Logaritmische functies

Antwoorden bij de opgaven

    1. `f'(x) = 1/(5x) * 5 = 1/x` en `f'(10) = 0,1`.
    2. `f'(x) = 3/(4 - x) * -1 = (-3)/(4 - x)` en `f'(10) = 0,5`.
    3. `f(x) = -ln(x)` dus `f'(x) = - 1/(x)` en `f'(10) = =0,1`.
  2. `f(x) = ^2 log(x) = (ln(x))/(ln(2)) = 1/(ln(2)) * ln(x)` dus `f'(x) = 1/(ln(2)) * 1/x = 1/(x ln(2))`.
  3. `f(x) = ^(g) log(x) = (ln(x))/(ln(g)) = 1/(ln(g)) * ln(x)` dus `f'(x) = 1/(ln(g)) * 1/x = 1/(x ln(g))`.
    1. `f'(x) = 1/(4x) * 4 = 1/x = 10` geeft `x = 0,1`.
    2. `f'(x) = 1/(x ln(3)) = 10` geeft `x = 1/(10ln(3))`.
    3. `f'(x) = 5 * 1/(x ln(10)) = 5/(x ln(10)) = 10` geeft `x = 1/(2ln(10))`.
    4. `f'(x) = 50 * 1/(2x) * 2 = 50/x = 10` geeft `x = 5`.
    5. `f'(x) = 1/((50 + x^2)x ln(2)) * 2x = (2x)/((50 + x^2) ln(2)) = 10` geeft `2x = 10ln(2)(50 + x^2)`. Er zijn geen oplossingen (`abc`-formule).
    6. `f(x) = 2(ln(3x))^(-1)` geeft `f'(x) = -2 * (ln(3x))^(-2) * 1/(3x) * 3 = (-2)/(3x ln^2(3x)) = 10` geeft `3x ln^2(3x) = -0,2`. Er zijn geen oplossingen.
    1. `h = -6,5 log(p/1020)` geeft `h'(p) = (-6,5)/(p ln(10))`.
    2. `h(900) ~~ 0,353` en `h'(900) ~~ -0,003`
    3. `h'(p) = (-6,5)/(p ln(10)) < 0` omdat `p > 0`.
    1. `text(D)_(f) = (:-2,rarr:)` en `text(D)_(g) = (:larr,0:)`.
      Op het interval `[-5,3]` zie je goed het verloop van de grafieken. De `y`-waarden lopen dan van `-3` tot `3`.
    2. `ln(2x + 4) = ln(-x)` geeft `2x + 4 = -x` en dus `x = - 4/3`.
      Met de grafiek vind je `-2 < x <= - 4/3`.
    3. `f'(x) = 2/(2x + 4)` en `g'(x) = 1/x`
      `f'(- 4/3) = 1,5` dus de hoek met de positieve `x`-as is `56,3`°.
      `g'(- 4/3) = -0,75` dus de hoek met de positieve `x`-as is `-36,9`°.
      De scherpe hoek tussen beide grafieken is `86,8`°.
    1. `f'(x) = 1 * ln^2(x) + x * 2 ln(x) * 1/x = ln^2(x) + 2 ln(x) = 0`.
      Zie verder voorbeeld 3.
    2. `f"(x) = (2 ln(x) + 2)/x = 0` geeft `ln(x) = -1` en dus `x = 1/(text(e))`.
      Het buigpunt is `(1/(text(e)),1/(text(e)))`.
    1. `f'(x) = nx^(n - 1) * ln(x) + x^(n - 1) = 0` geeft `ln(x) = -1/n` en dus `x = text(e)^(- 1/n)`.
      Nu is `f(text(e)^(- 1/n)) = (-text(e))/n` en voor positieve gehele `n` is dit een getal tussen `-text(e)` en `0`.
    2. Het snijpunt van de grafiek van alle `f_n` met de `x`-as is `(1,0)`. `f'(1) = 1` en dus is de gevraagde hoek gelijk aan `45`°.
    3. `f"(x) = n(n - 1)x^(n - 2) * ln(x) + (2n - 1)x^(n - 2) = 0` geeft `ln(x) = (-2n + 1)/(n(n - 1))`.
