezet tegen `t`.
   2. Teken de bijbehorende grafiek. Kun je deze grafiek benaderen door een rechte lijn? Is er sprake van exponentiële groei?
   3. Stel een formule op voor `log(N)` als functie van `t`.
   4. Stel met behulp van het antwoord van c een formule op voor `N` als functie van `t`.


4. Bekijk het tweede deel van de Uitleg over het tekenen van een machtsfunctie.
   1. Maak bij de functie `N` met `N(t) = 20 * t^(1,5)` een tabel van `log(N)` afhankelijk van `log(t)`. Teken de grafiek van `log(N)` uitgezet tegen `log(t)`.
   2. Neem een blad dubbellogaritmisch grafiekenpapier. Teken daarop de grafiek van `N(t) = 20 * t^(1,5)`.
   Neem nu de functie `K(t) = 600 * t^(0,8)`.
   3. Laat op algebraïsche wijze zien dat `log(K)` een lineaire functie van `log(t)` is.
   4. Teken de grafiek van `K(t)` op dubbellogaritmisch grafiekenpapier.


5. Zoogdieren gaan bij een bepaalde pasfrequentie (het aantal passen per minuut) over van draf naar galop. De pasfrequentie waarbij dat gebeurt hangt af van de lichaamsmassa (in kg).
   1. Waaraan kun je zien dat op beide assen van deze grafiek een logaritmische schaal is gebruikt?
   2. Noem de lichaamsmassa `m` (in kg) en de pasfrequentie `P`. De rechte lijn gaat door de punten die horen bij een kleine hond en bij paarden. Leg uit dat het punt dat hoort bij paarden ongeveer de coördinaten `(10^(2,9),10^(2,0))` heeft. Bepaal zelf de coördinaten van het punt dat bij een kleine hond hoort.
   3. Leid nu een formule af voor `P` als functie van `m`.
   4. Bereken bij welke pasfrequentie een pony van 120 kg van draf naar galop overgaat.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Groeimodellen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. Het gaat hier vooral om het toepassen van de eerdere theorie en het gebruik van logaritmische schalen.

Opgaven

7. Bekijk Voorbeeld 1. De sterke toename van `N` doet exponentiële groei vermoeden.
   1. Teken de punten uit de tabel op enkellogaritmisch papier. Teken een lijn die zo goed mogelijk past bij de getekende punten. Deze lijn stelt de grafiek van `N(t)` voor op enkellogaritmisch papier.
   2. Stel zelf een formule op voor `N(t)`.
   3. Controleer of de punten uit de tabel passen bij de gevonden formule.
   4. Na hoeveel dagen zouden er volgens dit groeimodel meer dan 1000 fruitvliegjes zijn?


8. Bekijk Voorbeeld 2.
   1. Teken de grafiek van `log(T)` als functie van `log(R)` en/of teken de grafiek van `T(R)` op dubbellogaritmisch papier. Wat voor soort groeimodel past bij `T(R)`?
   2. Door welk punt moet je grafiek in ieder geval gaan?
   3. Stel zelf een formule op voor `T(R)`.
   4. In 1930 ontdekte astronoom Clyde Tombaugh een nieuw hemellichaam dat om de zon draaide op een (gemiddelde) afstand van 38,4851 AE. Dit hemellichaam werd Pluto genoemd en is lang als planeet geclassificeerd. Welke omlooptijd heeft Pluto?


9. In Voorbeeld 3 lijkt er sprake van geremde exponentiële groei. `N(t)` nadert de 350 fruitvliegjes.
   1. Teken een grafiek van `N(t)` die zo goed mogelijk past bij de gegevens in de tabel.
   2. Gebruik de grenswaarde van 350 fruitvliegjes, de waarde van N(0) en nog een ander geschikt punt van je grafiek om zelf een formule op te stellen voor `N(t)`.
   3. Bereken zelf de waarde van `t` waarin de groeisnelheid van `N` zo groot mogelijk is.


10. Bekijk het afkoelingsproces van een kop koffie in Voorbeeld 4.
    1. Ga uit van het beschreven groeimodel en stel zelf een bijpassende formule op als je aanneemt dat de grafiek door de punten `(0,80)` en (20;20,7) gaat.
    2. Bereken de snelheid van afkoelen na 10 minuten.

