Exponentiële functies

Antwoorden bij de opgaven

    1. `g(x) = 3^x = (text(e)^(ln(3)))^x = text(e)^(x * ln(3))` dus `g'(x) = ln(3) * text(e)^(x * ln(3)) = ln(3) * 3^x`
    2. `h(x) = 0,5^x = (text(e)^(ln(0,5)))^x = text(e)^(x * ln(0,5))` dus `h'(x) = ln(0,5) * text(e)^(x * ln(0,5)) = ln(0,5) * 0,5^x`
    3. `f(x) = g^x = (text(e)^(ln(g)))^x = text(e)^(x * ln(g))` dus `f'(x) = ln(g) * text(e)^(x * ln(g)) = ln(g) * g^x`
  2. `f(x) = text(e)^x` geeft `f'(x) = ln(text(e)) * text(e)^x = text(e)^x`.
  3. Een goede manier om het differentiëren nog even goed te oefenen, maar nu ook met de nieuwe e-macht en natuurlijke logaritme.
    1. `f'(x) = 5 ln(3) * 3^x`
    2. `f'(x) = 2,5 ln(2) * 2^(0,5x)`
    3. `f'(x) = - 4,8 ln(10) * 10^(0,1x)`
    4. `f'(x) = -10text(e)^(-0,1x)`
    1. Doen.
    2. `N(t) = 100 * 0,9996^t` geeft `N(t) = 100 * ln(0,9996) * 0,9996^t ~~ -0,043 * 0,9996^t`
      `N(t) = 100 * text(e)^(-0,00043t)` geeft `N(t) = 100 * -0,00043 * text(e)^(-0,00043t) = -0,043 * text(e)^(-0,00043t)`
      `N(t) = 100 * 10^(-0,00019t)` geeft `N(t) = 100 * -0,00019 * ln(10) * text(e)^(-0,00019t) = -0,043 * 10^(-0,00019t)`
      `N'(0) ~~ -0,043`
    3. `N'(90) ~~ -0,0414`, dus je ziet de vervalsnelheid kleiner worden.
    4. `100 * text(e)^(-0,00043t) = 20` geeft `-0,00043t = ln(0,20)` en `t ~~ 3743`. Dus na ongeveer `3750` jaar.
    1. `f'(x) = 2 ln(3) * 3^(2x - 4)`.
      `f(1) = -11 5/9` en `f'(1) = 2/9 ln(3)` geeft als vergelijking van de raaklijn `y = 2/9 ln(3) x - 11 5/9 - 2/9 ln(3)`.
    2. `f(x) = text(e)^(x) - text(e)^(-x)` geeft `f(x) = text(e)^(x) + text(e)^(-x)`.
      `f(1) = text(e) - text(e)^(-1)` en `f'(1) = text(e) + text(e)^(-1)` geeft als vergelijking van de raaklijn `y = (text(e) + 1/(text(e))) x - 2/(text(e))`.
    3. `f'(x) = text(e)^(1/x) * (-1)/(x^2)`.
      `f(1) = text(e)` en `f'(1) = -text(e)` geeft als vergelijking van de raaklijn `y = -text(e)x + 2text(e)`.
    4. `f(x) = text(e)^(-x^2) * x^(-3)` geeft `f'(x) = -2x^(-2) * text(e)^(-x^2) - 3x^(-4) * text(e)^(-x^2)`.
      `f(1) = text(e)^(-1)` en `f'(1) = -5text(e)^(-1)` geeft als vergelijking van de raaklijn `y = -5/(text(e)) * x + 6/(text(e))`.
    1. `f(x) = xtext(e)^(-x) = 0` geeft `x = 0` dus nulpunt `(0,0)`.
      `f'(x) = (1 - x)text(e)^(-x) = 0` geeft `x = 1` en met de grafiek max.`f(1) = 1/(text(e))`.
      Als `x rarr oo` dan `f(x) rarr 0` geeft horizontale asymptoot `y = 0`.
    2. `f"(x) = (x - 2)text(e)^(-x) = 0` geeft `x = 2` dus buigpunt `(2, 1/(text(e)^2))`.
