Oppervlakte en lengte

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Oppervlakte en lengte > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Oppervlakte en lengte > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

  1. Het berekenen van de oppervlakte van een gebied dat wordt ingesloten door twee of meer krommen (of rechten) kun je met behulp van integreren berekenen. In de Uitleg zie je hoe dit in zijn werk gaat bij het gebied ingesloten door de grafieken van `f(x) = x^2` en `g(x) = x^3`.
    1. Bereken de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van `f` en `g` en de lijn `x = 2`.
    2. Bereken de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van `f` en `g` en de lijn `y = 2`.

  2. Bestudeer hoe in de Uitleg de lengte van een grafiek met behulp van integreren kan worden berekend.
    1. Waar komt de uitdrukking `(Delta x)^2 + (Delta y)^2` in de Riemannsom vandaan?
    2. Neem `Delta x = 0,1` en bereken de bijbehorende Riemannsom.
    3. Controleer zelf de benadering van de lengte van de grafiek van `f(x) = x^2` op het interval `[0,1]` met behulp van de grafische rekenmachine.
    4. Bereken ook de lengte van de grafiek van `g(x) = x^3` op `[0,1]`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Oppervlakte en lengte > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Gegeven zijn de functies `f(x) = 4 - x^2` en `g(x) = x + 2`.
    Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel `V` ingesloten door de grafieken van `f` en `g`. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.

  2. Gegeven zijn de functies `f(x) = 4 - x^2` en `g(x) = x + 2`.
    1. Bereken lengte van de grafiek van `g` op het interval `[-2,1]` met behulp van integreren. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2.
    2. Omdat de grafiek van `g` op `[-2,1]` een lijnstuk is, kun je deze lengte ook berekenen met behulp van meetkundige technieken. Ga na, dat je daarmee dezelfde uitkomst krijgt.
    3. Bereken nu de omtrek van het vlakdeel `V` ingesloten door de grafieken van beide functies.

  3. In Voorbeeld 3 worden de oppervlakte en de omtrek van een cirkel met straal 1 berekend.
    1. Bereken met behulp van integraalrekening de oppervlakte van een cirkel met straal `2`.
    2. Bereken door integreren de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de cirkel `x^2 + y^2 = 4` en de lijn `x = 1` in twee decimalen nauwkeurig.
    3. Bereken deze oppervlakte ook meetkundig.
    4. Benader door integreren de omtrek van een cirkel met straal 2. Ga na, dat je uitkomst overeen komt met de formule voor de omtrek van een cirkel.

Verwerken

  1. De grafieken van de functies `f(x) = x^2 + 3x + 5` en `g(x) = -x^2 + 5x + 9` zijn parabolen.
    1. Bereken de oppervlakte van het gebied tussen beide parabolen.
    2. Bereken ook de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van `f` en `g`, en de lijn `x = 4`.

  2. Ten opzichte van rechthoekig assenstelsel `Oxy` is `K` de grafiek van de functie `f(x) = sqrt(3 - x)`.
    Er is een getal `a`, zo dat `K`, de `x`-as en de lijn `x = a` een vlakdeel begrenzen, waarvan de oppervlakte gelijk is aan 18. Bereken `a`.

  3. Bereken de booglengte van de grafiek van de functie `f` op het gegeven interval:
    1. `f(x) = x^3 + 1/(12x)` op `[1,2]`
    2. `f(x) = x sqrt(x)` op `[1,4]`.

  4. Gegeven is de functie `f(x) = x^4 - 13x^2 + 36`.
    1. Breng de grafiek van deze functie zo in beeld dat alle karakteristieken duidelijk te zien zijn.
    De grafiek van `f` en de `x`-as sluiten drie vlakdelen in. De grootste van die drie vlakdelen is `V`.
    1. Bereken door primitiveren de oppervlakte van `V`.
    2. De raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 3`, de `y`-as en de grafiek van `f` sluiten een vakdeel `W` in. Bereken de oppervlakte daarvan.

  5. Gegeven is de functie `f(x) = x + 1/(x)`.
    Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van `f` en de lijn `y = 2,5`.

  6. Bekijk de grafieken van de functies `f(x) = (x^2 - 4)(2x + 1)` en `g(x) = x^2 - 4`. De lijn met vergelijking `x = p` met `-2 < p < 0` snijdt de grafiek van `f` in `A` en de grafiek van `g` in `B`.
    1. Bereken de waarden van `p` waarvoor de oppervlakte van driehoek `OAB` gelijk is aan 3.
    Met domein `RR` zijn nu voor elke `a > 0` gegeven de functies:

    `f_a(x) = (ax^2 - 4)(2x + 1)` en `g_a(x) = ax^2 - 4`.

    De grafieken van `f_a(x)` en `g_a(x)` hebben drie gemeenschappelijke punten en sluiten twee vlakdelen `V_1` en `V_2` in.
    1. Bewijs dat de oppervlakten van `V_1` en `V_2` gelijk zijn.

  7. Gegeven is de functie `f(x) = x + 3 - 4 sqrt(x)` met domein `[0,rarr:)`.
    Ten opzichte van een assenstelsel `Oxy` is `K` de grafiek van `f`.
    1. Gebruik de rekenmachine om `K` te tekenen.
    2. Bereken de oppervlakte van de driehoek gevormd door de `x`-as en de raaklijnen aan `K` in de punten waar `K` de `x`-as snijdt.
    3. Gebruik de rekenmachine om de lengte van `K` tussen `x = 1` en `x = 9` te bepalen.

Testen

  1. Gegeven is de functie `f` door `f(x) = 4 - 4/((x-3)^2)`.
    1. Bereken de nulpunten van `f` en breng de grafiek zo in beeld dat alle karakteristieken zichtbaar zijn.
    2. De grafiek van de functie `f` en de beide coördinaatassen sluiten een gebied `G` in. Bereken door primitiveren de oppervlakte van `G`.
    3. Bereken de omtrek van `G` in twee decimalen nauwkeurig.

  2. Gegeven zijn de functies `f(x) = 4 - x sqrt(x)` en `g(x) = 2`.
    1. Teken het gebied `G` dat door de grafieken van `f` en `g`, en de `y`-as wordt ingesloten.
    2. Bereken de oppervlakte van het gebied `G`.
    3. Bereken de lengte van de grafiek van `f` tussen `x = 1` en `x = 4`.