Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. `f'(x) = x/(sqrt(x^2 + 1))`
    2. `f'(x) = 4 sqrt(x^2 + 1) + (4x^2)/(sqrt(x^2 + 1))`
    3. `f'(x) = (-4x^2 + 4)/((x^2 + 1)^2)`
    4. `f'(x) = 1/4 - 1/(4x^2)`
    5. `f'(x) = 4/((x^2 + 1)sqrt(x^2 + 1))`
    1. `p'(t) = (13 V'(t))/((V(t))^2)`, dus voor `t=2` geldt: `2 = (13 V'(2))/(3^2)`.
      Dit betekent `V'(2) = -18/13`.
    2. Omdat `p'(t) = 2` is `p(t) = 2t + c` waarin `c` een constante is.
      Uit `p(0) = 1` volgt `c = 1` en daarom is `p(t) = 2t + 1` een passend functievoorschrift.
    1. `f'(x) = (-15x^2 + 540)/((x^2 + 36)^2) = 0` geeft `x = +-6`.
      Met behulp van een tekenschema van `f'` of de grafiek van f vind je: min.`f(-6) = -1,25` en max.`f(6) = 1,25`.
    2. `f(-x )= (-15x)/((-x)^2 + 36) = (-15x)/(x^2 + 36) = -(x)`, dus de grafiek is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong `O`.
    3. `f(3) = 1` en `f'(3) = 0,2`, dus de raaklijn heeft de vergelijking `y = 0,2x + 0,4` en `A = (0;0,4)`.
    4. `b = 36/a` invullen in `f(b)` en laten zien dat daar dan `f(a)` uit komt.
    1. `f'(x) = -1 + 1/(3 root[3](x^2)) = 0` geeft `x = +-sqrt(1/27)`.
      Je vindt min.`f(-0,19) ~~ -0,38` en max.`f(0,19) ~~ 0,38`.
    2. Voor `x = 0` is `f` niet diferentieerbaar. De verticale raaklijn in `(0,0)` aan de grafiek van `f` heeft vergelijking `x = 0`.
    3. `P = (p,-p + root[3](p))` en `f'(p) = -1 + 1/(3 root[3](p^2))` geeft raaklijn `y = (-1 + 1/(3 root[3](p^2)))x + 2/3 root[3](p)`.
      Deze raaklijn gaat door `(0,1)` als `2/3 root[3](x) = 1` en dus als `p = (1 1/2)^3` = 3,375.
      De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is `f'(3,375) = -23/27`.
    1. Om na te gaan dat er geen sprongen in de grafiek zitten, vul je zowel `x = -2` als `x = 2` bij beide functievoorschriften in en ga je na of daar bij beide hetzelfde uit komt. Dat blijkt zo te zijn.
      Om na te gaan dat er geen knikken in de grafiek zitten, vul je zowel `x = -2` als `x = 2` bij beide afgeleiden in en ga je na of daar bij beide hetzelfde uit komt. Bij `x = 2` en bij `x = -2` klopt dat niet.
      Er zitten dus knikken in de grafiek en hij is daarom bij zowel `x=-2` als `x=2` niet differentieerbaar.
    2. Bij `x=-2` moet: `-3 = -8a - 2b` en `0,5 = 12a + b`.
      Bij `x=2` moet: `3 = 8a + 2b` en `0,5 = 12a + b`.
      Hieruit volgt `b = 0,5 - 12a` en dus `3 = 8a + 2(0,5 - 12a)` zodat `a = -0,125` en `b = -1`.
    1. `t = (AK)/(v_s) + (KB)/(v_z)`
    2. `t(x) = (sqrt(x^2 + 50^2))/6 + (sqrt((100 - x)^2 + 20^2))/(1,5)`
    3. `t'(x) = (x)/(6 sqrt(x^2 + 2500)) + (-200 + 2x)/(3 sqrt(10400 - 200x + x^2)) = 0`.
      Deze vergelijking is alleen met de grafische rekenmachine op te lossen: `x ~~ 95,6` m.
