Toepassingen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Het blik is zuiver cilindervormig en het materiaal is overal even dik zodat de hoeveelheid materiaal alleen wordt bepaald door de oppervlakte ervan.
    2. Oppervlakte van twee cirkels (bovenkant en onderkant) met straal `r` en één rechthoek (de cilindermantel) met hoogte `h` en breedte `2pi r`.
    3. -
    4. `A'(r) = (-2000)/(r^2) + 4pi r = 0` geeft `r^3 = (2000)/(4pi)` en dus `r ~~ 5,42`.
    1. -
    2. Het blauwe streepjeslijntje is `A(x)`. Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `x - 1` en `A(x)` gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden `x` en `sqrt(2,5^2 - x^2)`. Daaruit volgt: `(x - 1)/x = (A(x))/(sqrt(2,5^2 - x^2))`.
    3. `A(x) = (1 - 1/x)sqrt(2,5^2 - x^2)` geeft `A'(x) = 1/(x^2) * sqrt(2,5^2 - x^2) + (1 - 1/x) * (-x)/(sqrt(2,5^2 - x^2))`.
      `A'(x) = 0` levert op `(sqrt(2,5^2 - x^2))/(x^2) = (x - 1)/(sqrt(2,5^2 - x^2))` en dus `x^3 - x^2 = 2,5^2 - x^2` en `x^3 = 6,25` zodat `x = root[3](6,25) ~~ 1,84`.
      Ga na dat er inderdaad van een maximum sprake is.
    1. -
    2. Zie Voorbeeld 2.
    3. Omdat `T(x) = t(30 - x + 1,5sqrt(x^2 + 100)) = t * A(x)` (en `t > 0`) is `T` minimaal als `A` dat is.
      `A'(x) = -1 + (1,5x)/(sqrt(x^2 + 100)) = 0` geeft `sqrt(x^2 + 100) = 1,5x` en na kwadrateren `1,25x^2 = 100`.
      Dit betekent dat `A` (en dus `T`) minimaal is als `x = sqrt(80) ~~ 8,94` m.
      Het antwoord op de in het voorbeeld gestelde vraag is dat er `21,06` m langs de wegkant moet worden gegraven en vandaar rechtsreeks door de tuin naar het woonhuis.
    1. -
    2. -
    3. -
    4. `f'(x) = 1 - 1/(x^2)` en dan `x = a` invullen.
    5. `y = (1 - 1/(a^2))x + b` door `A(a,a + 1/a)` geeft `y = (1 - 1/(a^2))x + 2/a`.
    6. `(2,1)` invullen: `1 = 2 - 2/(a^2) + 2/a`. Deze vergelijking moet je dan verder oplossen. Ga na dat je dezelfde waarden van `a` vindt.
  5. De lengte van `AB` is `L(p) = sqrt(p) - p^2`.
    `L'(p) = 1/(2sqrt(p)) - 2p = 0` geeft `4p sqrt(p) = 1` en dus `p^3 = 1/(16)`.
    De lengte van `AB` is maximaal als `p = root[3](1/16) ~~ 0,40`.
    1. -
    2. -
    3. `A(x) = (x - 2)(100/x - 3)`
    4. `A'(x) = -3 + (200)/(x^2) = 0` geeft `x^2 = 200/3` en dus `x ~~ 8,2` dm.
    5. De poster moet ongeveer 8,2 bij 12,2 dm worden.
  7. `Delta ABC` is gelijkvormig met `Delta ADE`, dus `x/(x+1) = 3/(DE)` zodat `DE = (3x + 3)/x = 3 + 3/x`.
    De lengte van de ladder is `L(x) = sqrt((x + 1)^2 + (3 + 3/x)^2)`.
    Met behulp van differentiëren bepaal je nu het minimum van `l(x) = (x + 1)^2 + (3 + 3/x)^2`.
    Je vindt een minimale lengte van 7,56 m.
  8. Noem de basis van de gelijkbenige driehoek `x`, dan zijn de benen elk `10 - 1/2 x`.
    De oppervlakte is dan `A(x) = 1/2 x sqrt((10 - 1/2 x)^2 - (1/2 x)^2) = 1/2 x sqrt(100 - 10x)`.
    `A'(x) = 1/2 sqrt(100 - 10x) - (2,5x)/(sqrt(100 - 10x)) = 0` geeft `100 - 10x = 5x` en dus `x = 6 2/3`.
    De zijden zijn dus alle drie `6 2/3` cm.
    1. `f'(x) = (-200x^5 + 1600x^3 + 20000x)/((x^4 + 100)^2) = 0` geeft `x(x^4 - 8x^2 - 100) = 0` en dus `x = 0 vv x^2 = (8 + sqrt(464))/2`.
      Dit levert drie uitkomsten op: `x = 0 vv x ~~ +-3,84` Met behulp van de grafiek van `f` vind je: min.`f(0) = -4` en `max.`f(-3,8) = f(3,8) ~~ 3,4`.
    2. `f(x) = (1)/(f(x))` levert op `(f(x))^2 = 1` en dus `f(x) = +-1`.
      `f(x) = 1` geeft `x^4 - 100x^2 + 500 = 0` en dus `x^2 = (100 +- sqrt(8000))/2` zodat `x ~~ +-9,73 vv x ~~ +-2,30`.
      `f(x) = -1` geeft `x^4 + 100x^2 - 300 = 0` en dus `x^2 = (-100 +- sqrt(11200))/2` zodat `x ~~ +-1,71`.
      Oplossing ongelijkheid: `x < -9,73 vv -2,30 < x < -2 vv -1,71 < x < 1,71 vv 2 < x < 2,30 vv x > 9,73`.
