Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. `ul(S) = 1 * 4,5 + 1 * 4 + 1 * 3,5 + 1 * 3 = 15` en `bar(S) = 1 * 5 + 1 * 4,5 + 1 * 4 + 1 * 3,5 = 17`.
    2. `ul(S) = 0,5 * (4,75 + 4,5 + 4,25 + 4 + 3,75 + 3,5 + 3,25 + 3) = 15,5` en `bar(S) = 0,5 * (5 + 4,75 + 4,5 + 4,25 + 4 + 3,75 + 3,5 + 3,25) = 16,5`.
      Hun verschil is `1`.
    1. `F(x) = 0,4x^2sqrt(x) - 12,8`
    2. `F(x) = 1/8sqrt(1 + 4x) - 3/8`
    3. `F(x) = - 1/x + 1/(6 - 4x) + 1`
    1. `int x^2 sqrt(2x) text(d)x = int 1/4 * (2x)^(2,5) text(d)x = 1/28 (2x)^(3,5) + c = 2/7 x^3 sqrt(x) + c`
    2. `int (x^2 - 4)^2 text(d)x` = int x^4 - 8x^2 + 16 text(d)x = 1/5 x^5 - 8/3 x^3 + 16x + c
    3. `int x sqrt(2 + x^2) text(d)x = int 1/2 * 2x(2 + x^2)^(0,5) text(d)x = 1/3(2 + x^2)^(1,5) + c = 1/3(2 + x^2)sqrt(2 + x^2) + c`
    1. `int_1^8 7 root[3](x) text(d)x = int_1^8 7 x^(1/3) text(d)x = [21/4 x^(4/3)]{:(8),(1):} = 78,75`
    2. `int_0^2 2/((1 + 2x)^2) text(d)x = int_0^2 2 * (1 + 2x)^(-2) text(d)x = [(-1)/(1 + 2x)]{:(2),(0):} = 0,8`
    3. `int_1^4 3/(sqrt(x)) - 5 sqrt(x) text(d)x = [6sqrt(x) - 10/3 xsqrt(x)]{:(4),(4):} = -17 1/3`
    1. 6
    2. Die oppervlakte is `2 * int_0^2 1/2 x^2 - 3x + 4 text(d)x - int_2^4 1/2 x^2 - 3x + 4 text(d)x = 2 * 3 1/3 + 2/3 = 7 1/3`.
    3. De grafiek ligt zowel onder als boven de `x`-as en daar moet je bij het berekenen van een oppervlakte rekening mee houden.
    4. `f'(x) = x - 3` en dus is `L = int_2^4 sqrt(1 + (x - 3)^2) text(d)x ~~ 2,30`.
    1. `int_a^3 sqrt(3 - x) text(d)x = 18` geeft `2/3(3 - a)sqrt(3 - a) = 18`. Hieruit volgt `a = -6`.
    2. `int_0^b sqrt(3 - x) text(d)x = `int_b^3 sqrt(3 - x) text(d)x` geeft `2/3(3 - b)sqrt(3 - b) = -2/3(3 - b)sqrt(3 - b) + 2/3` en daaruit volgt `b = 3 - 3 root[3](0,25)`.
    1. `I = int_1^p pi * 1/(x^2) text(d)x = pi (1 - 1/p)`.
    2. Als `p rarr oo`, dan `I rarr pi * 1 = pi`.
  8. `int_0^p pi x^6 text(d)x = int_0^(root[3](p)) pi (root[3](y))^2 text(d)y` geeft `1/7 pi p^7 = 3/5 pi p^(5/9)`.
    Dit geeft `p = 0 vv p = (4,2)^(9/58) ~~ 1,25`.
    1. `y = +-sqrt(4 - 1/4x^2)`
    2. De oppervlakte is `2 * int_(-4)^4 sqrt(4 - 1/4x^2) text(d)x ~~ 25,13` (Dit is gelijk aan `pi * 4 * 2 = 8pi`.)
    3. De omtrek is `2 * int_(-4)^4 sqrt(1 + ((-x)/(sqrt(4 - 1/4x^2)))^2) text(d)x ~~ 19,38`.
    1. `v(t) = 20 + 2t`
    2. Interval `[0,5]` verdelen in 5 deelintervallen en gemiddelde nemen van ondersom en bovensom geeft een redelijke schatting.
      `ul(S) = 20 + 22 + 24 + 26 + 28` m en `bar(S) = 22 + 24 + 26 + 28 + 30` m. Je vindt dan ongeveer 125 m.
    3. `v = 20` m/s en dat is `72000` m/uur. Het verbruik is `N(20) ~~ 0,00008` liter/m en dus `72000 * 0,00008 = 5,76` liter/uur.
    4. In het tijdsinterval `[t, t + Delta t]` is de snelheid bij benadering `20 + 2t` als `Delta t` klein is.
      De afgelegde weg is dan `Delta s = (20 + 2t) * Delta t`.
      Het verbruik is `N(20 + 2t) * Delta s = N(20 + 2t) * (20 + 2t) * Delta t` en dat geeft de juiste formule.
    5. `int_0^5 (1,3 * 10^(-7) * (20 + 2t)^2 - 3,6 * 10^(-6) * (20 + 2t) + 10^(-4)) * (20 + 2t) text(d)t ~~ 0,0117` liter.
