Primitieven

Antwoorden bij de opgaven

    1. Primitiveren is het terugredeneren vanuit een gegeven functie `f` die de afgeleide is van `F` naar het functievoorschrift van `F`.
    2. Omdat `F'(x) = f(x)`.
    3. `F(x) = 1/6 x^3 + 1` en `F(x) = 1/6 x^3 + c`, waarin `c` een willekeurige constante is.
    4. `F(1) = 0`, deze integraal heeft als ondergrens 1.
      De schrijfwijze `int_1^x f(x) text(d)x = F(x) - F(1)` is handig omdat je dan gewoon de basisprimitieve kunt invullen zonder met de `c` rekening te houden.
    5. `F(4) - F(1) = 1/6 * 4^3 - 1/6 = 10,5`.
    6. `F(4) - F(2) = 1/6 * 4^3 - 1/6 * 2^3 = 9 1/3`.
    1. De integraal van `f(x) = 15x^4` over het interval `[-1,x]`.
    2. Als `x rarr x+h` dan neemt `F(x)` toe met `F(x + h) - F(x) ~~ f(x) * h`, dus
      `lim_(h rarr 0) (F(x + h) - F(x)) = f(x)`.
    3. `F(x) = 3x^5 + c` (controleer door differentiëren).
      En omdat `F(-1) = 0`, moet `c = 3`. De juiste primitieve is `F(x) = 3x^5 + 3`.
    4. `F(2) = 3 * 2^5 + 3 = 99` als je meteen de juiste primitieve (dus met de goede constante) gebruikt.
      Je kunt ook `F(x) = 3x^5 + c` gebruiken en dan de integraal berekenen uit `F(2) - F(1)`. Ga na, dat dit hetzelfde oplevert.
    1. Bijvoorbeeld de machtsregel: `F(x) = 1/(r + 1) * x^(r+1)` geeft `F'(x) = 1/(r+1) * (r+1) * x^(r+1-1) = x^r = f(x)`. Dus die regel klopt. Zo doe je ook de andere regels.
    2. Doen! Gebruik de math4allsite om eerst de opdracht zonder antwoorden te bekijken.
    3. Doen.
    1. De integraal van `f(x) = sqrt(x)` over het interval `[0,x]`.
    2. Als `x rarr x+h` dan neemt `F(x)` toe met `F(x + h) - F(x) ~~ f(x) * h`, dus
      `lim_(h rarr 0) (F(x + h) - F(x)) = f(x)` en dus is `F'(x) = f(x)`. Het vinden van een voorschrift voor `F` uit `F'(x) = f(x)` heet primitiveren (zie de theorie).
    3. `f(x) = x^(0,5)` dus `F(x) = 2/3 x^(1,5) + c = 2/3 x sqrt(x) + c` (controleer door differentiëren).
    4. Omdat `F(0) = 0`, moet `c = 0`. De juiste primitieve is `F(x) = 2/3 x sqrt(x)`. `F(9) = 2/3 * 9 * sqrt(9) = 18`.
    1. `F(x) = x^3 - 2x^2 + x + c`
    2. `F(x) = 0,75 x^(1 1/3) + c = 0,75x root[3](x) + c`
    3. `F(x) = -2 x^(-1) + c = (-2)/(x) + c`
    4. `F(x) = 2/3 (3x)^(1,5) * 1/3 + c = 2/3 x sqrt(3x) + c`
    5. `F(x) = 1/3 (4x - 1)^3 * 1/4 + c = 1/12 (4x - 1)^3 + c`
    6. `f(x) = 1 - 4x^(-2)` geeft `F(x) = x + 4 x^(-1) + c = 4 - 4/x + c`
    1. `f(x) = x^(-2) + x^2` geeft `F(x) = -x^(-1) + 1/3 x^3 + c = (-1)/x + 1/3 x^3 + c`.
      `F(1) = 2` geeft `c = 2/3`, dus `F(x) = (-1)/x + 1/3 x^3 + 2/3`.
    2. `f(x) = 3x^(-2) - 4x^(-3)` geeft `F(x) = -3 x^(-1) + 2 x^(-2) + c = (-3)/x + 2/(x^2) + c`.
      `F(1) = 2` geeft `c = 1`, dus `F(x) = (-3)/x + 2/(x^2) + 1`.
    3. `f(x) = (4x - 2)^3` geeft `F(x) = 1/4(4x - 2)^4 * 1/4 + c = 1/16 (4x - 2)^4 + c`.
      `F(0) = 1` geeft `c = -1`, dus `F(x) = 1/16 (4x - 2)^4 - 1`.
    4. `f(x) = (1 + 4x)^(0,5)` geeft `F(x) = 2/3(1 + 4x)^(1,5) * 1/4 + c = 1/6 (1 + 4x)sqrt(1 + 4x) + c`.