    3. Dit betekent dat in het raakpunt `(a,f(a))` moet gelden: `(f(a))/a = f'(a)`.
      Dus `(100a^2 - 400)/(a(a^4 + 100)) = (-200a^5 + 1600a^3 + 20000a)/((a^4 + 100)^2)` zodat `(100a^2 - 400)(a^4 + 100)) = a(-200a^5 + 1600a^3 + 20000a)`. Dit geeft: `300a^6 - 2000a^4 - 10000a^2 - 40000 = 0`.
      Zo'n vergelijking kun je alleen met de grafische rekenmachine oplossen. Je vindt dan `a ~~ +-3,30`.
    1. `f_4(x) = (x^2 + 4x + 4)/(x + 3) = 0` geeft `x^2 + 4x + 4 = 0` en dus `x = -2`. Nulpunt `(-2,0)`.
      `f_(4)'(x) = (x^2 + 6x + 8)/((x + 3)^2) = 0` geeft `x^2 + 6x + 8 = 0` en dus `x = -2 vv x = -4`. Extremen max.`f(-4) = -4` en min.`f(-2) = 0`.
    2. Als ook de teller `x^2 + px + 4` een factor `x + 3` heeft kun je die wegdelen (als `x != -3`).
      Omdat `x^2 + 4 1/3 x + 4 = x^2 + 3x + 4/3 x + 3 * 4/3 = (x + 4/3)(x + 3)` is dit het geval als `p = 3 + 4/3 = 4 1/3`.
    3. Als `x^2 + px + 4 = 0` geen oplossingen heeft of alleen `x = -3` als oplossing heeft.
      Dit is het geval als `D = p^2 - 4 * 1 * 4 = p^2 - 16 < 0`. Dit betekent `-4 < p < 4`.
      Er is maar één oplossing als `p = +-4` en dan is dat niet `x = -3`, dus deze mogelijkheid vervalt.
    4. `f_(p)'(x) = (x^2 + 6x + 3p - 4)/((x + 3)^2) = 0` heeft geen oplossingen als `x^2 + 6x + 3p - 4 = 0` geen oplossingen heeft of alleen `x = -3` als oplossing heeft.
      Dit is het geval als `D = 36 - 4(3p - 4) < 0` en dus als `p > 5/3`.
      Er is maar één oplossing als `p = 5/3` en dan is dat niet `x = -3`, dus deze mogelijkheid vervalt.
    5. `f_(p)'(0) = (3p - 4)/9` en `f_(p)(0) = 4/3`, dus de raaklijn is `y = (1/3 p - 4/9)x + 4/3`.
      Deze raaklijn gaat door `(9,1/3)` als `1/3 = 3p - 4 + 4/3`, dus als `p = 1`.
    1. De lengte van `OP` is `L(p) = sqrt(p^2 + (4 - p^2)^2) = sqrt(p^4 - 7p^2 + 16)`.
      `L(p)` is minimaal als `l(p) = p^4 - 7p^2 + 16` dat is.
      `l'(p) = 4p^3 - 14p = 0` als `p = 0 vv p = +-sqrt(3,5)`.
      De minimale lengte van lijnstuk `OP` is `L(+-sqrt(3,5)) = sqrt(3,75)`.
    2. De oppervlakte van rechthoek `APQB` is `A(p) = 2p(4 - p^2) = 8p - 2p^3`.
      `A'(p) = 8 - 6p^2 = 0` als `p = +-sqrt(4/3)`.
      De maximale oppervlakte is `5 1/3 sqrt(4/3)`.
    3. De cirkel raakt de grafiek van `f` (een bergparabool) als de staal naar het raakpunt loodrecht staat op de raaklijn aan de parabool in dat punt. Raaklijn in `P` heeft richtingscoëfficiënt `f'(p) = -2p` en een lijn daar loodrecht op heeft richtingscoëfficiënt `1/(2p)`. Straal naar `P` heeft richtingscoëfficiënt `(4 - p^2)/p`. De straal staat loodrecht op de raaklijn als `(4 - p^2)/p = 1/(2p)`. Dit geeft `p = +-sqrt(3,5)`. De raakpunten zijn dus `(+-sqrt(3,5);0,5)`.
      De gevraagde straal is `sqrt((^sqrt(3,5))^2 + 0,5) = sqrt(3,75)`.
  12. Zie figuur: van `a(x)` is het maximum te berekenen.
    Doe de stelling van Pythagoras in `Delta ARB`: `(a + x)^2 + (2,5 - x)^2 = 2,5^2`.
    Dit levert op `a(x) = -x + sqrt(5x - x^2)`.
    `a'(x) = -1 + (5 - 2x)/(2 sqrt(5x - x^2)) = 0` geeft `x = (5 +- sqrt(5))/2`.
    `a` is maximaal als `x = (5 - sqrt(5))/2 ~~ 1,38` en `a(1,38) ~~ 0,85` m.
    1. `f'(x) = 4(x^2 - x)^3(2x - 1) = 0` geeft `x = 0 vv x = 1 vv x = 1/2`.
      Je vindt min.`f(0) = f(1) = 0` en max.`f(1/2) = 1/256`.
    2. De oppervlakte van de beschreven driehoek is `A(k) = 1/2 k(k^2 - k)^4`.
      `A'(k) = 1/2(k^2 - k)^4 + 2k(k^2 - k)^3(2k - 1) = 1/2(k^2 - k)^3(9k^2 - 5k) = 0` geeft `k = 0 vv k = 1 vv k = 5/9`.
      De bedoelde oppervlakte is maximaal als `k = 5/9`.