Verwerken

11. De tabel geeft de gemiddelde hoogte aan van de zonnebloemen op een bepaalde akker op verschillende tijdstippen na het ontkiemen. De gemiddelde maximale hoogte die deze zonnebloemen bereiken is 256 cm.
    `t` is de tijd in weken na het ontkiemen.
    `H(t)` is de gemiddelde hoogte van deze zonnebloemen in cm op tijdstip `t`.
    
    

    aantal weken	2	4	6	8	10	12
    hoogte in cm	36	98	170	228	251	255

    
    
    1. Onderzoek of er sprake is van lineaire groei, exponentiële groei, of geen van beide.
    2. Teken de grafiek van de functie: `F(t) = log((256 - H(t))/(H(t)))`. Gebruik de gegevens in de tabel.
    3. Toon aan dat er een eerstegraads functie is die de functie `F` redelijk benadert en geef het bijpassende functievoorschrift.
    4. Leid uit de resultaten van b en c een functievoorschrift van `H` als functie van de tijd af.
    5. Bereken de groeisnelheid van deze zonnebloemen op `t = 1`. Waarom is de gemiddelde groei gedurende de tweede week groter?
    6. Bereken de groeisnelheid van deze zonnebloemen op `t = 10`. Waarom is de gemiddelde groei gedurende de tiende week kleiner?
    7. Op welke dag na het ontkiemen van de zonnebloemen groeien ze het snelst? (Gebruik je grafische rekenmachine om het maximum van `H'(t)` te bepalen.) Hoe snel groeien de zonnebloemen dan?


12. In de tabel zie je de meetresultaten van een onderzoek naar het verband tussen de massa `m` van het dier en de energie `E` die het nodig heeft om zich over één kilometer te verplaatsen.
    
    

    dier	m (gram)	E (calorieën)
    muis	21	270
    eekhoorn	236	870
    witte ra	384	1,7 · 103
    hond (klein)	2,6 · 103	4,4 · 103
    hond (groot)	1,8 · 104	1,7 · 104
    schaap	3,9 · 104	2,3 · 104
    paard	5,8 · 105	5,8 · 104

    
    
    1. Teken deze gegevens op dubbellogaritmisch grafiekenpapier. Zet `m` uit op de horizontale as en `E` op de verticale as.
    2. Waarom kun je bij benadering aannemen, dat er tussen `m` en `E` een verband van de vorm `E = a * m^b` bestaat?
    3. Bereken passende waarden van `a` en `b`.
    4. Bereken het energieverbruik per km van een kat met een massa van 3,2 kg.


13. Bij het oogsten van koren wordt vaak gewerkt met een combine, of maaidorser. In zo'n maaidorser wordt in twee etappes gedorst: eerst in de dorstrommel en daarna op de zogenaamde "schudder", waar het graan (de graankorrels) tijdens het doorlopen van een traject uit het stro wordt geschud. De snelheid waarmee de hoeveelheid graan `G` (in kg) in het stro door het schudden afneemt, is recht evenredig met die hoeveelheid zelf:

    `G'(x) = -k * G(x)`

    waarin `x` de afstand tot het begin van de schudder in meters is.
    1. Verklaar de formule in de tekst hierboven, met name ook het minteken.
    2. Toon aan dat aan deze formule een functie `G(x)` van de vorm `G(x) = b * text(e)^(-kx)` voldoet. Hierin is `b` de hoeveelheid aan het begin van de schudder.
    3. Ga uit van een schudder met een totale lengte van 6 m. Neem `k = 0,2`. Hoeveel procent van de hoeveelheid graan aan het begin van de schudder is aan het einde nog niet uit het stro geschud?
    4. `k` heet de scheidingsfactor van dit proces van schudden. Verklaar die naam.
    5. De scheidingsfactor hangt af van de snelheid `v` (in m/s) van de maaidorser. Er geldt `k = 1/v`. Hoeveel procent van het graan wordt niet uit het stro geschud als de maaidorser rijdt met een snelheid van 2 m/s?
    6. Is er een snelheid mogelijk waarbij alle graan uit het stro wordt geschud?


