Differentieerbaarheid

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Dit betekent dat er geen hellingswaarde bestaat voor `x=0`.
   2. Voor `x=3`.
   3. `x=3`
2. 1. `-1`
   2. `1`
   3. De hellingswaarden links en rechts van 0 verschillen van elkaar, voor `x=0` heeft de helling geen eenduidige waarde.
   4. Voor `x < 0` is `f(x) = -x^3` en `f'(x) = -3x^2`.
      Voor `x > 0` is `f(x) = x^3` en `f'(x) = 3x^2`.
      Zowel links van `x=0` als rechts van `x=0` nadert `f'` het getal 0 naarmate je dichter bij `x=0` komt.
3. 1. Beide functies hebben geen hellingswaarde voor `x=2`.
   2. Omdat `f(2) = 0` heeft `f` een functiewaarde voor `x=2`, namelijk `f(2) = 0`. De raaklijn aan `f` heeft daar de vergelijking `x=2`.
      Echter `g(2)` bestaat niet. De grafiek van `g` heeft een verticale asymptoot `x=2`, geen raaklijn.
4. 1. `root[3](x^2) = 2` geeft `x^2 = 8` en dus `x = +-sqrt(8)`.
   2. `text(D)_(f) = RR` en `text(B)_(f) = [0,rarr:)`
   3. `f'(x) = 2/3 x^(-1/3) = 2/(3 root[3](x))`
   4. A.
   5. `f(x) = 1` geeft `x = +-1`.
      `f'(-1) = -2/3` en de raaklijn voor `x = -1` is `y = -2/3x + 1/3`.
      `f'(1) = 2/3` en de raaklijn voor `x = 1` is `y = 2/3x + 1/3`.
      Het snijpunt van beide raaklijnen is `(0,1/3)`.
5. 1. `x=0` en `x=4`.
   2. Alleen `x=0`.
6. 1. B is het beste antwoord, hoewel A en C ook wel correct zijn.
   2. A is het beste antwoord, hoewel C ook wel correct is.
7. 1. `x = 0` en `x = 4`.
   2. `x = -3` en `x = 3`.
   3. `x = -2` en `x = 0`.
   4. `x = 5`
8. 1. `f'(x) = -2 + 2/(root[3](x))` bestaat niet als `x = 0`.
   2. `f'(x) = 0` geeft `x = 1`.
      Met behulp van de grafiek van `f` vind je: min.`f(0) = 0` en `max.`f(1) = 1`.
   3. `f(k) = -2k + 3root[3](k^2)` en `f'(k) = -2 + 2/(root[3](k))`.
      Raaklijn voor `x = k` is `y = (-2 + 2/(root[3](k)))x + root[3](k^2)`.
      De snijpunten met de assen zijn `(0,root[3](k^2))` en `((-k)/(2 - 2 root[3](k)),0)`.
      Dus moet `((-k)/(2 - 2 root[3](k)) = +-root[3](k^2)`.
      Dit geeft `k = 0 vv k = 8 vv k = 8/27` (`k = 0` vervalt).
9. Als `x < -4`, dan is `f(x) = -x^2(x + 4) = -x^3 - 4x^2` en `f'(x) = -3x^2 - 8x`.
   Als `x >= -4`, dan is `f(x) = x^2(x + 4) = x^3 + 4x^2` en `f'(x) = 3x^2 + 8x`.
   De twee richtingscoëfficiënten zijn daarom `16` en `-16`.
10. 1. Als `x < 1`, dan is `f(x) = 4 - x^2` en `f'(x) = -2x`.
       Als `x >= 1`, dan is `f(x) = x^2 - 4x + 6` en `f'(x) = 2x - 4`.
       In beide gevallen is `f'(1) = -2`.
    2. `a = -2` en `b = 4`.
11. 1. `x = 2`
    2. `x = -2 vv x = 2`
12. 1. `f(x) = 0` geeft `x = 0 vv x = 4`.
       Nulpunten: `(0,0)` en `(4,0)`.
    2. `text(D)_(f) = (:larr,4]`
    3. `f'(x) = (8 - 3x^3)/(4 sqrt(4x^2 - x^3))`
    4. `x = 0` en `x = 4`
    5. De lijn `y = kx` snijdt de grafiek van `f` altijd in `(0,0)`. De raaklijnen in dat punt aan de grafiek van `f` zijn te vinden uit:
       Als `x rarr 0` en `x > 0`, dan `f'(x) rarr 1`.
       Als `x rarr 0` en `x < 0`, dan `f'(x) rarr -1`.
       Omdat het alleen om positieve waarden van `k` gaat is `0 < k < 1` (zie grafiek).