Oppervlakte en lengte

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. De gevraagde oppervlakte is `int_1^2 (x^3 - x^2) text(d)x = [1/4 x^4 - 1/3 x^3]{:(2),(1):} = 17/12`.
   2. De lijn `y = 2` snijdt de grafiek van `f` in `(+-sqrt(2),2)` en die van `g` in `(root[3](2),2)`. De gevraagde oppervlakte is `int_1^(root[3](2)) (x^3 - x^2) text(d)x + int_(root[3](2))^(sqrt(2)) (2 - x^2) text(d)x ~~ 0,079`.
2. 1. Elk lijnstukje is de hypothenusa van een rechthoekig driehoekje met rechthoekszijden `Delta x` en `Delta y`. En dus bereken je de lengte ervan met de stelling van Pythagoras.
   2. `sum_(k = 1)^(10) sqrt((0,1)^2 + ((0,1k)^2 - (0,1(k-1))^2)^2) ~~ 1,48` (Gebruik je GR, zie het practicum bij het onderdeel 4.1: "De integraal".)
   3. Reken nu de integraal in het voorbeeld met de rekenmachine na.
   4. `L = int_0^1 sqrt(1 + (3x^2)^2) text(d)x ~~ 1,55`.
3. Bereken eerst de snijpunten van beide grafieken door `f(x) = g(x)` op te lossen. Je vindt `(-2,0)` en `(1,3)`.
   Nu is `opp(V) = int_(-2)^1 (4 - x^2 - (x + 2)) text(d)x = int_(-2)^1 (-x^2 - x + 2) text(d)x = [-1/3 x^3 - 1/2 x^2 + 2x]{:(1),(-2):} = 4,5`.
   
4. 1. `g'(x) = 1`
      `L = int_(-2)^1 sqrt(1 + 1^2) text(d)x = [sqrt(2) * x]{:(1),(-2):} = 3sqrt(2)`.
   2. Met de stelling van Pythagoras: `L^2 = 3^2 + 3^2` en dus `L = sqrt(18) = 3sqrt(2)`.
   3. `f'(x) = -2x`
      De gevraagde omtrek is `3sqrt(2) + int_(-2)^1 sqrt(1 + (-2x)^2) text(d)x ~~ 10,37`.
5. 1. `2 * int_(-2)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 12,57`.
   2. `2 * int_(1)^2 sqrt(4 - x^2) text(d)x ~~ 2,46`.
   3. De snijpunten van `x = 1` met de cirkel zijn `A(1,-sqrt(3))` en `B(1,sqrt(3))`.
      Het vlakdeel vormt samen met driehoek `OAB` een cirkelsector.
      De sectorhoek `AOB` is 120° dus de cirkelsector is éénderde deel van de hele cirkel en heeft daarom een oppervlakte van `1/3 * pi * 2^2 = 4/3 pi`. De oppervlakte van driehoek `OAB` is `sqrt(3)`. Dus het vlakdeel heeft een oppervlakte van `4/3 pi - sqrt(3) ~~ 2,46`.
   4. De afgeleide van `f(x) = sqrt(4 - x^2)` is `f'(x) = (-x)/(sqrt(4 - x^2))`.
      De omtrek van de cirkel is `2 * int_(-2)^2 sqrt(1 + ((-x)/(sqrt(4 - x^2)))^2) text(d)x = 2 * int_(-2)^2 sqrt(4/(4 - x^2)) text(d)x ~~ 12,57`.
6. 1. De oppervlakte is `int_(-1)^2 (g(x) - f(x)) text(d)x = int_(-1)^2 (-2x^2 + 2x + 4) text(d)x`.
      Dat geeft: [ −23x3+x2+4x ]−12=(−163+4+8)−(23+1−4)=9 .
   2. De oppervlakte is `int_(2)^4 (f(x) - g(x)) text(d)x = int_(2)^4 (2x^2 - 2x - 4) text(d)x`.
      Dat geeft: [ 23x3−x2−4x ]24=(1283−16−16)−(163−4−8)=1713 .
7. Je moet oplossen ∫a33−xdx=18 .
   Na primitiveren en invullen van de grenzen krijg je 23(3−a)3−a=18 . Dit geeft a=−6 .
   
