Omwentelingslichamen

Antwoorden bij de opgaven

  1. ∫−22π⋅(4−x2)2dx=∫−22π⋅(16−8x2+x4)dx=[ π⋅(16x−83x3+15x5) ]−22=51215π
    1. `y = 4 - x^2` wordt `x = +-sqrt(4 - y)` en de integraal wordt `int_0^4 pi x^2 text(d)y`.
    2. `int_0^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)y = int_0^4 pi(4 - y) text(d)y = [pi(4y - 0,5y^2)]{:(4),(0):} = 8pi`.
    1. De lijn `y = r/h * x` gaat door `(0,0)` en `(h,r)`. Deze lijn wentelen om de `x`-as geeft de gewenste kegel.
    2. `int_0^h pi * (r/h x)^2 text(d)x = int_0^y (pi r^2)/(h^2) * x^2 text(d)x = [(pi r^2)/(h^2) * 1/3 x^3]{:(h),(0):} = (pi r^2)/(h^2) * 1/3 h^3 = 1/3pi r^2 h`
    3. `int_0^h pi * r^2 text(d)x = [pi r^2 * x]{:(h),(0):} = pi r^2 h`
    1. Door `I(r) = 4/3 pi r^3` te differentiëren.
    2. Het gaat bij een kegel en een cilinder over twee variabelen `r` en `h` en niet zoals bij de bol maar om ééntje. De oppervlakte van die twee lichamen bepaal je meetkundig. Een cilinder is een rechthoek met lengte `2pi r` en hoogte `h`. Een kegel is het `r/(sqrt(r^2 + h^2))` deel van een cirkel met straal `sqrt(r^2 + h^2)`.
    1. Je krijgt een ringvormig lichaam.
    2. `int_0^1 pi * (4 - x^2)^2 text(d)x - int_0^1 pi * (4 - x)^2 text(d)x = int_0^1 pi * (16 - 8x^2 + x^4) text(d)x - int_0^1 pi * (4 - x)^2 text(d)x`.
      Primitiveren geeft: `[pi * (16x - 8/3 x^3 + 1/5 x^5)]{:(1),(0):} - [pi * (4x - 1/2 x^2)]{:(1),(0):} = 919/30 pi`.
    3. `h(x) = f(x) - g(x)` is een functie waarvan de functiewaarden dichter bij de `x`-as liggen dan die van `f` en `g` afzonderlijk. Bij het wentelen om de `x`-as maak je dan een sommatie van schijfjes met een veel te kleine straal.
    1. Je krijgt nu een paraboloïde waar een kegel uit weg is gesneden.
    2. `int_3^4 pi(sqrt(4 - y))^2 text(d)x - int_3^4 pi(4 - y)^2 text(d)y = int_3^4 pi(4 - y) text(d)x - int_3^4 pi(16 - 8y + y^2)^2 text(d)y`. Dit geeft: `[pi * (4y - 1/2 y^2)]{:(4),(3):} - [pi * (16y - 4 y^2 + 1/3 y^3)]{:(4),(3):} = 1/6 pi`.
    1. `int_1^6 pi(x^2 - 7x + 6)^2 text(d)x = 104 1/6 pi`
    2. `int_0^4 pi(x + 4 - 4x^(0,5))^2 text(d)x = 64/15 pi`
    3. `int_2^4 pi(8/x)^2 text(d)x = [pi * - 64/x]{:(4),(2):} = 16 pi`
    1. Eerst `y = x^3` herleiden tot `x = root[3](y)`.
      Dan: `int_0^4 pi(root[3](y))^2 text(d)y = int_0^4 pi * y^(2/3) text(d)y = [pi * 3/5 y^(5/3)]{:(4),(0):} = 2,4pi root[3](16)`.
    2. Eerst raaklijn opstellen door `O` en `(p, 1/2 p^2 + 8)` met richtingscoëfficiënt `f'(p) = p`. Dit geeft `p = +-4`. De raaklijnen worden `y = +-4x`.
