De integraal

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. De stroom uitgezet tegen de tijd.
   2. Door per tijdsinterval te kijken hoeveel m³ water er in het spaarbekken bijkomt of afgaat van de beginhoeveelheid.
   3. De ondersom is ongeveer 7917 m³ en de bovensom ongeveer 11095 m³. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.
   4. De ondersom is nu ongeveer 8736 m³ en de bovensom ongeveer 10325 m³. Daar tussenin ligt de hoeveelheid die erbij is gekomen die dag.
2. 1. Je berekent steeds hoeveel er bij `H(0)` komt en dus is `H(24)` gewoon `H(0)` plus de oppervlakte van alle staafjes samen. De oppervlakte van alle staafjes samen is daarom `H(24) - H(0)`.
   2. De schatting van `H(24) - H(0)` is een schatting van de som van de oppervlaktes van de gebieden onder de grafiek als hij boven de `t`-as ligt, minus de oppervlakte van het gebied boven de grafiek als hij onder de `t`-as ligt.
3. 1. De ondersom is ongeveer 9139.
   2. De bovensom is ongeveer 9934.
   3. De integraal zal in de buurt liggen van `(9934 + 9139)//2 ~~ 9536`.
      Zelfs als je in de applet op de math4allsite `n` zo groot mogelijk maakt blijft er verschil tussen ondersom en bovensom. Ze naderen elkaar heel langzaam.
   4. Je hebt nu uitgerekend hoeveel water er op een dag in het spaarbekken bij komt.
      Dat heeft kennelijk te maken met de oppervlakte van het gebied tussen de grafiek van de variabele stroom, met dien verstande dat als stroom negatief is ook het gebied als een aftrekpost geldt.
4. 1. Doen.
   2. Ondersom ongeveer 3,44 en bovensom ongeveer 5.78.
   3. De integraal wordt 4,6875.
5. 1. Ondersom is 20 en bovensom is 30.
   2. De integraal is ongeveer `(20 + 30)/2 = 25`.
   3. Ondersom is 22,5 en bovensom is 27,5. De schatting blijft 25.
   4. De integraal is gelijk aan de oppervlakte van de driehoek die het gebied voorstelt tussen de grafiek van `f` en de lijn `x = 5`. Deze oppervlakte is `1/2 * 5 * 10 = 25`.
6. 1. Doen.
   2. Doen.
   3. 1
   4. `2 + 1 = 3`
7. 1. Het voorwerp beweegt terug naar het beginpunt.
   2. Na 15 seconden is `15 * 20 = 300` meter afgelegd. In de volgende 20 seconden wordt 200 meter afgelegd. Na 35 seconden is het voorwerp 100 meter van het beginpunt verwijderd.
   3. De afgelegde afstand is gelijk aan de oppervlakte onder `v(t)`.
   4. Je hoeft niet met onder- en bovensom te werken. Deze oppervlakte kun je meetkundig berekenen door het gebied onder de grafiek te verdelen in rechthoeken en halve rechthoeken. Je vindt `237,5 + 100 = 337,5` m afgelegd en `237,5 - 100 = 137,5` m vanaf het beginpunt.
8. 1. Het aantal liter olie dat uit het vat is gestroomd.
   2. `5 * 1 + 1/2 * 5 * 1 = 7,5` liter.
   3. De ondersom is ongeveer `7,5 + 2,5 * 0,6 + 2,5 * 0,25 + 2,5 * 0,1 + 2,5 * 0 = 9,875` liter.
      De bovensom is ongeveer `7,5 + 2,5 * 1 + 2,5 * 0,6 + 2,5 * 0,25 + 2,5 * 0,1 = 12,375` liter.
      Er is dus ongeveer `9,875 + 12,375 = 11,125 ~~ 11` liter uit het vat gestroomd.
   4. Dit gebeurt binnen de eerste vijf minuten waarin het uitsromen lineair gaat. Voor die periode is de uistroomsnelheid `v(t) = 2 - 0,2t`
      De oppervlakte onder de grafiek van `0` tot `t` moet dan 4 liter zijn, dus: `t * (2 - 0,2t) + 1/2 * t * (2 - (2 - 0,2t)) = 2t - 0,1t^2 = 4`.
      Dit geeft `t ~~ 2,25` minuten.
9. 1. $\underset{¯}{S}=2\sqrt{1}+2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{7}\approx \mathrm{15,2277}$ en $\overline{S}=2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+2\sqrt{7}+2\sqrt{9}\approx \mathrm{19,2277}$.
   2. De schatting is het gemiddelde van de ondersom en de bovensom, dus ongeveer 17,2.
   3. $\underset{¯}{S}=\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}\approx \mathrm{16,3060}$ en $\overline{S}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}+\sqrt{8}+\sqrt{9}\approx \mathrm{18,3060}$.
   4. De schatting wordt nu ongeveer 17,3.
   5. `bar(S) = sum_(k=1)^(100) 0,08(1 + 0,08n) ~~ 17,25` en `ul(S) = sum_(k=0)^(99) 0,08(1 + 0,08n) ~~ 17,41`.
10. 1. 13,5
    2. 63
    3. `-1`
    4. 4
    5. `~~ 1,4427`
    6. `~~ 2,6667`
11. 1. $-\underset{2}{\overset{6}{\int }}\left(x^2-8x\right)\text{d}x=58\frac{2}{3}$
    2. $-\underset{6}{\overset{8}{\int }}\left(x^2-8x\right)\text{d}x+\underset{8}{\overset{10}{\int }}\left(x^2-8x\right)\text{d}x=18\frac{2}{3}$
12. 1. Doen. Je kunt alle verschillen op elkaar stapelen tot één rechthoek.
    2. `(b - a)/4 * f(b) - (b - a)/4 * f(a)`
    3. `(b - a)/10 * f(b) - (b - a)/10 * f(a)`, `(b - a)/n * f(b) - (b - a)/n * f(a)`
    4. `(0,5pi - 0)/n * sin(0,5pi) - (0,5pi - 0)/n * sin(0) = (0,5pi)/n < 0,0001` geeft `n > 5000pi`.
13. 1. De ondersom is `-12 + -5 + 0 + 3 + 3 + 0 + -5 + -12 = -28`.
       De bovensom is `-5 + 0 + 3 + 4 + 4 + 3 + 0 + -5 = 4`.
    2. `int_(-4)^(4) 4 - x^2 text(d)x = 10 2/3` en dat getal ligt tussen de in a gevonden ondersom en bovensom.
    3. Die oppervlakte is `2 * int_(2)^(4) -4 + x^2 text(d)x + int_(-2)^(2) 4 - x^2 text(d)x = 32`.
14. 1. Ondersom is 2,25 en bovensom is 6,25.
    2. $\underset{¯}{S}=\frac{2}{n}\left(0+{\left(\frac{2}{n}\right)}^3+{\left(2\cdot \frac{2}{n}\right)}^3+\dots +{\left((n-1)\cdot \frac{2}{n}\right)}^3\right)=\sum _{k=o}^{n-1}\frac{2\cdot 2^3{k}^3}{n^4}=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{16k^3}{n^4}$
    3. Ongeveer 3,99.
    4. $\frac{2}{n}\left(2^3-0^3\right)=\frac{16}{n}$
    5. `16/n < 0,0005` geeft `n > 32000`.