14. De volgende alinea’s zijn vrij naar een artikel dat in 1991 in een krant stond.
    
    

    FAO luidt noodklok

    Elk jaar verdwijnt steeds meer tropisch oerwoud. In 1990 was de afname wel anderhalf keer zo groot als in 1980. Dit stelt de FAO, de voedsel- en landbouworganisatie van de Verenigde Naties, in een zondag verschenen rapport met nieuwe gegevens over de ontbossing van de aarde. 1 — In 1990 verdween in de tropen zeventien miljoen hectare oerwoud. Dit is een gebied even groot als Oostenrijk, Denemarken en Nederland samen. 2 — Er was op 1 januari 1990 nog 2900 miljoen hectare tropisch oerwoud over. 3 — De FAO wijst naar de geïndustrialiseerde landen waar de ontbossing een halt is toegeroepen. Tussen 1 januari 1980 en 1 januari 1985 is de bosoppervlakte in die landen met 5 procent toegenomen tot 2100 miljoen hectare.

    
    Een lezer van dit artikel probeert de gegeven informatie in een wiskundig model te verwerken om daarmee te kijken wat de gevolgen zullen zijn als de afname van het tropisch oerwoud op dezelfde wijze blijft voortduren. Zij noemt de oppervlakte aan tropisch oerwoud (in miljoenen hectare) dat op tijdstip `t` nog aanwezig is `y(t)`. Zij neemt `t = 0` op 1 januari 1980 en `t` in jaren.
    1. Leg uit waarom zowel een formule van de vorm `y(t) = a * t + b` als een formule van de vorm `y(t) = a * g^t` niet in overeenstemming is met de gegevens uit het krantenartikel.
    De lezer kiest voor een formule van de vorm `y(t) = b - a * g^t`.
    Uit de in de alinea’s 1, 2 en 3 verstrekte gegevens leidt zij deze waarden af: `b = 3311`, `a = 274` en `g = 1,0414`.
    2. Laat zien dat de formule met die waarden in overeenstemming is met de in de alinea’s 1, 2 en 3 gegeven informatie.
    Wanneer de ontbossing op dezelfde wijze blijft voortduren, zal op een gegeven moment minder dan 1000 miljoen hectare tropisch oerwoud overblijven.
    3. Bereken in welk jaar dat volgens de door de lezer gevonden formule zal gebeuren.
    Het oorspronkelijke krantenartikel begon met de zin: "De tropische oerwouden verdwijnen anderhalf keer zo snel als 10 jaar geleden."
    4. Onderzoek met behulp van differentiëren of de door de lezer gevonden formule ook hiermee in overeenstemming is.

Testen

l	T
(cm)	(s)
63,5	1,65
87,5	1,87
140,5	2,38
225,0	3,00
320,0	3,55

15. Bij een slingerproef is de slingerperiode `T` voor een aantal verschillende slingerlengten `l` gemeten.
    1. Laat zien met behulp van logaritmisch papier, dat de meetresultaten in overeenstemming zijn met de veronderstelling, dat `T` een machtsfunctie is van `l`: `T = A * l^a`.
    2. Bepaal `A` en `a`.


16. Een forellenkweker zet in elk van zijn kweekvijvers steeds 5000 jonge forellen uit. Die forellen nemen vanaf dat moment (`t = 0`) in gewicht toe, maar er sterven ook forellen. Hij heeft al een aantal jaren maandelijks de stand van de forellen bijgehouden. Op grond daarvan kan hij formules opstellen voor de groei van zo'n populatie forellen. Als `t` de tijd in maanden is, dan geldt:
    • `N(t) = 5000 * text(e)^(a * t)` waarin `N` het aantal forellen is.
    • `G(t) = G_(text(eind)) - b * text(e)^(c * t)` waarin `G` het gewicht per forel in kg is.
    `G_(text(eind))` stelt het gewicht voor dat een gemiddelde forel steeds meer zal benaderen naarmate hij ouder wordt.
    
        
    
    
    1. De uitgezette forellen wegen gemiddeld 65 gram. Stel nu met behulp van de grafieken de juiste formules op voor `N(t)` en `G(t)`.
    2. Stel een formule op voor het totale gewicht aan forellen in deze vijver.
    3. Als de forellenkweker zijn kweekvijver wil leegvissen als het totale gewicht aan forellen maximaal is, hoeveel maanden na het uitzetten moet hij dat dan doen?