De quotiëntregel

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. `t(x) = x` en `n(x) = x - 2`
   2. `f(x) = x * (x - 2)^(-1)` geeft `f'(x) = 1 * (x - 2)^(-1) + x * -1(x - 2)^(-2) * 1 = 1/(x - 2) - x/((x - 2)^2)`.
2. 1. `f'(x) = (1 * (x - 2) - 1 * x)/((x - 2)^2) = (-2)/((x - 2)^2)`
   2. Maak bij de versie van opgave 1 de breuken gelijknamig en tel ze op.
3. 1. `f'(x) = (1 * x - 1 * (x + 1))/(x^2) = (-1)/(x^2)`
   2. `f(x) = 1 + 1/x = 1 + x^(-1)` geeft `f'(x) = -1x^(-2) = (-1)/(x^2)`.
      Als je handig bent met machten gaat de tweede manier bijna uit het hoofd!
4. 1. `f'(x) = ((2x + 1) * 6x - (3x^2 - 4) * 2)/((2x + 1)^2) = (6x^2 + 6x + 8)/((2x + 1)^2)`
   2. `f'(x) = (-8)/((x - 2)^2)`
   3. `f'(x) = ((4 + x^2)^(1/2) * 3 - (3x - 1) * 1/2(4 + x^2)^(-1/2) * 2x)/(4 + x^2) = (3(4 + x^2) - x(3x - 1))/((4 + x^2)^(1 1/2)) = (12 + x)/((4 + x^2)sqrt(4 + x^2))`
   4. Schrijf eerst `f(x) = ((x + 1)(x - 1))/(x + 1) = x - 1` (als `x != -1`).
      Dan is `f'(x) = 1` (als `x != -1`).
5. 1. `f'(x) = (3x^2 - x^6)/((1 + x^4)^2) = 0` geeft ` x = 0 vv x = +-root[4](3) ~~ +-1,32`.
      Je vindt max.`f(1,32) ~~ 0,57` en min.`f(-1,32) ~~ -0,57`.
   2. `f'(2) = -52/289` en de raaklijn wordt `y = -52/289 x + 240/289`.
6. 1. `f'(x) = (-x^2 - 2x + 16)/((x^2 - 16x)^2)`
   2. `y'(x) = (-2x + 4)/((x^2 - 4x + 5)^2)`
   3. `H'(t) = (-3t - 48)/(3t sqrt(2t + 6))`
   4. `(text(d)GTK)/(text(d)q) = 4q - 10 - 120/(q^2)`
   5. `f'(x) = (-2x^2 - 20)/((x^2 - 10)^2)`
   6. `y'(x) = (-24x)/((1 - 3x^2)^2)`
   7. `A'(r) = (4r + 16)/((4r + 8)sqrt(4r + 8))`
   8. `GO'(p) = 200 - 2000/(p^2)`
7. 1. `f'(x) = (`-8x^2 - 24x + 32)/((x^2 + 4)^2) = 0` geeft `x = -4 vv x = 1`.
      Met behulp van de grafiek vind je: min.`f(-4) = -1` en max.`f(1) = 4`.
   2. `f(x) = 3/2` geeft `x = - 2/3 vv x = 6`. Met de grafiek vind je: `x < - 2/3 vv x > 6`.
   3. Lijn door `A(-1,5;0)` en `B(0,3)` is `y = 2x + 3`. Deze lijn kan de grafiek alleen raken in `A` of `B`. Nu is `f'(-1,5) != 2` en `f'(0) = 2`. Dus raakt lijn `AB` de grafiek in `B`.
8. 1. Stel de breedte is `x` cm, dan is de lengte `4x` cm. En dan is `4x^2h = 1000` dus `h = 250/(x^2)`.
      Hieruit volgt voor de lengte `L` van het lint: `L(x) = 10x + 1000/(x^2)`.
   2. `L'(x) = 10 - 2000/(x^3) = 0` geeft `x^3 = 200` en dus `x ~~ 5,8` cm.
      Met behulp van de grafiek van `L` of een tekenschema van `L'` zie je dat `L` een minimum heeft voor `x ~~ 5,8`. De afmetingen van het doosje zijn dan: `5,8 xx 23,4 xx 7,3` (in cm).
9. 1. -
   2. `f'(x) = 0` als `x = -3 vv x = 6`. Met behulp van de grafiek vind je: min.`f(6) = 8,75`.
   3. `f'(x)` wisselt voor `x = -3` niet van teken.
10. 1. `P(R) = (144R)/((R + 12)^2)`
    2. `P'(R) = (-144R + 1728)/((R + 12)^3) = 0` geeft `R = 12` ohm.
       Het maximaal ontwikkelde vermogen is `P(12) = 3` watt.
11. 1. `f'(x) = 7/((1 - x)^2)`
    2. `g'(x) = (0,5 - 2,5x^3)/((1 + x^3)^2 sqrt(x))`
    3. `H'(t) = 1/((t + 1)^2)`
    4. `y'(x) = (-4x^5 + 4x^3 -8x)/((1 + x^2)^5)`
12. 1. `f(x) = (-10x^2 + 80x - 100)/((x^2 - 10)^2) = 0` geeft `x ~~ 1,55 vv x ~~ 6,45`.
       Met behulp van de grafiek vind je: min.`f(1,55) ~~ 3,22` en max.`f(6,45) ~~ 0,78`.
    2. In `P` is `f'(0) = -1`, de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in P is `y = -x + 4`.
13. 1. `f(x) = (10 - 5x^2)/((0,5x^2 + 1)^2) = 0` geeft `x = +-sqrt(2)`.
       Met behulp van de grafiek vind je: min.`f(-sqrt(2)) = -5sqrt(2)` en max.`f(sqrt(2)) = 5sqrt(2)`.
    2. `f''(x) = (5x^3 - 30x)/((0,5x^2 + 1)^3)`
    3. `f''(x) = 0` geeft `x = 0 vv x = +-sqrt(6)`.
       De buigpunten zijn `(0,0), (sqrt(6); 2,5sqrt(6))` en `(-sqrt(6); -2,5sqrt(6))`.