Integreren

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Integreren > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Integreren > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

1. In de Uitleg wordt de hoofdstelling van de integraalrekening genoemd, maar niet bewezen. Een volledig bewijs hiervan valt ook buiten de leerstof voor het vwo. Maar enige toelichting is wel mogelijk.
   Je weet uit het voorgaande onderdeel dat `int_a^x f(t) text(d)t = F(x)` waarin `F` een primitieve van `f` is, dus `F'(x) = f(x)`. Dat dit alleen opgaat voor mooie brave functies (aaneengesloten grafieken zonder verticale asymptoten) is niet ter sprake gekomen.
   1. Waarom moet `F(a) = 0`?
   2. Leg uit waarom `int_a^b f(t) text(d)t = F(b) - F(a)`
   3. Bereken met behulp van de hoofdstelling voor de integraalrekening `int_(-1)^1 x^2 text(d)x`.
   4. Welk probleem doet zich voor als je `int_(-1)^1 1/(x^2) text(d)x` wilt berekenen? Wat doet je grafische rekenmachine hiermee?


2. Bestudeer hoe in de Uitleg `int_0^1 x/((1 + x^2)^3) text(d)x` wordt berekend door primitieveren.
   1. Controleer de gevonden primitieve door differentiëren.
   2. Bereken op dezelfde manier `int_0^1 6x(1 + x^2)^3 text(d)x`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Integreren > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. Bekijk in de Theorie wat je onder integreerregels verstaat.
   1. Gebruik de hoofdstelling van de integraalrekening om te laten zien dat de eerste twee integreerregels geldig zijn.
   2. Toon ook aan dat `int_a^b f(x) text(d)x + int_b^c f(x) text(d)x = int_a^c f(x) text(d)x`.


4. Gegeven is de functie `f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6`.
   1. Bereken de integraal van `f` over het interval `[1,3]`.
   2. Welke integreerregels heb je nu gebruikt? Bekijk eventueel Voorbeeld 1.
   3. Heb je met de integraal uit a de oppervlakte van een gebied berekend? Waarom?
   Breng nu de grafiek van `f` in beeld zo, dat je het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x`-as kunt zien.
   1. Welke nulpunten heeft `f`?
   2. Bereken nu de oppervlakte van het beschreven gebied. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2.


5. Gegeven is de functie `f(x) = 1/4 x^4 - 2x^2 - 2 1/4`.
   1. Bereken de nulpunten van de functie `f`. Breng de grafiek van de functie in beeld.
   2. Bereken de oppervlakte van het gebied `V` dat ingesloten is door de grafiek van `f` en de `x`-as.
   3. De raaklijn aan de grafiek van `f` in het punt van `f` met x-coördinaat `3`, de `y`-as en de grafiek van `f` sluiten een gebied in. Bereken de oppervlakte daarvan.


6. De integraal `int_(-1)^1 sqrt(1 - x^2) text(d)x` kun je zien als de oppervlakte van een bepaald gebied.
   1. Welke vorm heeft dat gebied? Breng het in beeld met je grafische rekenmachine.
   2. Bepaal deze oppervlakte met de grafische rekenmachine.
   3. Waarom kun je deze oppervlakte niet exact berekenen met behulp van de tot nu toe genoemde integreerregels?
   4. Bereken de exacte oppervlakte van dit gebied met behulp van meetkundige kennis.


7. In Voorbeeld 3 wordt bij het integreren ook gebruik gemaakt van de substitutieregel.
   1. Loop het voorbeeld na.
   2. Bereken `int_(-1)^(1) x sqrt(1 - x^2) text(d)x`.
   3. Bereken de exacte oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van `f(x) = x sqrt(1 - x^2)` en de `x`-as.


8. De integraal `int_(1)^9 (1 + sqrt(x))/(sqrt(x)) text(d)x` kun je op twee manieren exact berekenen.
   1. Doe dit eerst door van de substitutieregel gebruik te maken.
   2. Je kunt dit ook doen door de deling uit te voeren. Laat zien dat je dan hetzelfde krijgt.

Verwerken

9. Bereken de volgende integralen exact en controleer de antwoorden met de grafische rekenmachine.
   1. `int_0^1 3/((2x + 1)^4) text(d)x`
   2. `int_0^1 x/((x^2 + 1)^4) text(d)x`
   3. `int_1^2 ((x + 1)^2)/(x^4) text(d)x`
   4. `int_(-3)^1 (-2)/(sqrt(3-2x)) text(d)x`


10. Gegeven is de functie `f(x) = 0,5(x - 4)(x^2 - 4)`.
    1. Breng de grafiek van deze functie zo in beeld dat alle karakteristieken duidelijk te zien zijn.
    2. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel `V` ingesloten door de grafiek van `f` en de `x`-as.
    3. De raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 2`, de `y`-as en de grafiek van `f` sluiten een vakdeel `W` in. Bereken de oppervlakte daarvan.


11. Gegeven is de functie `f(x) = 3x - x^3`.
    1. Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x`-as.
    2. Het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x`-as op het interval `[0,sqrt(3)]` wordt door de lijn `x = p` verdeeld in twee gebieden met gelijke oppervlakte. Bereken `p` in twee decimalen nauwkeurig.


12. Bereken de volgende onbepaalde integralen:
    1. `int (-(x - 3)(x + 1))/(x^4) text(d)x`
    2. `int (2x + 5)^3 sqrt(2x + 5) text(d)x`
    3. `int x^2 sqrt(6 - x^3) text(d)x`
    4. `int (x)/(sqrt(1 + x^2)) text(d)x`


13. Een heel eenvoudig voorbeeld van een functie die je wel kunt differentiëren, maar niet primitiveren is `f(x) = 1/x`.
    1. Welk probleem doet zich voor als je deze functie met de machtsregel wilt primitiveren?
    2. Bereken `int_1^4 1/x text(d)x`.
    3. Waarom heeft `int_(-1)^1 1/x text(d)x` geen betekenis? Zou je toch een waarde aan deze integraal kunnen toekennen? En zo ja, wat is dan je redenering?

Testen

14. Bereken de volgende integralen exact en controleer je antwoorden met de grafische rekenmachine.
    1. `int_0^1 root[5](3x + 1) text(d)x`
    2. `int_1^4 (2x^2 - 1)/(x^2) text(d)x`
    3. `int_(-1)^1 (4x)/((1 + x^2)^2) text(d)x`


15. Gegeven is de functie `f` door `f(x) = -2x + 3 * root[3](x^2)`.
    Bereken met behulp van primitiveren de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van `f` en de `x`-as in twee decimalen nauwkeurig.