Het getal e

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e > Uitleg

Opgaven

  1. Lees eerst de Uitleg goed door. In het algemeen geldt: Als `f(x) = g^x` dan is `f'(x) = c * g^x`.
    1. Bekijk de grafiek van `f(x) = 3^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Laat zien dat `f'(x) ~~ 1,10 * 3^x`, dus `c ~~ 1,10`.
    2. Bekijk de grafiek van `f(x) = 2,5^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van `c`.
    3. Doe ditzelfde ook voor `f(x) = 2,7^x` en `f(x) = 2,8^x`.
    4. Is er een getal `g` waarvoor `c = 1`? Hoe groot is dit getal ongeveer?

  2. Gegeven de functie `f(x) = g^x`.
    De verandering van `f` op een klein interval `[x, x + h]` is: `(Deltay)/(Deltax) = (g^(x + h) - g^x)/(h)`.
    1. Leg dat met behulp van een figuur uit. (Maak eventueel een eigen applet in GeoGebra!)
    2. Laat zien, dat `(Delta y)/(Delta x) = (g^(h) - 1)/(h) * g^x`.
    3. Waarom kun je hieruit afgeleiden dat `f'(x) = c * g^x`?
    4. Neem `g = text(e)` en bepaal met behulp van het antwoord van b de waarde van e.

  3. Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = text(e)^x`.
    1. Hoe voer je die grafiek in je grafische rekenmachine in?
    2. Welke asymptoot heeft die grafiek?
    3. Waar in de grafiek vind je het getal e?
    4. Los op `text(e)^x = 10`. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
    5. De oplossing van `text(e)^x = 10` is gelijk aan `x = ^(text)e log(10)`. Laat zien dat je zo dezelfde waarde voor `x` vindt als bij c.
    In plaats van elog(...) wordt in de wiskunde ln(...) gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor ln(...).
    1. Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: `text(e)^x = 20`.
    2. Los op: `1/50 <= text(e)^x <= 50`. Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
    3. Welk hellingsgetal heeft de grafiek van `f(x) = text(e)^x` in het punt `(1,e)`?
    4. Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bekijk Voorbeeld 1.
    1. Stel de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 3` op.
    2. Bekijk de oplossing van de gegeven ongelijkheid. Ga met behulp van de grafiek van `f` na dat deze juist is.
    3. Los nu zelf op: `e^(-20) < f(x) <= 20`.

  2. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op:
    1. `2^x = 1/(8 sqrt(2))`
    2. `text(e)^x = 1/(text(e)^3 sqrt(text(e)))`
    3. `5text(e)^x = 125`
    4. `8text(e)^x = (2text(e) sqrt(text(e)))^3`

  3. Bekijk Voorbeeld 2.
    1. Waar in de grafiek van `f(x) = ln(x)` vind je het getal e?
    2. Leg uit hoe je het domein en het bereik van `f` kunt afleiden uit het domein en het bereik van `g(x) = text(e)^x`.
    3. Voor welke waarde van `x` is `ln(x) = 5`? Geef je antwoord exact en in één decimaal nauwkeurig.
    4. Los op: `-5 <= ln(x) <= 5`. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

  4. Bepaal de afgeleide van de volgende functies. Maak gebruik van alle bekende differentieerregels. Bepaal ook het bereik van `f`. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.
    1. `f(x) = 100 - 2 * text(e)^x`
    2. `f(x) = text(e)^(3x)`
    3. `f(x) = text(e)^(3 - x)`
    4. `f(x) = x text(e)^x`
    5. `f(x) = x/(text(e)^x)`
    6. `f(x) = text(e)^(x^2)`

  5. Bij het afkoelingsproces van een kop koffie geldt `V'(t) = c * V(t)`, waarin `V` het temperatuursverschil met de omgeving, `t` de tijd (in minuten) en `c` een constante is.
    1. Laat zien dat een functie zoals `V(t) = text(e)^t` aan deze vergelijking voldoet voor elke `t`. Welke waarde heeft `c` dan?
    2. Waarom kan deze functie geen afkoelingsproces beschrijven?
    3. De afgeleide van `f(t) = (0,5)^t` is gelijk aan `f'(t) = c * (0,5)^t`. Bepaal met de grafische rekenmachine de waarde van `c` in twee decimalen nauwkeurig.
    4. Laat zien, dat een functie zoals `V(t) = 80 * (0,5)^t` ook voor elke `t` (bij benadering) voldoet aan de vergelijking hierboven.
    5. Waarom kan deze functie wel een afkoelingsproces beschrijven?