      De bijbehorende minimale tijd is ongeveer 31,6 seconden.
    4. Met het voorgaande antwoord bereken je de afstanden `AK` en `BK`. `AK ~~ 107,89` m en `BK ~~ 20,48` m. De totale afstand is dus ongeveer `128,37` m.
  7. Eerst alle eenheden gelijk maken: als `v` in m/s, dan is `R = 3/4 * ((3,6v)/(10))^2 = 0,0972v^2`.
    Noem het aantal auto's per minuut `A`.
    Bij elke auto hoort een totale lengte van `4 + R = 4 + 0,0972v^2` m.
    Daarvoor is een tijd nodig van `t = (4 + 0,972v^2)/v` s.
    Per minuut kunnen er dus `A(v) = (3600v)/(4 + 0,972v^2)` auto's doorstromen.
    `A(v)` wil je maximaliseren. `A'(v) = (14400 - 349,92v^2)/((4 + 0,0972v^2)^2) = 0` geeft `v ~~ 6,415` m/s.
    De optimale doorstroomsnelheid is dan ongeveer 23 km/h.
    1. Zie website.
    2. `L(x) = sqrt(4 + x^2) + sqrt(26 - 10x + x^2)` en `L'(x) = x/(sqrt(4 + x^2)) + (-5 + x)/(sqrt(26 - 10x + x^2))`.
      `L'(x) = 0` geeft na kwadrateren `x^2(26 - 10x + x^2) = (4 + x^2)(x^2 - 10x + 25)` en dan `3x^2 - 40x + 100 = 0`. Dit levert op `x = (40 +- sqrt(400))/6` en dus `x = 10 vv x 3 1/3`.
      `L` is mnimaal als `x = 3 1/3` dm.
    3. Gebruik de gelijkvormigheid.
    1. `d_W = 1/2 * 3 = 1 1/2` en `d_T = 3/13 * 1 1/2 + 10/13 * 5 ~~ 4,2` (cm)
    2. `d_T = h/(h + 10) * 1/2 h + h/(h + 10) * 5` herschrijven naar de juiste vorm.
    3. `(h^2+100)/(2h+20) = 4,5` geeft `h ~~ 1,3 vv h ~~ 7,7`.
      `d_T < 4,5` voor `1,3 < h < 7,7`.
    4. `d_T'(h) = (2h^2 + 40h - 200)/((2h + 20)^2) = 0` geeft `h = -10 +- sqrt(200)`.
      `d_T` is minimaal als `h = -10 + sqrt(200)`.
    1. `A = (-2/m,-2)`, `B = (4,4m)` en `S = (4,-2)`.
      `AS = 2/m + 4` en `BS = 4m + 2` geeft `AB = sqrt((2/m + 4)^2 + (4m + 2)^2)`.
    2. De H25 is de `x`-as en de V18 is de `y`-as. De bedoelde weg door `P` is lijnstuk `AB` met `A` op de `x`-as en `B` op de `y`-as.
      `P = (7,4), Q = (7,0)` en `R = (0,4)`. Neem `QA = x`, dan is `RB = 28/x` (gelijkvormigheid).
      `AB = sqrt((x + 7)^2 + (28/x + 4)^2)`.
      Het minimum is 15,360 km (of 15360 m). Je mag dit berekenen met de grafische rekenmachine.
    1. `y'(x) = r - 2(0,1 + 0,1r^2)x`, dus `y'(0) = r`.
    2. `rx - (0,1 + 0,1r^2)x^2 = 0` geeft `x = 0 vv (0,1 + 0,1r^2)x = r`.
      `(0,1 + 0,1r^2)x = r` geeft `(1 + r^2)x = 10r`, etc.
    3. `OD'(r) = (10 - 10r^2)/((1 + r^2)^2) = 0` geeft `r = +-1`.
      `OD` in minimaal voor `r = 1`.
    4. `x_C` is maximaal voor `r ~~ 2,41`. Dus de maximale lengte van `OC` is `2,42 * sqrt(2) ~~ 3,41`.