Primitieven

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Primitieven > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Primitieven > Uitleg

Lees eerst de Uitleg goed door.

Opgaven

  1. In de Uitleg wordt verteld hoe je een integraal exact kunt berekenen door primitiveren.
    1. Wat is primitiveren precies?
    2. Leg uit waarom `F(x) = 1/6 x^3` een primitieve is van `f(x) = 0,5x^2`.
    3. Noem nog minstens twee andere primitieve functies van `f`.
    4. Waarom is `int_(1)^(x) 0,5x^2 text(d)x = F(x) - F(1)`?
    5. Bereken nu `int_(1)^(4) 0,5x^2 text(d)x`.
    6. Bereken ook `int_(2)^(4) 0,5x^2 text(d)x`.

  2. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 15x^4`.
    1. Wat stelt `F(x) = int_(-1)^(x) f(t) text(d)t` voor?
    2. Toon aan dat `F'(x) = f(x)`.
    3. Bepaal nu zelf de juiste primitieve functie `F` van `f`.
    4. Wat stelt `F(2)` voor? Bereken `F(2)`.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Integraalrekening > Primitieven > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Bekijk in de Theorie wat je onder een primitieve verstaat en welke regels je kunt toepassen om ze te bepalen.
    1. Controleer de juistheid van elke regel door differentiëren.
    2. In Voorbeeld 1 worden verschillende primitieven bepaald. Probeer steeds eerst zelf de primitieve te vinden.
    3. Controleer alle primitieven door differentiëren.

  2. Gegeven is de functie `f(x) = sqrt(x)` op het interval `[0,5]`.
    1. Wat stelt `F(x) = int_(0)^(x) f(t) text(d)t` voor?
    2. Waarom is `F` een primitieve van `f`?
    3. Bepaal alle mogelijke functies `F` met behulp van de machtsregel voor primitiveren.
    4. Bereken nu exact `int_(0)^(9) sqrt(x) text(d)x`.

  3. Het berekenen van de primitieven van een functie wordt ook wel onbepaald integreren genoemd. Je noteert dit met een integraalteken zonder grenzen. Bepaal:
    1. `int 3x^2 - 4x + 1 text(d)x`
    2. `int root[3](x) text(d)x`
    3. `int 2/(x^2) text(d)x`
    4. `int sqrt(3x) text(d)x`
    5. `int (4x - 1)^2 text(d)x`
    6. `int (x^2 - 4)/(x^2) text(d)x`

  4. In Voorbeeld 2 wordt een primitieve berekend die aan een bepaalde randvoorwaarde voldoet.
    1. Bereken de primitieve `F` van `f(x) = 1/(x^2) + x^2` waarvoor geldt `F(1) = 2`.
    2. Bereken de primitieve `F` van `f(x) = (3x - 4)/(x^3)` waarvoor geldt `F(1) = 2`.
    3. Bereken de primitieve `F` van `f(x) = (4x - 2)^3` waarvoor geldt `F(0) = 1`.
    4. Bereken de primitieve `F` van `f(x) = 1/(sqrt(1 + 4x))` waarvoor geldt `F(2) = 0`.

  5. Bestudeer nu Voorbeeld 3.
    1. Ga na dat de primitieven `F` van de gegeven functie `f` juist zijn.
    2. Je moet nu `int_(2)^(9) -f(x) text(d)x` berekenen. Bepaal de functie `G` waarvoor `G(x) = -F(x)` waarvoor geldt `G(2) = 0`.
    3. Bereken met behulp van het antwoord van b de gewenste integraal.
    4. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

  6. Gegeven is de functie `f(x) = 4 - x^2` op het interval `[-4,4]`.
    1. Bepaal de primitieve `F` van `f` waarvoor geldt `F(-4) = 0`.
    2. Bereken met behulp van de primitieve die je bij a hebt gevonden de integraal van `f` op het gegeven interval.
    3. Is deze integraal gelijk aan de oppervlakte van de gebieden ingesloten door de grafiek van `f`, de `x`-as en de lijnen `x = -4` en `x = 4`? Licht je antwoord toe.

Verwerken

  1. Voor `x >= 0` is gegeven de functie `F(x) = int_(0)^(x) t^3 - 8t text(d)t`.
    1. Welke betekenis heeft de functiewaarde `F(2)`? Bereken `F(2)` exact.
    2. Bereken de extremen van `F`.
    3. Voor welke `x` geldt `F"(x) = 0`?
    4. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `F` voor die waarde van `x`.

  2. Bereken de primitieven van `f`.
    1. `f(x) = (3x - 2)^4`
    2. `f(x) = x(1 + x^2)`
    3. `f(x) = (1 + x^2)^2`
    4. `f(x) = 4/(2x + 1)^2`

  3. Bekijk de voorgaande opgave. Bepaal in elk van de gevallen de primitieve functie `F` waarvoor `F(0) = 1`.

  4. Bereken de volgende onbepaalde integralen:
    1. `int 1/(sqrt(x)) text(d)x`
    2. `int (3x - 2)^11 text(d)x`
    3. `int (x^2 sqrt(x) + 4 sqrt(x)) text(d)x`
    4. `int 3(3x + 5)^4 text(d)x`

  5. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = 6x - 3x^2`.
    Je wilt de oppervlakte uitrekenen van het gebied ingesloten door de grafiek van `f` en de `x`-as.
    1. Om welke integraal gaat het dan?
    2. `F(x) = int_(0)^(x) f(t) text(d)t`. Stel een voorschrift op voor `F`.
    3. Bereken met behulp van `F` de gewenste oppervlakte.
    4. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

Testen

  1. Gegeven is de functie `f` met `f(x) = sqrt(4 - x)`.
    Je wilt de oppervlakte uitrekenen van het gebied ingesloten door de grafiek van `f`, de `x`-as en de `y`-as.
    1. Om welke integraal gaat het dan?
    2. `F(x) = int_(0)^(x) f(t) text(d)t`. Stel een voorschrift op voor `F`.
    3. Bereken met behulp van `F` de gewenste oppervlakte.
    4. Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

  2. Bepaal de primitieve `F` van de functie `f` waarvoor `F(0) = 1` als
    1. `f(x) = sqrt(2x) + 1/(sqrt(2x))`
    2. `f(x) = 3/((3x + 4)^2)`