      `F(0) = 1` geeft `c = -0,5`, dus `F(x) = 1/6 (1 + 4x)sqrt(1 + 4x) - 0,5`.
    1. Controleren door differentiëren.
    2. `G(x) = - 2/5 x^2sqrt(x) + 22/3 xsqrt(x) - 36sqrt(x) + c` met `G(2) = 0` geeft `c = 344/15 sqrt(2)`.
    3. De integraal is nu `G(9) = -7,2 + 344/15 sqrt(2) ~~ 25,23`.
    4. In het plaatje in het voorbeeld zie je dat de integraal overeen lijkt te komen met de benadering ervan door de grafische rekenmachine.
    1. `F(x) = 4x - 1/3 x^3 + c` met `F(-4) = 0` geeft `F(x) = 4x - 1/3 x^3 - 5 1/3`.
    2. `int_(-4)^(4) f(f) text(d)t = F(4) = -10 2/3`.
    3. Nee, want de gebieden waar de grafiek negatieve functiewaarden heeft leveren een negatieve bijdrage voor de integraal op.
    1. `F(2)` is de integraal over het interval `[0,2]` van `f(x) = x^3 - 4x`.
      Omdat `F(x) = 0,25x^4 - 2x^2 + c` met `F(0) = 0`, is `F(x) = 0,25x^4 - 2x^2` en dus `F(2) = -4`.
    2. `F` heeft extremen als `F'(x) = x^3 - 4x = 0`, dus voor `x = 0 vv x = +-2`.
      Omdat `x = -2` vervalt, krijg je een maximum `F(0) = 0` en een minimum `F(2) = -4`.
    3. `F"(x) = 3x^2 - 4 = 0` als `x = +-sqrt(4/3)`. De negatieve waarde vervalt.
    4. `F(sqrt(4/3)) = - 20/9` en `F'(sqrt(4/3)) = - 8/3 sqrt(4/3)`, dus `y = -8/3 sqrt(4/3) * x + 4/3`.
    1. `f(x) = (3x - 2)^4` geeft `F(x) = 1/15 (3x - 2)^5 + c`.
    2. `f(x) = x + x^3` geeft `F(x) = 1/2 x^2 + 1/4 x^4 + c`.
    3. `f(x) = 1 + 2x^2 + x^4` geeft `F(x) = x + 2/3 x^3 + 1/5 x^5 + c`.
    4. `f(x) = 4(2x + 1)^(-2)` geeft `F(x) = -2 (2x + 1)^(-1) + c = (-2)/(2x + 1) + c`.
    1. `F(x) = 1/15 (3x - 2)^5 + c` en `F(0) = 1` geeft `F(x) = 1/15 (3x - 2)^5 + 3 2/15`.
    2. `F(x) = 1/2 x^2 + 1/4 x^4 + c` en `F(0) = 1` geeft `F(x) = 1/2 x^2 + 1/4 x^4 + 1`.
    3. `F(x) = x + 2/3 x^3 + 1/5 x^5 + c` en `F(0) = 1` geeft `F(x) = x + 2/3 x^3 + 1/5 x^5 + 1`.
    4. `F(x) = (-2)/(2x + 1) + c` en `F(0) = 1` geeft `F(x) = (-2)/(2x + 1) + 3`.
    1. `F(x) = 2x^(0,5) + c = 2sqrt(x) + c`
    2. `F(x) = 1/36 (3x - 2)^(12) + c`
    3. `F(x) = 2/7 x^(3,5) + 8/3 x^(1,5) + c = 2/7 x^3sqrt(x) + 8/3 xsqrt(x) + c`
    4. `F(x) = 1/5 (3x + 5)^5 + c`
    1. `int_(0)^(2) f(t) text(d)t`
    2. `F(x) = 3x^2 - x^3 + c` met `F(0) = 0` geeft `F(x) = 3x^2 - x^3`.
    3. De gewenste oppervlakte is `F(2) = 4`.
    4. Klopt.
    1. `int_(0)^(4) f(t) text(d)t`
    2. `F(x) = - 2/3 (4 - x)^(1,5) + c = - 2/3(4 - x)sqrt(4 - x) + c` met `F(0) = 0` geeft `F(x) = - 2/3(4 - x)sqrt(4 - x) + 16/3`.
    3. De gewenste oppervlakte is `F(4) = 16/3`.
    4. De grafische rekenmachine geeft ongeveer 5,333 (maar niet precies `5 1/3`).
    1. `F(x) = 2/3 x sqrt(2x) + sqrt(2x) + c` met `F(0) = 1` geeft `F(x) = 2/3 x sqrt(2x) + sqrt(2x) + 1`.
    2. `F(x) = -(3x + 4)^(-1) + c = (-1)/(3x + 4) + c` met `F(0) = 1` geeft `F(x) = (-1)/(3x + 4) + 1,25`.