Integreren

Antwoorden bij de opgaven

    1. Omdat de integraal over het interval `[a,a]` uiteraard de grootte `0` heeft.
    2. Als `F(x) = int_a^x f(t) text(d)t` dan is `F'(x) = f(x)` betekent omgekeerd dat `int_a^x f(t) text(d)t = F(x) + c`.
      Nu moet `c` zo worden gekozen dat `F(a) = 0` en dan is `c = -F(a)`. Dus `int_a^x f(t) text(d)t = F(x) - F(a)`.
      Vervang nu `x` door `b` en je hebt je hoofdstelling.
    3. Een primitieve van `f(x) = x^2` is `F(x) = 1/3 x^3`.
      En dus is `int_(-1)^1 x^2 text(d)x = F(1) - F(-1) = 1/3 - -1/3 = 2/3`.
      Ga na, dat je ook rustig een andere primitieve van `f` kunt gebruiken.
    4. De functie `f(x) = 1/(x^2)` heeft een verticale asymptoot voor `x = 2`. De grafische rekenmachine geeft een foutmelding.
      Maar je moet hier wel goed op letten. Je kunt namelijk gewoon een primitieve maken: `F(x) = - 1/x` en dan de hoofdstelling toepassen geeft een integraal van `-1 - 1 = -2`. Dat is alleen een onzinnig antwoord.
    1. Doen.
    2. Een primitieve van `f(x) = 6x(1 + x^2)^3 = 3 * 2x * (1 + x^2)^3` is `F(x) = 3 * 1/4 (1 + x^2)^4`.
      Dus `int_0^1 6x(1 + x^2)^3 text(d)x = F(1) - F(0) = 12 - 3/4 = 11,25`.
    1. Een primitieve van `k * f(x)` is `k * F(x)`.
      En dus: `int_a^b k * f(x) text(d)x = k * F(b) - k * F(a) = k * (F(b) - F(a)) = k * int_a^b f(x) text(d)x`.
      Een primitieve van `f(x) + g(x)` is `F(x) + G(x)`.
      En dus: `int_a^b (f(x) + g(x)) text(d)x = F(b) + G(b) - (F(a) + G(a)) = F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = int_a^b f(x) text(d)x + int_a^b g(x) text(d)x`.
    2. `F(b) - F(a) + F(c) - F(b) = F(c) - F(a)`.
    1. ∫ 1 3 ( x 3 −6 x 2 +11x−6 ) dx= [ 1 4 x 4 −2 x 3 +5 1 2 x 2 −6x ] 1 3 =
      ( 81 4 −54+49 1 2 −18 )−( 1 4 −2+5 1 2 −6 )=20−52+44−12=0
    2. De somregel en de constanteregel.
    3. Nee, bekijk je de grafiek dan ligt een gedeelte van het gevraagde gebied boven de `x`-as en een gedeelte eronder.
    4. De nulpunten zijn `(1,0)`, `(2,0)` en `(3,0)`.
    5. De gevraagde oppervlakte is `2 * int_2^3 f(x) text(d)x = 0,5`.
    1. x 4 −8 x 2 −9=0  geeft ( x 2 +1 )( x 2 −9 )=0  en dus `x = +-3`. De nulpunten zijn `(+-3,0)`.
    2. De oppervlakte is − ∫ −3 3 ( 1 4 x 4 −2 x 2 −2 1 4 ) dx= [ − 1 20 x 5 + 2 3 x 3 +2 1 4 x ] −3 3 =
      =( − 243 20 + 54 3 +6 3 4 )−( 243 20 − 54 3 −6 3 4 )=− 243 10 + 108 3 +13 1 2 =25,2 .
    3. De raaklijn gaat door `(3,0)` en heeft richtingscoëfficiënt `f'(3) = 15`. Een vergelijking hiervan is `y = 15x - 45`.
      De oppervlakte van het bedoelde gebied is
      ∫ 0 3 ( 1 4 x 4 −2 x 2 −2 1 4 −15x+45 ) dx= [ 1 20 x 5 − 2 3 x 3 − 15 2 x 2 +42 3 4 x ] 0 3 =
      =( 243 20 − 54 3 − 135 2 +126 9 4 )=54,9 .
    1. Een halve cirkel met middelpunt `O(0,0)` en straal 1.
    2. `~~ 1,57`
    3. Er is sprake van een samengestelde functie, maar je kunt de substitutieregel niet eenvoudig toepassen omdat de afgeleide van `1 - x^2` niet in het functievoorschrift voorkomt.
    4. `1/2 * pi * 1^2 = 0,5pi`.
    1. Doen.
    2. `int_(-1)^(1) x sqrt(1 - x^2) text(d)x = int_(-1)^(1) - 1/2 * -2x * (1 - x^2)^(0,5) text(d)x = [- 1/2 * 2/3 (1 - x^2)^(1,5)]{:(1),(-1):} = 0`.
