De productregel

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. B
   2. `P'(t) = f(t) * g'(t) + f'(t) * g(t)`
   3. `f(t) = t^2` geeft `f'(t) = 2t`.
      `g(t) = t^4` geeft `g'(t) = 4t^3`.
      `P'(t) = t^2 * 4t^3 + 2t * t^4 = 6t^5`. Ga na, dat dit inderdaad de afgeleide is van `P(t) = t^2 * t^4 = t^6`.
2. 1. `u(x) = x^2` en `v(x) = x^3 - 4x`
   2. `f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) = 2x * (x^3 - 4x) + x^2 * (3x^2 - 4) = 5x^4 - 12x^2`
   3. `f(x) = x^5 - 4x^3` geeft ook `f'(x) = 5x^4 - 4x^3`.
3. 1. `u'(x) = 2x + 3`
   2. `v(x) = 3(x^2 + 10)^2 * 2x = 6x(x^2 + 10)^2`
   3. `f'(x) = (2x + 3)(x^2 + 10)^3 + 6x(x^2 + 3x)(x^2 + 10)^2`
4. 1. `f(x) = 2x * sqrt(4 - x^2) + (x^2 - 1) * (-x)/(sqrt(4 - x^2)) = 2x sqrt(4 - x^2) - (x^3 - x)/(sqrt(4 - x^2))`
   2. `f'(x) = 0` geeft `2x sqrt(4 - x^2) = (x^3 - x)/(sqrt(4 - x^2))` en dus `2x(4 - x^2) = x^3 - x` ofwel `3x^3 - 9x = 3x(x^2 - 3) = 0`.
      Je vindt daarom extremen bij `x = 0 vv x = +-sqrt(3)` (bekijk ook de grafiek).
      De extremen zijn: max.`f(-sqrt(3)) = f(sqrt(3)) = 2` en min.`f(0) = -2`.
   3. `f'(1) = 2sqrt(3) = tan(alpha)` geeft `alpha ~~ 74^o`.
5. Het is niet elke keer nodig om de productregel te gebruiken. Soms kun je bijvoorbeeld gemakkelijk haakjes uitwerken. Bedenk zelf de beste strategie. Soms krijg je daarom een ander antwoord dan hieronder staat. Dat kan dan toch wel goed zijn.
   1. `f'(x) = 20x^4 - 20x^3 + 48x -30`
   2. `g'(x) = 5/(sqrt(x)) - 3/2 sqrt(x)`
   3. `R'(t) = 3(t + 5)^4 + 12t(t + 5)^3`
   4. `y'(x) = sqrt(5 + x^2) + (x^2)/(sqrt(5 + x^2))`
   5. `(text(d)y)/(text(d)x) = 1 - x/(sqrt(5 + x^2))`
   6. `V'(r) = 5/(r^2) * (20 - r)^2 + (100 - 5/r) * -2(20 - r) = (100/(r^2) - 200 + 5/r)(20 - r)`
6. 1. `(0,0)` en `(4,0)`.
   2. -
   3. `f'(x) = 0` geeft `x = 4 vv x = 0 vv x = 4/3`.
      Met behulp van de grafiek van `f` of een tekenschema van `f'` vind je min.`f(0) = 0`, max.`f(4/3) = 1438 (274)/(729)` en min.`f(4) = 0`.
   4. Lees af uit (een schets van) de grafiek: `0 < k < 1438 (274)/(729)`.
7. 1. `f'(x) = 6sqrt(x) * (1 - x^3) + 4x sqrt(x) * -3x^2 = 6sqrt(x)(1 - 3x^3) = 0` als `x = 0 vv x^3 = 1/3`.
      Er zijn twee waarden van `x` waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de `x`-as, namelijk `x = 0` en `x = root[3](1/3)`.
   2. Op de rand van het domein heeft deze functie een min.`f(0) = 0`. En verder is er een max.`f(root[3](1/3)) ~~ 0,23`.
8. 1. `(0,0)` en `(+-sqrt(8),0)`.
   2. `f'(x) = sqrt(8 - x^2) - (x^2)/(sqrt(8 - x^2)) = 0` geeft `x = +-2`.
      Je vindt min.`f(-2) = -4` en max.`f(2) = 4`. Dus `text(B)_(f) = [-4,4]`.
   3. `f'(0) = sqrt(8)`. Uit de grafiek lees je af: `0 <= p < sqrt(8)`.
9. 1. `f'(x) = 0,5x - 1,5sqrt(x) = 0` geeft `x = 0 vv x = 9`.
      Er is een max.`f(0) = 0` en een min.`f(9) = -6,75` dus (bekijk de grafiek) `text(B)_(f) = [-6,75; rarr:)`.
   2. `f''(x) = 0,5 - (0,75)/(sqrt(x)) = 0` geeft `x = 2,25`, dus het buigpunt is `(2,25;4,640625)`.
   3. `f'(x) = 2` geeft `3 sqrt(x) = x - 4` en dus `9x = x^2 - 8x + 16`.
      Dit levert op `x = 16` (want `x=1` voldoet niet) en als raakpunt `(16,0)`.
      Dit punt moet op de raaklijn liggen en dat kan alleen als `p = -32`.
10. 1. -
    2. `A'(x) = 6 + sqrt(9 - x^2) - (x^2)/(sqrt(9 - x^2)) = 0` geeft `6sqrt(9 - x^2) = 2x^2 - 9` en hieruit volgt `x^4 = 243/4`.
       De maximale vloeroppervlakte wordt bereikt als `x ~~ 2,79` m.
       De maximale vloeroppervlakte is daarom ongeveer `19,8` m².
11. 1. `f'(x) = 6(1 + x^2)^3 + 36x^2(1 + x^2)^2`
    2. `H'(t) = sqrt(1 - t^2) - (t^2)/(sqrt(1 - t^2))`
    3. `y'(x) = 2a(ax - 4)(6 - x)^3 - 3(ax - 4)^2(6 - x)^2`
    4. `g'(x) = 1/(2sqrt(1 + sqrt(x))) * 1/(2sqrt(x)) = 1/(4sqrt(x + xsqrt(x)))`
12. 1. `f(x) = 0` geeft `x(x - 4 sqrt(x) + 4) = 0` en dus `x = 0 vv 4sqrt(x) = x + 4`.
       Dit levert twee nulwaarden op, namelijk `x=0` en `x=4`.
    2. `f'(x) = 2x - 6sqrt(x) + 4 = 0` geeft `6sqrt(x) = 2x + 4` en dit levert op `x=1 vv x=4`.
       Je vindt een max.`f(1) = 1` en een min.`f(4) = 0`.
    3. `f''(x) = 2 - 3/(sqrt(x)) = 0` geeft `x = 2,25`.
       Het buigpunt wordt `(2,25 ; 0,5625)`.
    4. `f'(0) = 4` en dus is `l: y = 4x`.
       `m` heeft ook een richtingscoëfficiënt van 4, dus ga je `f'(x) = 4` oplossen: `2x - 6sqrt(x) = 0` geeft `x = 0 vv x = 9`. `m` raakt de grafiek van `f` in `(9,9)` en heeft dus als vergelijking `y = 4x - 27`.
       De vergelijking van `m` gaat door `(27/4,0)`, dus `a = 27/4`.
13. `f'(x) = 8x(x^2 - 100)^3` en dus is `f''(x) = 8(x^2 - 100)^3 + 48x^2(x^2 - 100)^2 = (x^2 - 100)^2(-40x^2 - 800)`.