  6. Los algebraïsch op en geef een benadering in twee decimalen nauwkeurig.
    1. `text(e)^(2x) = 0,05`
    2. `ln(x) = 2,06`
    3. `3text(e)^(4x) = 10`

  7. Het is nuttig om de rekenregels voor exponentiële en logaritmische functies nog een keer te oefenen. Nu gebruik je daarbij (ook) het nieuwe grondtal e. Je vindt ze via

    www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Functies en grafieken > Exponentiële functies > Exponenten en machten > Theorie
    www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5 HAVO wi-b > Functies en grafieken > Logaritmische functies > Eigenschappen > Theorie

    Druk bij de volgende formules `y` uit in `x` en vereenvoudig de uitdrukking.
    1. `text(e)^y = 2 * text(e)^x`
    2. `2 * text(e)^(2y) = x^3`
    3. `x = 2 * ln(y) + 3`
    4. `x = 2 * ln(y + 3)`
    5. `ln(y) + 2 * ln(x) = 1`
    6. `(ln(y) + 2) * ln(x) = 1`
    7. `(sqrt(text(e)))^y = 4x`
    8. `(1/(text(e)))^y = 4text(e)^x`

Verwerken

  1. Gegeven is de functie `f(x) = 4text(e)^x - 2`.
    1. Welke asymptoot heeft de grafiek van deze functie?
    2. Bereken met behulp van logaritmen het snijpunt van de grafiek van `f` met de `x`-as.
    3. Bepaal de afgeleide van `f` en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` in het snijpunt van de grafiek van `f` met de `x`-as.
    4. Los op: `f(x) < -1`.

  2. Gegeven is de functie `f(x) = 4 ln(x) - 2`.
    1. Welke asymptoot heeft de grafiek van deze functie?
    2. Schrijf het domein en het bereik van `f` op.
    3. Bereken met behulp van exponenten het snijpunt van de grafiek van `f` met de `x`-as.
    4. Los op: `f(x) < -1`.

  3. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op en benader zo nodig de antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.
    1. `text(e)^x = 3`
    2. `text(e) * x = 3`
    3. `x^(text(e)) = 3`
    4. `ln(x) = 3`
    5. `log(x) = 3`
    6. `2 * text(e)^(0,1x - 5) = 40`
    7. `2 ln(0,1x - 5) = 40`

  4. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op en benader zo nodig de antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.
    1. `text(e)^(2x) * text(e)^(x - 6) = 1`
    2. `text(e)^(2x) - text(e)^(x - 6) = 0`
    3. `ln(2x) - ln(x - 6) = 1`
    4. `ln(2x) * ln(x - 6) = 0`
    5. `2^x = text(e)^(x + 2)`
    6. `ln(ln(2x)) = 1`
    7. `3 text(e)^x = 15text(e)^(2 - x)`
    8. `text(e)^x - 2text(e)^(-x) = 1`

  5. Druk `N` zo eenvoudig mogelijk uit in `t`:
    1. `ln(N) = 2 * ln(t) - 3`
    2. `log(N) = 2 * log(t) - 3`
    3. `text(e)^(2N) = t + 2`
    4. `10^(2N) = t + 2`
    5. `ln(N) = 2t - 3`
    6. `text(e)^t = 2N - 3`

  6. Toon aan dat de volgende formules waar zijn voor elke waarde van `x`.
    1. `(1/(text(e)))^x = text(e)^(-x)`
    2. `text(e)^(2 ln(x)) = x^2`
    3. `text(e)^(ln(x) + ln(2)) = 2x`
    4. `text(e)^(2 - ln(x)) = (text(e)^2)/x`

  7. Een kop koffie uit een automaat heeft een temperatuur van 80?C op het moment dat hij wordt ingeschonken. Hij koelt af volgens de formule:

    `T(t) = 20 + 60 * (0,8)^t`

    Hierin is `T` de temperatuur van de koffie en `t` de tijd in minuten vanaf het moment van inschenken.
    1. Ga na dat de koffie volgens de formule bij het inschenken een temperatuur van 80°C heeft.
    2. Hoeveel bedraagt de omgevingstemperatuur?
    3. De afgeleide van `f(t) = (0,8)^t` is `f'(t) = c * (0,8)^t`. Bepaal met je grafische rekenmachine de bijpassende waarde van `c`.
    4. Volgens de warmtewet van Newton is de snelheid waarmee de temperatuur verandert recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving. Laat met behulp van een berekening zien dat de gegeven functie `T` aan de warmtewet van Newton voldoet.
    5. Hoe kun je aan de afgeleide van `T` zien dat er inderdaad van afkoeling sprake is?

Testen

  1. Gegeven is de functie `f(x) = 8 - 4 text(e)^x`.
    1. Welke asymptoot heeft de grafiek van deze functie?
    2. Bereken met behulp van logaritmen het snijpunt van de grafiek van `f` met de `x`-as.
    3. Bepaal de afgeleide van `f` en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` in het snijpunt van de grafiek van `f` met de `x`-as.
    4. Los op: `f(x) >= 2`.

  2. Gegeven is de functie `g(x) = 8 - 4 ln(x)`.
    1. Welke asymptoot heeft de grafiek van deze functie?
    2. Bereken algebraïsch het snijpunt van de grafiek van `g` met de `x`-as.
    3. Los op: `g(x) < 2`.

  3. Druk `N` zo eenvoudig mogelijk uit in `t`.
    1. `5 text(e)^N = 2t + 10`
    2. `5 ln(N) = 2t + 10`
    3. `ln(N) = 0,01 ln(t) + 1,15`

  4. Los de volgende vergelijkingen algebraïsch op:
    1. `10 text(e)^(x - 2) = 5 text(e)(4x)`
    2. `ln(x) + ln(x + 2) = 1`

  5. Differentieer:
    1. `f(x) = text(e)^x - 3text(e)^(2x)`
    2. `f(x) = x^2 text(e)^(x)`