    3. `f'_a(x) = a(1 - x)text(e)^(-x) = 0` geeft `x = 1` en een uiterste waarde van `f(1) = a/(text(e))`.
    4. Op de lijn `x = 1`.
    5. `a/(text(e)) = 80` geeft `a = 80text(e)`.
    6. Raaklijn in `(0,0)` heeft hellingsgetal `f'(0) = a` en dus vergelijking `y = ax`.
      Raaklijn door `(2,15)` geeft `a = 7,5`.
    7. `f"_a(x) = a(x - 2)text(e)^(-x) = 0` geeft `x = 2` en buigpunt `(2, a/(text(e)^2))`.
      Buigpunt op `y = 20` betekent `a/(text(e)^2) = 20` en dus `a = 20text(e)^2`.
    1. Niet al meteen de formule bekijken, maar bedenken hoe het proces verlopen zal. Stijgende grafiek van `p(t)` door `(0; 1,4)` en `(10; 2,0)` met horizontale asymptoot `p = 3,5`.
    2. Grafiek van `p(t) = 3,5 - a * g^t` door `(0; 1,4)` en `(10; 2,0)` geeft `1,4 = 3,5 - a * g^0` en `2,0 = 3,5 - a * g^(10)`.
      Hieruit vind je `a = 2,1` en `g ~~ 0,97`.
    3. `p(t) = 3,5 - 2,1 * 0,97^t = 2,6` geeft `t = ^(0,97)log((0,9)/(2,1)) ~~ 25,2` dus vanaf 26 seconden is dat het geval.
    4. `p'(t) = -2,1 * 0,97^t * ln(0,97)` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.
    1. `text(e)^(5600k) = 0,5` geeft `k = (ln(0,5))/(5600) ~~ -0,000124`.
    2. `t = (ln(0,79))/(k) ~~ 1900` jaar.
    3. `t = (ln(0,65))/(k) ~~ 3500` jaar.
    4. `t = (ln(0,33))/(k) ~~ 9000` jaar.
    1. `f'(x) = 1 - ln(2) * 2^(-x) = 0` geeft `x = ^2 log(ln(2))` en het minimum is daarom `f( ^2 log(ln(2))) ~~ 0,92`
    2. `f'(0) = 1 - ln(2)` en `f(0) = 1` geeft `y = (1 - ln(2))x + 1`.
    1. Nulpunt is alleen `(0,0)` en horizontale asymptoot is `y = 0`.
      `f'(x) = (1 - 2x^2)text(e)^(-x^2) = 0` geeft `x = +- 1/2sqrt(2)`.
      Met de grafiek geeft dit min.`f(- 1/2sqrt(2)) = - 1/2sqrt(2/(text(e)))` en max.`f(1/2sqrt(2)) = 1/2sqrt(2/(text(e)))`.
    2. `f"(x) = (4x^3 - 6x)text(e)^(-x^2) = 0` geeft `x = 0 vv x = +- 1/2sqrt(6)`.
      De buigpunten zijn `(0,0)`, `(- 1/2sqrt(6), - 1/(2text(e))sqrt(6/(text(e))))` en `(1/2sqrt(6), 1/(2text(e))sqrt(6/(text(e))))`.
    3. De lijn `y = px` snijdt de grafiek in `(0,0)`. Hij snijdt de grafiek in geen enkel ander punt als de helling van die lijn negatief is of groter dan `f'(0) = 1`. Dus moet `p <= 0 vv p >= 1`.
    1. `f_0(x) = x^2 text(e)^x = 0` geeft `x = 0`, dus nulpunt `(0,0)`.
      `f'_0(x) = (x^2 + 2x) text(e)^x = 0` geeft `x = 0 vv x = -2`, en met de grafiek max.`f(-2) = 4/(text(e)^2)` en min.`f(0) = 0`.
      Als `x rarr -oo` dan `f(x) rarr 0`, dus de horizontale asymptoot is `y = 0`.
    2. `x^2 text(e)^x = (x - 1)^2 text(e)^x` geeft `-2x + 1 = 0` en dus `x = 0,5`. Het snijpunt is `(0,5; 0,25sqrt(text(e)))`.