    3. Die oppervlakte is `2 * [- 1/2 * 2/3 (1 - x^2)^(1,5)]{:(1),(0):} = 2/3`.
    1. `int_(1)^9 (1 + sqrt(x))/(sqrt(x)) text(d)x = int_(1)^9 2 * 1/(2sqrt(x)) * (1 + sqrt(x)) text(d)x = [2 * 1/2(1 + sqrt(x))^2]{:(9),(1):} = 12`.
    2. `int_(1)^9 (1 + sqrt(x))/(sqrt(x)) text(d)x = int_(1)^9 (x^(-0,5) + 1) text(d)x = [2 x^(0,5) + x]{:(9),(1):} = 12`.
    1. `int_0^1 3/((2x + 1)^4) text(d)x = [-1/(2(2x + 1)^3)]{:(1),(0):} = 13/27`
    2. `int_0^1 x/((x^2 + 1)^4) text(d)x = [-1/(6(x^2 + 1)^3)]{:(1),(0):} = 7/48`
    3. `int_1^2 ((x + 1)^2)/(x^4) text(d)x = [-1/x - 2/(3x^2) - 1/(3x^3)]{:(2),(1):} = 1 7/24`
    4. `int_(-3)^1 (-2)/(sqrt(3-2x)) text(d)x = [2 sqrt(3 - 2x)]{:(1),(-3):} = -4`
    1. Nulpunten `(+-2,0)` en `(4,0)`. Max.`f(-0,43) ~~ 8,45` en min.`f(3,09) ~~ -2,52`.
    2. De oppervlakte van `V` is `int_(-2)^2 f(x) text(d)x + int_2^4 -f(x) text(d)x = [1/8 x^4 - 2/3 x^3 - x^2 + 8x]{:(2),(-2):} + [-1/8 x^4 + 2/3 x^3 + x^2 - 8x]{:(4),(2):} = 24 2/3`.
    3. De raaklijn heeft vergelijking `y = -4x + 8`.
      De oppervlakte van `W` is `int_0^2 f(x) text(d)x - int_0^2 (-4x + 8) text(d)x = 2/3`.
    1. Nulpunten berekenen geeft `(+-sqrt(3),0)` en `(0,0)`.
      De gevraagde oppervlakte is `2 * int_0^(sqrt(3)) f(x) text(d)x = 4,5`.
    2. `int_0^p f(x) text(d)x = int_p^(sqrt(3)) f(x) text(d)x` geeft: `3/2 p^2 - 1/4 p^4 = 9/4 - 3/2 p^2 + 1/4 p^4` en dus `2p^4 - 12p^2 + 9 = 0`.
      Dit levert op `p^2 = (12 +- sqrt(72))/4` en dus `p ~~ 0,94`.
    1. `f(x) = -x^(-2) + 2x^(-3) + 3x^(-4)` geeft `F(x) = 1/x - 1/(x^2) - 1/(x^3) + c`.
    2. `f(x) = (2x + 5)^(3,5)` geeft `F(x) = 1/9(2x + 5)^4 sqrt(2x + 5) + c`.
    3. `f(x) = -1/3 * -3x^2 * (6 - x^3)^(0,5)` geeft `F(x) = -2/9 (6 - x^3)sqrt(6 - x^3) + c`.
    4. `f(x) = 1/2 * 2x * (1 + x^2)^(-0,5)` geeft `F(x) = sqrt(1 + x^2) + c`.
    1. Omdat `f(x) = x^(-1)` en bij het toepassen van de machtsregel voor primitiveren krijg je dan `F(x) = 1/0 * x^0` en delen door nul geeft geen reële waarden.
    2. Met de GR vind je ongeveer 1,386.
    3. Omdat `f` voor `x = 0` een verticale asymptoot heeft. Maar je zou vanwege de symmetrie van de grafiek denken dat `int_(-1)^1 1/x text(d)x = 0`.
    1. `f(x) = (3x + 1)^(1/5)` geeft `F(x) = 5/18 (3x + 1)root[5](3x + 1) + c` en dus is `int_0^1 root[5](3x + 1) text(d)x = 10/9 root[5](4) - 5/18`.
    2. `f(x) = 2 - x^(-2)` geeft `F(x) = 2x + 1/x + c` en dus is `int_1^4 (2x^2 - 1)/(x^2) text(d)x = 5,25`.
    3. `f(x) = 2 * 2x * (1 + x^2)^(-2)` geeft `F(x) = 2/(1 + x^2) + c` en dus is `int_(-1)^1 (4x)/((1 + x^2)^2) text(d)x = 2`.
  15. Nulpunten: `-2x + 3 * root[3](x^2) = 0` geeft `27x^2 = 8x^3` en dus `x = 0 vv x = 27/8`.
    Nu is `f(x) = -2x + 3x^(2/3)`, dus `F(x) = -x^2 + 1,8x root[3](x^2) + c`.
    De gevraagde oppervlakte is `int_0^(27/8) f(x) text(d)x = [F(x)]{:(27/8),(0):} ~~ 2,28`.