8. 1. ∫121+(3x2−112x2)2dx≈7,04
   2. ∫141+(32x)2dx=∫141+94xdx≈7,63
9. 1. De nulpunten zijn: `(-3, 0), (-2, 0), (2, 0)` en `(3, 0)`.
      De extremen zijn: max.`f(0) = 36` en min.`f(+-1/2 sqrt(26)) = -6,25`.
   2. opp(V)=∫−22(x4−13x2+36)dx geeft [ 15x5−133x3+36x ]−22=87715 .
   3. De raaklijn in `(3,0)` met `f'(3) = 30` heeft vergelijking `y = 30x - 90`.
      opp(W)=∫03(x4−13x2+36−30x+90)dx  en dit geeft [ 15x5−133x3−15x2+126x ]03=174,6 .
10. De snijpunten van de lijn en de grafiek vind je uit de vergelijking: x+1x=212 . Dit geeft x=0,5∨x=2 .
    De oppervlakte is ∫0,52(212−x−1x)dx . Deze integraal kun je op dit moment alleen met de GR bepalen. Je vindt: `~~ 0,4887`.
    
11. 1. De grafieken snijden elkaar in `(-2,0)` en `(2,0)`. Verder gaat de grafiek van `g` ook door `(0,-4)`. Teken de lijn `x = p`, waarbij `-2 < p < 0`.
       De oppervlakte van `Delta OAB` is `1/2 * -p * |AB| = -1/2 p * (f(p) - g(p)) = -1/2 p ((p^2 - 4)(2p + 1) - (p^2 - 4)) = -p^4 + 4p^2 = 3`.
       Deze vergelijking is te ontbinden in `(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0`. Dit geeft als enige mogelijkheden `p = -1` of `p = -sqrt(3)`.
    2. (ax2−4)(2x+1)=(ax2−4)  geeft ax2−4=0∨2x+1=1  en dus x=±4a∨x=0 .
       Nu kun je de oppervlaktes van de twee vlakdelen bepalen met behulp van primitiveren.
       Na veel gedoe met haakjes vind je dat beide oppervlaktes gelijk zijn aan 8a .
12. 1. Vensterinstellingen bijvoorbeeld `[0,12]xx[-2,3]`.
    2. De snijpunten met de assen bereken je algebraïsch: `x + 3 - 4sqrt(x) = 0` geeft `4sqrt(x) = x + 3` en dus `16x = x^2 + 6x + 9`. Hieruit vind je `x = 1 vv x = 9`.
       De raaklijn in `(1,0)` is `y = -x + 1`. De raaklijn in `(9,0)` is `y = 1/3 x - 3`.
       Hun snijpunt (algebraïsch) is `(3,-2)`.
       De oppervlakte van de gevraagde driehoek wordt daarom `1/2 * 8 * 2 = 8`.
    3. De lengte is ∫191+(1−2x)2dx=∫192−4x+4xdx≈8,366164 .
13. 1. Nulpunten (algebraïsch) zijn `(2,0)` en `(4,0)`.
    2. opp(G)=∫02(4−4(x−3)−2)dx=[ 4x+4x−3 ]02=513
    3. `f'(x) = 8/((x - 3)^3)`, dus de totale omtrek is `2 + 3 5/9 + int_0^2 sqrt(1 + (8/((x - 3)^3))^2) text(d)x ~~ 9,93`.
14. 1. Doen.
    2. opp(G)=∫043(4−xx−2)dx=∫043(2−x112)dx=[ 2x−25x212 ]043≈1,90
    3. ∫141+(−32x12)2dx=∫141+94xdx=[ 23(1+94x)32⋅49 ]14≈7,63