Omwentelingslichamen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Omwentelingslichamen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Omwentelingslichamen > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

1. In het eerste deel van de Uitleg zie je hoe je de inhoud kunt berekenen van het omwentelingslichaam dat ontstaat door een grafiek op een bepaald interval om de `x`-as te wentelen.
   Gegeven de functie `f(x) = 4 - x^2`. `V` is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van `f` en de `x`-as. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door V om de x-as te wentelen.
   


2. Bekijk de vorige opgave nog eens. Het vlakdeel `V` wordt nu om de `y`-as gewenteld. In de rest van de Uitleg staat hoe je dat aanpakt.
   1. Laat zien, dat je de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat kunt berekenen met de integraal `int_0^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)y`.
   2. Bereken deze inhoud met behulp van primitiveren.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Omwentelingslichamen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 wordt de inhoud van een bol met straal `r` berekend. Je kunt op dezelfde manier een formule opstellen voor de inhoud van een kegel met straal `r` en hoogte `h`. Je begint dan met de lijn `y = r/h x` op het interval `[0,h]` en wentelt het vlakdeel ingesloten door die lijn, de `x`-as en de lijn `x = h` om de `x`-as.
   1. Leg uit waarom de hierboven gegeven vergelijking geschikt is voor de beschreven kegel.
   2. Stel nu door primitiveren een formule op voor de inhoud van de kegel.
   3. Stel ook door primitiveren een formule op voor de inhoud van een cilinder met straal `r` en hoogte `h`.


4. In Voorbeeld 1 wordt ook een formule afgeleid voor de oppervlakte van een bol met straal `r`.
   1. Hoe volgt de formule voor de oppervlakte van een bol uit die voor de inhoud?
   2. Waarom lukt dit niet bij de kegel en de cilinder? Hoe kun je daar toch de oppervlakte van berekenen?


5. Bestudeer nu eerst Voorbeeld 2.
   1. Schets het omwentelingslichaam dat ontstaat door `V` om de `x`-as te wentelen.
   2. Bereken nu zelf door haakjes uitwerken en primitiveren de inhoud van het omwentelingslichaam.
   3. Waarom is het niet mogelijk om de inhoud van dit lichaam te berekenen met `int_0^1 pi(f(x) - g(x))^2 text(d)x`?


6. Bestudeer nu eerst Voorbeeld 3.
   1. Schets het omwentelingslichaam dat ontstaat door `V` om de `y`-as te wentelen.
   2. Bereken nu zelf door haakjes uitwerken en primitiveren de inhoud van het omwentelingslichaam.

Verwerken

7. Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van de omwentelingslichamen, die ontstaan bij wenteling om de `x`-as van de vlakdelen, begrensd door:
   1. de `x`-as en de grafiek van de functie `f(x) = x^2 - 7x + 6`;
   2. de `x`-as, de `y`-as en de grafiek van de functie `f(x) = x + 4 - 4sqrt(x)`;
   3. de `x`-as, de grafiek van de functie `f(x) = 8/x` en de lijnen `x = 2` en `x = 4`.


8. Bereken met behulp van primitiveren de inhoud van de omwentelingslichamen, die ontstaan bij wenteling om de `y`-as van de figuren, begrensd door:
   1. de grafiek van de functie `f(x) = x^3`, de `y`-as en de lijn `y = 4`;
   2. de `y`-as, de grafiek van de functie `f(x) = 0,5x^2 + 8` en een raaklijn uit `O` aan de grafiek van `f`.


9. Gegeven is de functie `f(x) = x + 3 - 4 sqrt(x)`.
   `V` is het vlakdeel begrensd door de grafiek van `f` en de lijn `y = 3`.
   Bereken exact de inhoud van het lichaam dat ontstaat door `V` te wentelen om de lijn `y = 3`.
   


10. Gegeven zijn de functies `f(x) = 6 - (x - 2)^2` en `g(x) = x^2 - 2x + 2`.
    `G` is het gebied dat door beide grafieken wordt ingesloten.
    1. Bereken exact de oppervlakte van `G`.
    2. `G` wordt om de `x`-as gewenteld. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.


11. Een bol ontstaat door de functie `f(x) = sqrt(r^2 - x^2)` om de `x`-as te wentelen op het interval `[-r,r]`.
    Neem nu het positieve getal `a` en neem aan dat `a < r`.
    1. Je wentelt het gebied ingesloten door de grafiek van `f`, de `x`-as en de lijn `x = a` om de `x`-as. Het lichaam dat zo onstaat heet een bolsegment. Stel met behulp van primitiveren een formule op voor de inhoud van zo'n bolsegment.
    2. Wanneer je aan het bolsegment een kegel toevoegt met de top in `O(0,0)`, hoogte `a` en straal `sqrt(r^2 - a^2)` dan heb je een bolsector. Stel met behulp van primitiveren een formule op voor de inhoud van zo'n bolsector.


12. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = sqrt(x)`.
    De lijn met vergelijking `x = p` snijdt de grafiek van `f` in `A`. De lijn `y = q` gaat door `A`.
    `V` is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van `f`, de `x`-as en de lijn `x = p`.
    `W` is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van `f`, de `y`-as en de lijn `y = q`.
    De inhoud van het omwentelingslichaam dat onstaat door `V` om de `x`-as te wentelen is gelijk aan de inhoud die ontstaat door `W` om de `y`-as te wentelen.
    Bereken `p`.
    

Testen

13. Gegeven is de functie `f` door `f(x) = 2 - 2/(x^2)` .
    1. Bereken de nulpunten en de asymptoten van `f` en schets de grafiek van `f`.
    2. `V` is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van `f`, de lijn `y = x` en de lijnen `x = 1` en `x = 3`. Bereken exact de oppervlakte van `V`.
    3. `V` wordt gewenteld om de `x`-as. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.


14. Gegeven zijn de functies `f(x) - 4 - x sqrt(x)` en `g(x) = 2`.
    `G` is het gebied dat wordt ingesloten door beide grafieken en de `y`-as. Dit vlakdeel wordt om de `y`-as gewenteld.
    Bereken exact de inhoud van het lichaam dat daardoor ontstaat.