    3. `x^2 text(e)^x = (x - p)^2 text(e)^x` geeft `-2px + p^2 = 0` en dus `p = 0 vv x = 0,5p` (`p = 0` vervalt want dan is er niet één snijpunt, maar vallen beide grafieken samen). Het snijpunt is daarom `(0,5p; 0,25p^2 text(e)^(0,5p))`.
      Dit punt ligt op `y = 1` als `0,25p^2 text(e)^(0,5p) = 1`.
      Deze vergelijking is alleen op te lossen met behulp van de grafische rekenmachine. Je vindt `p ~~ 1,41`.
    4. `f'_p(x) = (x^2 + (2 - 2p)x + p^2 - 2p)text(e)^x = 0` geeft `x = (2 - 2p +- sqrt(4))/2`, dus `x = 2 - p vv x = -p`.
      Omdat `p >= 0` is `-p < 2 - p` en omdat `x^2 + (2 - 2p)x + p^2` bij `x = -p` wisselt van positief naar negatief en bij `x = 2 - p` wisselt van negatief naar positief is er sprake van één maximum en wel voor `x = -p`. De grootte van het maximum is `(4p^2)/(text(e)^p)`.
    1. Grafiek is stijgend vanaf `(0,6)` naar horizontale asymptoot `T = 20`.
    2. De snelheid van temperatuursverandering `T'(t)` is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving en dat is `20 - T`.
    3. `T(t) = 20 + a * text(e)^(ct)` en `T'(t) = a * c * text(e)^(ct)` invullen geeft links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde voor elke `t`.
    4. `T(12) = 18` en `T(0) = 6` invullen geeft `a = -14` en `c = 1/(12) ln(1/7) ~~ -0,16`. Dus `T(t) = 20 - 14text(e)^(-0,16t)`.
    5. `T'(0) ~~ 2,27` en `T'(15) ~~ 0,20`°C/min.
      De opwarming verloopt steeds langzamer.
    1. De halveringstijd is 8,06 dagen, dus `text(e)^(-8,06k) = 0,5`. Dan is `-8,06k = ln(0,5)`, dus `k ~~ 0,086`. De formule wordt dan: `m = m_0 text(e)^(-0,086t)`.
    2. `5,00 * text(e)^(-0,086t) ~~ 1,40`, dus ongeveer 1,4 gram.
    3. `m' = 0,086 * m` dus de evenredigheidconstante is `0,086`.
    4. `text(e)^(-0,086t) = 0,10` geeft `t ~~ 27`, dus na 27 dagen.
    5. Ook na ongeveer 27 dagen, want de vervalsnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.
    6. `5,00 * text(e)^(-0,086t) = 0,005` geeft `t ~~ 80,3`, dus na 81 dagen.
    7. Nee, theoretisch gesproken niet, want de grafiek van `N` nadert wel steeds dichter naar `N = 0` als `t` groter wordt, maar die waarde wordt nooit echt bereikt.
    1. `f(x) = 3 * 0,5^(2x - 1) - 4 = 0` geeft `0,5^(2x - 1) = 4/3` en `2x - 1 = ^0,5log(4/3)`, dus `x ~~ 0,29`.
      `f'(x) = 3ln(0,5) 0,5^(2x - 1)` geeft `f'(0,29) = 3ln(0,5)*4/3 ~~ -2,77`.
      De vergelijking van de raaklijn wordt `y = -2,77x + 0,81`.
    2. `f(x) = 5 - text(e)^(sqrt(x)) = 0` geeft `x = (ln(5))^2 ~~ 2,59`.
      `f'(x) = - (text(e)^(sqrt(x)))/(2sqrt(x))` geeft `f'(2,59) = - 5/(2 ln(5)) ~~ -1,55`.
      De vergelijking van de raaklijn wordt `y = -1,55x + 4,02`.
    1. `text(e)^(-alpha) = 0,4` geeft `alpha = -ln(0,4) ~~ 0,916`.
    2. `text(e)^(-ln(0,4) * d) = 0,01` geeft `d = (ln(0,01))/(-ln(0,4)) ~~ 5,03`. Dus ongeveer 5 cm.
    3. `I'(0) = -I(0)ln(0,4)`.