      Als `n = 1` heeft deze vergelijking geen oplossingen. Als `n > 1` dan is `(-2n + 1)/(n(n - 1)) < 0` en zijn er ook geen oplossingen. Geen enkele functie `f_n` heeft buigpunten.
    4. `f_2(x) = x^2 ln(x)` en `f_2'(x) = 2x ln(x) + x`.
      Raaklijn door `O(0,0)` en `P(p, p^2 ln(p))` heeft richtingscoëfficiënt `f'(p)`, dus `p^2 ln(p) = (2p ln(p) + p) * p`.
      Dit geeft `p^2 ln(p) + p^2 = 0` zodat `p = 0 vv ln(p) = -1`.
      Omdat `p = 0` vervalt is `p = 1/(text(e))` en `P(1/(text(e)), (-1)/(text(e)^2))`.
    1. `f'(x) = (-1)/((2 - x)ln(2))` geeft `f'(1) = (-1)/(ln(2))` en `f(1) = 0` zodat de raaklijnvergelijking is `y = (-1)/(ln(2)) * x + 1/(ln(2))`.
    2. `f'(x) = (2x + 4)/(x^2 + 4x)` geeft `f'(1) = 1,2` en `f(1) = ln(5)` zodat de raaklijnvergelijking is `y = 1,2x + ln(5) - 1,2`.
    3. `f'(x) = ln(2x) + 1` geeft `f'(1) = ln(2) + 1` en `f(1) = ln(2)` zodat de raaklijnvergelijking is `y = (ln(2) + 1)x - 1`.
    4. `f'(x) = (1 - ln(x))/(x^2)` geeft `f'(1) = 1` en `f(1) = 0` zodat de raaklijnvergelijking is `y = x - 1`.
    5. `f(x) = 1/(ln(x + 1))` dus `f'(x) = (-1)/((x + 1)ln^2(x + 1))`. Dit geeft `f'(1) = (-1)/(2 ln^2(2))` en `f(1) = 1/(ln(2))`. De raaklijnvergelijking is `y = (-1)/(2 ln^2(2)) * x + (2 ln(2) + 1)/(2 ln^2(2))`.
    1. `f'(x) = (-2)/(x^2) + 1/x`.
      `f(1) = 2 + ln(2)` en `f'(1) = -1` dus de raaklijnvergelijking is `y = -x + 3 + ln(2)`.
    2. `f'(x) = 0` geeft `1/x = 2/(x^2)` en dus `x = 2`. Het minumum is `f(2) = 1 + ln(4)`.
    3. `f'(x) = 1` geeft `(-2)/(x^2) + 1/x = -1` en dus `x^2 + x - 2 = 0` zodat `x = -2 vv x = 1`.
      Omdat `x = -2` vervalt vind je alleen `x = 1`.
    1. `6 - x = 1/x` geeft `x = 3 +- 2sqrt(2)`.
      De bijbehorende y waarden laten zich makkelijk uitrekenen. De snijpunten zijn dan ongeveer `(5,83; -2,54)` en `(0,17; 2,54)`.
    2. De punten A en B liggen beide op de verticale lijn `x = k`. Dus moet `h(k) = f(k) - g(k)` maximaal zijn.
      `h'(k) = 1/(6 - k) + 1/k = 0` geeft `k = 3`. En `h(3) = 2 * ^2 log(3)`.
    3. `y = p` geeft `6 - x = 2^p vv 1/x = 2^p` en dus `x = 6 - 2^p vv x = 1/(2^p)`.
      Het verschil van deze twee `x`-waarden is `l(p) = 6 - 2^p - 1/(2^p)`.
    4. `l'(p) = -2^p ln(2) + 2^(-p) ln(2) = 0` geeft `2^p = 2^(-p)` en dus `p = 0`.
      We vinden max.`l(0) = 4`.
    1. `x(ln(x) - 1) = 0` geeft `x = 0 vv x = text(e)`. Dus nulpunten `(0,0)` en `(text(e),0)`.
      De oorsprong is nog niet duidelijk als nulpunt, want daar bestaat de natuurlijke logaritme niet. Snijpunt met de `y`-as geeft weer de oorsprong. `f'(x) = ln(x) = 0` geeft `x = 1` en min.`f(1) = -1`.