      Nu `y = 1/2 x^2 + 8` herleiden tot `x = +-sqrt(2y - 16)` en `y = 4x` herleiden tot `x = 0,25y`.
      De inhoud wordt `int_0^16 pi(0,25y)^2 text(d)y - int_8^16 pi(sqrt(2y - 16))^2 text(d)y = 21 1/3 pi`.
  9. Verschuif je de grafiek van `f` drie eenheden naar beneden dan kun je het vlakdeel `V` wentelen om de `x`-as. De verschoven functie heeft het functievoorschrift: `g(x) = x - 4sqrt(x)`.
    De gevraagde inhoud wordt: `int_0^(16) pi(x - 4sqrt(x))^2 text(d)x = int_0^(16) pi(x^2 - 8x^(1,5) + 16x)^2 text(d)x = [pi(1/3 x^3 - 16/5 x^(2,5) + 8x^2)]{:(16),(0):} = 136 8/15 pi`.
    1. `text(opp)(G) = int_0^3 (-(x - 2)^2 + 6 - x^2 + 2x - 2) text(d)x = int_0^3 (-2x^2 + 6x) text(d)x = [-2/3 x^3 + 3x^2]{:(3),(0):} = 9`
    2. `I = int_0^3 pi(-(x - 2)^2 + 6)^2 text(d)x - int_0^3 pi(x^2 - 2x + 2)^2 text(d)x = [pi(-x^4 + 4/3x^3 + 12x^2)]{:(3),(0):} = 63pi`
    1. `int_a^r pi(sqrt(r^2 - x^2))^2 text(d)x = int_a^r pi(r^2 - x^2) text(d)x = [pi(r^2 x - 1/3 x^3)]{:(r),(a):} = 2/3 pi r^3 - pi r^2 a + 1/3 pi a^3`
    2. Je krijgt de bedoelde kegel door `y = (sqrt(r^2 - a^2))/a * x` te wentelen om de `x`-as.
      Dit geeft: `int_0^a pi((sqrt(r^2 - a^2))/a * x)^2 text(d)x = int_0^a pi((r^2 - a^2)/(a^2) * x^2) text(d)x = [pi((r^2 - a^2)/(a^2) * 1/3 x^3)]{:(a),(0):} = 1/3 pi r^2 a - 1/3 pi a^3`.
      De totale bolsector heeft dan als inhoud: `2/3 pi r^2 (r - a)`.
  12. Merk eerst op dat `q = sqrt(p)`.
    Nu is de inhoud van het lichaam dat ontstaat door `V` om de `x`-as te wentelen `int_0^p pi(sqrt(x))^2 text(d)x = pi p`.
    Verder is de inhoud van het lichaam dat ontstaat door `W` om de `y`-as te wentelen `int_0^(sqrt(p)) pi(y^2)^2 text(d)y = 1/5 pi (sqrt(p))^5`.
    Dus moet: `pi p = 1/5 pi (sqrt(p))^5` zodat `5p = p^2 sqrt(p)` en dit geeft `p = 0 vv p = root[3](25)`.
    1. Nulpunten `(+-1,0)`, verticale asymptoot `x = 0`, horizontale asymptoot `y = 2`.
    2. `text(opp)(V) = int_1^3 (x - (2 - 2/(x^2))) text(d)x = [1/2 x^2 - 2x - 2/x]{:(3),(1):} = 1 1/3`
    3. `I = int_1^3 pi x^2 text(d)x - int_1^3 pi (2 - 2/(x^2))^2 text(d)x = [pi(1/3 x^3 - (4x + 8/x - 2/(x^2)))]{:(3),(1):} = 4 2/9 pi`
  14. Eerst `y = 4 - x sqrt(x)` herleiden naar `y = (4 - y)^(2/3)`.
    De gevraagde inhoud is `int_2^4 pi((4 - y)^(2/3))^2 text(d)x = [pi(- 3/7 (4 - y)^(7/3))]{:(4),(2):} = 12/7 pi root[3](2)`.