De kettingregel

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Differentieerregels > De kettingregel > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Differentieerregels > De kettingregel > Uitleg

Lees in de Uitleg wat je verstaat onder een kettingfunctie of samengestelde functie.

Opgaven

Gegeven is de functie `h(x) = 3(x - 2)^2 - 2`.
1. Waarom is `f` een samengestelde functie? Waaraan herken je dat?
2. Ontleed `f(x)` in afzonderlijke schakels.
3. Welke invoerwaarden passen bij de functiewaarde 16?
4. Deze functie kun je differentiëren zonder eerst de haakjes uit te werken. Laat zien hoe.

Schrijf de volgende functievoorschriften als een ketting van afzonderlijke functies.
1. `y = sqrt(x^2 - 1)`
2. `y = 3x^3 + 1`
3. `y = (3x^2 + 2)^4`

Gegeven zijn de functies `f(x) = sqrt(x)` en `g(x) = x^2 + 2` met `x >= 0`.
1. Schrijf het functievoorschrift op van `h(x) = f(g(x))`.
2. Kun je `h` differentiëren met behulp van de differentieerregels die je nu kent?
3. Schrijf het functievoorschrift van `k(x) = g(f(x))` zo eenvoudig mogelijk. Kun je deze functie differentiëren met behulp van de differentieerregels die je nu kent?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-b > Differentiaal- en integraalrekening > Differentieerregels > De kettingregel > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

Gegeven is de functie `h(x) = (2x^2 + 1)^8`. In Voorbeeld 1 kun je zien hoe je zo'n functie differentieert zonder de haakjes uit te werken.
1. Deze functie heeft de vorm `h(x)=f(g(x))`. Schrijf de voorschriften van `f` en `g` op.
2. Laat zien dat `h'(x) = 32x(2x^2 + 1)^7`.

Gegeven zijn de functies `f(x) = x^4` en `g(x) = 2x^3 + 4x`.
1. Schrijf het functievoorschrift op van `h(x)=f(g(x))`.
2. Bepaal de afgeleide van `h`.
3. Schrijf het voorschrift op van de functie `k(x)=g(f(x))`.
4. Bepaal de afgeleide van `k`.

In de Theorie en in Voorbeeld 2 kun je zien hoe je een wortelfunctie differentieert. De machtsregel kun je in het algemeen gebruiken bij elke reële exponent, ook bij gebroken en/of negatieve exponenten. Differentieer de volgende functies. Schrijf de afgeleiden steeds weer zonder gebroken en/of negatieve exponenten.
1. `f(x) = 2 sqrt(x)`
2. `f(x) = x sqrt(x)`
3. `f(x) = root[3](x)`
4. `f(x) = 3/(sqrt(x))`

Hier zie je de grafiek van `f(x) = sqrt(25 - x^2)` zoals een grafische rekenmachine hem maakt. Hij lijkt op die in Voorbeeld 3.
1. Schrijf het domein en het bereik van `f` op. Waaraan zie je dat de grafiek niet helemaal compleet is?
2. Bepaal de afgeleide van `f`.
3. Hoe kun je met zekerheid concluderen dat deze functie een maximum voor `x=0` heeft?
  1. De grafische rekenmachine geeft dit aan.
  2. 5 is de grootste functiewaarde en die waarde zit bij `x=0`.
  3. `f'(x)=0` alleen als `x=0`.
  4. `f'(0)=0` en de afgeleide gaat alleen voor `x=0` over van positief naar negatief.
4. Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=3`.

Verwerken

Differentieer de volgende functies.
1. `f(x) = (x^2 - 100)^4`
2. `g(x) = -5 + (1 - x)^3`
3. `H(t) = 25(2 - 4t)^3`
4. `y(x) = 2p^2 x - (px + 3)^4`

Hier zie je de grafiek van de functie `f(x) = -(2x - 6)^3 + 4`.
1. De grafiek lijkt dalend voor elke waarde van `x` behalve `x=3`. Toon aan dat dit inderdaad het geval is.
2. De raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=2` snijdt de `x`-as in punt `P`. Bereken de coördinaten van `P`.

Bepaal van de volgende functies de afgeleide:
1. `y = root3(x^7)`
2. `f(x) = 1/x^3 + 4/x^2 - 3/x + 1`
3. `H(p) = (1 - sqrt(p))^3`
4. `g(x) = 2x - 5/(1 - x)`

Hier zie je de grafiek van de functie `f(x) = x + sqrt(8 - x^2)`.
1. Bepaal het domein van `f`.
2. Bereken algebraïsch het bereik van `f`.
3. Noem de randpunten van de grafiek van `f` respectievelijk `A` en `B`. Voor welke waarde van `x` is het hellingsgetal van de grafiek van `f` gelijk aan dat van lijn `AB`?

Vanuit punt moet een waterleiding gelegd worden naar punt. Langs de straat bedragen de kosten €30,00 per meter en door het veld €70,00 per meter. De lengte van `AB` is 600 meter en de lengte van `BC` is 500 meter. Er zijn verschillende mogelijkheden om de waterleiding aan te leggen:
- langs de straat tot aan punt `B` en vervolgens door het aangrenzende terrein naar punt `C`;
- direct vanuit `A` door het veld, in een rechte lijn naar `C`;
- of een van de vele tussenmogelijkheden: de leiding wordt dan voor een gedeelte langs de straat aangelegd, tot aan punt `D`, en vervolgens vanaf de straat naar punt `C`.
1. Hoeveel bedragen de kosten als je voor de eerste mogelijkheid kiest?
2. Hoeveel bedragen de kosten als je voor de tweede mogelijkheid kiest?
3. Bekijk de derde mogelijkheid. Neem voor de lengte van `BD` de variabele `x`. Druk nu de kosten voor de aanleg van deze waterleiding uit in `x`.
4. Hoe moet je de waterleiding aanleggen opdat de kosten minimaal zijn? Bereken de minimale kosten met behulp van de afgeleide.

Testen

Differentieer de volgende functies
1. `f(x) = 6(1 + x^2)^3`
2. `y(x) = (1 - 4x)^4 + 5`
3. `R(t) = sqrt((15/pi) t)`
4. `f(x) = sqrt(10 + 4x^2)`
5. `K(p) = 2/(p sqrt(p))`
6. `f(x) = x^3 + 2x - 3/(sqrt(x)) + 1/x^2`

Gegeven is de functie `f(x) = 2x - sqrt(x + 2)`.
1. Als je de grafiek van deze functie op je grafische rekenmachine bekijkt met de standaardinstellingen van het venster, lijkt het wel een rechte lijn te zijn. Wat is het domein van `f`?
2. Bepaal de afgeleide van `f`.
3. Bereken met behulp deze afgeleide het minimum van `f`.
4. Wat is het bereik van deze functie `f`?
5. Bereken de hoek waaronder de grafiek van `f` de `y`-as snijdt.