    2. Doen, je ziet `f(0) = 0`. Hoe dat precies zit valt buiten het bestek van de wiskunde B op vwo.
    3. Raaklijn `y = ax - 1` geeft `x(ln(x) - 1) = ax -1 nn ln(x) = a` geeft `xln(x) - x = x ln(x) - 1` en dus `x = 1`.
      Het raakpunt is `(1,-1)`.
    1. De functies `f_p` zijn te schrijven als `f_p(x) = x^2 - ln(x) - ln(p)`. Je ziet dat de functie `g(x) = x^2 - ln(x)` met `- ln(p)` in de `y`-richting verschuift. De grootte van de verschuiving wordt bepaald door `p`.
    2. `f_p'(x) = 2x - 1/x = 0` geeft `x = +- 1/2 sqrt(2)`.
      `f(+- 1/2 sqrt(2)) = 1` geeft `1/2 - ln(p) +- 1/2 ln(2) = 1` en dus `p = text(e)^(1/2 +- 1/2 ln(2))`
    3. `f_p"(x) = 2 + 1/(x^2) > 0` voor elke waarde van `x`, dus er is geen buigpunt.
    1. `I = 10^(-12)` geeft `L = 0`.
      `I = 10` geeft `L = 130`.
    2. `L = 80` geeft `I = 10^(-4)`. Voor twee auto's is `I = 2 * 10^(-4)` en dus `L = 83,01` dB.
    3. `77 = L_0 - 10 * log(40pi)` geeft `L_0 = 77 - 10 * log(40pi)`.
      Op 100 meter vind je: `L = 77 - 10log(40pi) - 10log(200pi) = 70` dB.
      `L = 77 - 10log(40pi) - 10log(2pi R) = 60` geeft `17 = 10log(20/R)` en dus `R = 10^(2,7) ~~ 501,19` m.
    1. `f'(x) = 1/(x ln(3)) = 10` geeft `x = 1/(10 ln(3))`.
    2. `f'(x) = (-2)/((11 - x)ln(10)) = 10` geeft `11 - x = (-2)/(10 ln(10))` en dus `x = 11 + 2/(10 ln(10))`.
    3. `f'(x) = 1/x = 10` geeft `x = 0,1`.
    1. Nulpunten: `f(x) = 0` geeft `x = text(e)`, dus `(text(e),0)`.
      Er is geen snijpunt met de `y`-as.
      Extremen: `f'(x) = (2 ln(x))/(x^2) = 0` geeft `x = 1`. Met de grafiek vind je max.`f(1) = 2`.
    2. `f"(x) = (2 - 4ln(x))/(x^3) = 0` geeft `x = sqrt(text(e))`. Het buigpunt is `(sqrt(text(e)),4/(text(e)))`.
      3. Ster 1: `m = 4,5`, dus `I = 100^(0,3)`.
    3. Raaklijn `y = ax - 1` geeft `(2 + 2 ln(x))/x = (2 ln(x))/(x^2) * x + 1` en dus `2/x = 1` zodat `x = 2`.
      Het bedoelde punt is `(2, 1 + ln(2))`.
    1. `m = 6` en `I = 6` geeft `b = 6`.
      `m = 1` en `I = 100` geeft `1 = a ln(100) + 6` en dus `a = (-5)/(ln(100)) ~~ -1,086`.
    2. `m = (-5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` en `m(73) ~~ 1,34`.
    3. `-1,6 = (-5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` geeft `I ~~ 1096,48`.
    4. `m = (-5)/(ln(100)) * ln(I) + 6` geeft `m - 6 = (-5)/(ln(100)) * ln(I)` en dus `ln(I) = (6 - m)(ln(100))/(5)`.
      Dit geeft `I = text(e)^(0,2ln(100)(6 - m))`.
    5. Ster 1: `m = 4,5`, dus `I = 100^(0,3)`.
      Ster 2: `m = 4,7`, dus `I = 100^(0,26)`.
      Dubbelster: `I = 100^(0,3) + 100^(0,26)` en `m ~~ 3,84`.