    1. `F = C * u` waarin `C` de veerconstante is. Verder is door de zwaartekracht `F = m * g = 1 * 10` N.
      Met een veer die stilhangt als `u = 0,1` m geldt: `C * 0,1 = 1 * 10` en dus `C = 100` N/m.
    2. `F = F_(text(veer)) - F_z = 100 * 0,2 - 10 = 10` N.
    3. `W = int_0^(0,3) 100 * u text(d)u = 4,5` J.
    1. De parabool is de grafiek van `f(x) = -(x - 6)^2 + 4`.
      Dan is `int_4^8 c * f(x) text(d)x = 10 2/3 c` en `int_4^8 c * x * f(x) text(d)x = 64c`.
      Dit betekent dat `x_Z * 10 2/3 c = 64c` en dus `x_Z = 6`.
    2. Het zwaartepunt ligt natuurlijk op de symmetrieas van de parabool.
    3. Uit `y = -(x - 6)^2 + 4` volgt `x = +-sqrt(4 - y) + 6`.
      Verder is de redenering in de `y`-richting hetzelfde als in de `x`-richting. De horizontale stroken hebben een lengte van `2 sqrt(4 - y)`.
    4. Je vindt nu `y_Z * 10,67c ~~ 17,07c` en dus `y_Z ~~ 1,60`.
    5. Je berekent de zwaartepunten van het vlakdeel ingesloten door `y = 4 - x^2` en de `x`-as en dat van het vlakdeel ingesloten door `y = 3 - x^3` en de `x`-as. Van beide zwaartepunten is `x_Z = 0`.
      `y_(Z1) ~~ 1,60` (zie d).
      `y_(Z2) * int_0^3 2c sqrt(3 - y) text(d)y = int_0^3 2cy sqrt(3 - y) text(d)y` geeft `y_(Z2) * 6,93 c ~~ 8,31c` geeft `y_(Z2)Z ~~ 1,20`.
      Het bedoelde zwaartepunt is nu het gewogen gemiddelde van beide: `y_Z ~~ (10,67 * 1,60 + 6,93 * 1,20)/(10,67 + 6,93) ~~ 1,44`. Dus `Z = (0;1,44)`.
    6. Beide zijden `AC` en `BC` zijn even lang. De hellingsgetallen van deze zijden zijn `1` en `-1` en daarom zitten er bij `C` twee hoeken van 45° in de driehoek.
    7. De driehoek is het vlakdeel ingesloten door `y = x + a`, `y = -x + a` en de `x`-as.
      `x_Z = 0` vanwege de symmetrie.
      `y_Z * int_0^a c * (2a - 2y) text(d)y = int_0^a cy(2a - 2y) text(d)y` geeft `y_Z * ca^2 = 1/3 ca^3`, dus `y_Z = 1/3 a`.
    1. De lengte van `AB` is `l = sqrt(p) - p^2` en `(text(d)l)/(text(d)p) = 1/(2 sqrt(p)) - 2p = 0` geeft `p = root[3](1/16)`.
    2. De oppervlakte is gelijk aan `int_1^2 (x^2 - sqrt(x)) text(d)x + int_2^4 (6 - x - sqrt(x)) text(d)x`. Primitiveren geeft `[1/3 x^3 - 2/3 x^(1,5)]{:(2),(1):} + [6x - 1/2 x^2 - 2/3 x^(1,5)]{:(4),(2):} = 3 2/3`.
    1. `h(x) = 3 – x` en `int_0^3 cx(3 - x) text(d)x = 4,5c`.
      De oppervlakte van driehoek `OAB` is `4,5`.
      `x_Z * 4,5c = 4,5c` en dus is het zwaartepunt `Z = (1,1)`.
    2. De oppervlakte is `3 + int_1^3 3/x text(d)x ~~ 6,2958`.
      `int_0^3 c * x * h(x) text(d)x = int_0^1 c * x * 3 text(d)x + int_1^3 c * x * 3/x text(d)x = 7,5`
      Dus is `x_Z * 6,2985c ~~ 7,5c` en `x_Z ~~ 1,19`.
    1. `f'(x) = 1 - 4/(x^2) = 0` geeft `x = +-2`, dus `(-2,-4)` en `(2,4)` zijn de toppen.
    2. De lengte van de grafiek van `f` tussen `(1,5)` en `(4,5)` is `int_1^4 sqrt(1 + (1 - 4/(x^2))^2) text(d)x ~~ 3,79`.
      De totale omtrek van `V` is daarom `6,79`.
    1. `1/2x^2 = x` geeft `x = 0` of `x = 2`.
      De inhoud is `int_0^2 pi x^2 text(d)x - int_0^2 pi (1/2 x^2)^2 text(d)x = [pi(1/3 x^3 - 1/20 x^5)]{:(2),(0):} = 16/15 pi`.
    2. `(text(d)y)/(text(d)x) = 2/n x`. In `P_n` is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn dus `2/n * n = 2` en dus niet afhankelijk van `n`.
    3. De oppervlakte van `W` is `int_0^n 1/n x^2 text(d)x = [1/(3n) x^3]{:(n),(0):} = 1/3 n^2` .
      De oppervlakte van `V` is `n^2 - 1/3 n^2 = 2/3 n^2`.
      De verhouding van deze oppervlaktes is `1 : 2` en dus onafhankelijk van `n`.