De kettingregel

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Het functievoorschrift is op te delen in afzonderlijke schakels. Je ziet dat aan het feit dat er maar op één plek een `x` in het voorschrift voor komt.
   2. `x rarr x - 2 rarr (x - 2)^2 rarr 3(x - 2)^2 rarr 3(x - 2)^2 - 2`
   3. Terugrekenen vanuit `3(x - 2)^2 - 2 = 16` geeft `x = -1 vv x = 5`.
2. 1. `x rarr x^2 rarr x^2 - 1 rarr sqrt(x^2 - 1)`
   2. `x rarr x^3 rarr 3x^3 rarr 3x^3 + 1`
   3. `x rarr x^2 rarr 3x^2 rarr 3x^2 + 2 rarr (3x^2 + 2)^4`
3. 1. `h(x) = sqrt(x^2 + 2)`
   2. Nee.
   3. `k(x) = x + 2`, met afgeleide `k'(x) = 1`.
4. 1. `f(u) = u^8` en `u = g(x) = 2x^2 + 1`.
   2. `f'(u) = 8u^7` en `g'(x) = 4x` geeft `h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = 8(g(x))^7 * 4x = 32x(2x^2 + 1)^7`.
5. 1. `h(x) = (2x^3 + 4x)^4`
   2. `h'(x) = 4(6x^2 + 4)(2x^3 + 4x)^3`
   3. `k(x) = 2x^(12) + 4x^4`
   4. `k'(x) = 24x^(11) + 16x^2`
6. 1. `f(x) = 2x^(1/2)`
      `f'(x) = 2 + 1/2 x^(-1/2) = 1/(sqrt(x))`
   2. `f(x) = x^(1 1/2)`
      `f'(x) = 1 1/2 x^(1/2) = 1 1/2 sqrt(x)`
   3. `f(x) = x^(1/3)`
      `f'(x) = 1/3 x^(-2/3) = 1/(3 root[3](x^2))`
   4. `f(x) = 3x^(-1/2)`
      `f'(x) = -3/2 x^(-1 1/2) = (-3)/(2x sqrt(x))`
7. 1. `text(D)_(f) = [-5,5]` en `text(B)_(f) = [0,5]`
      De grafiek komt niet tot op de `x`-as en dat zou wel moeten. (Is een beperking van de grafische rekenmachine.)
   2. `f'(x) = 1/2 (25 - x^2)^(-1/2) * (-2x) = (-x)/(sqrt(25 - x^2))`
   3. Alleen uitspraak D is goed.
   4. `f'(3) = -3/4` en `f(3) = 4` geeft voor de raaklijn `y = -3/4 x + 6 1/4`.
8. 1. `f'(x) = 8x(x^2 - 100)^3`
   2. `f'(x) = -3(1 - x)^2`
   3. `H'(t) = -300(2 - 4t)^2`
   4. `2p^2 - 4p(px + 3)^3`
9. 1. `f'(x) = -6(2x - 6)^2 < 0` voor elke waarde van `x` behalve `x = 2`.
   2. `f'(2) = -24` en `f(2) = 12`, dus `P = (0,60)`.
10. 1. `(text(d)y)/(text(d)x) = 7/3 x^(4/3) = 7/3 x root[3](x)`
    2. `f'(x) = (-3)/(x^4) - 8/(x^3) + 3/(x^2)`
    3. `H'(p) = - 3/(2 sqrt(p)) * (1 - sqrt(p))^3`
    4. `g'(x) = 2 - 5/((1 - x)^2)`
11. 1. `text(D)_(f) = [-sqrt(8),sqrt(8)]`
    2. Het minimum ligt op de rand van het domein: min.`f(-sqrt(8)) = -sqrt(8)`.
       Het maximum bepaal je met behulp van differentiëren. `f'(x) = 1 - x/(sqrt(8 - x^2)) = 0` geeft `sqrt(8 - x^2) = x` en na kwadrateren `x = 2` (`x = -2` vervalt). Je vindt: max.`f(2) = 4`. Het bereik wordt `text(B)_(f) = [-sqrt(8),4]`.
    3. `A = (-sqrt(8),-sqrt(8))` en `B = (sqrt(8),sqrt(8))`.
       De helling van lijn `AB` is gelijk aan 1.
       Je moet daarom oplossen `f'(x) = 1` en dat levert op `x = 0`.
12. 1. `600 * 30 + 500 * 70 = 53000` euro.
    2. `sqrt(600^2 + 500^2) * 70 ~~ 54671,75` euro.
    3. `K(x) = 30(600 - x) + 70 sqrt(500^2 + x^2)`
    4. De minimale kosten vind je met behulp van `K'(x) = -30 + (70x)/(sqrt(500^2 + x^2)) = 0`.
       Dit geeft `sqrt(500^2 + x^2) = 7/3 x` en na kwadrateren `(40)/9 x^2 = 250000`. Je vindt dan `x ~~ 237`.
       Je kunt dus het beste eerst 363 m langs de straat graven en daarna door het veld recht naar `C` graven.
13. 1. `f'(x) = 36x(1 + x^2)^2`
    2. `y'(x) = -16(1 - 4x)^3`
    3. `R'(t) = (7,5)/(pi sqrt((15)/(pi) t))`
    4. `f'(x) = (4x)/(sqrt(10 + 4x^2))`
    5. `K'(p) = (-3)/(p^2 sqrt(p))`
    6. `f'(x) = 3x^2 + 2 + 3/(2x sqrt(x)) - 2/(x^3)`
14. 1. `text(D)_(f) = [-2, rarr:)`
    2. `f'(x) = 2 - 1/(2 sqrt(x+2))`
    3. `f'(x) = 0` geeft `sqrt(x + 2) = 1/4` en dus `x = -1 1/2` (`x = -2 1/2` vervalt).
       Je vindt min.`f(-1 1/2) = -3 + 1/2 sqrt(2)`.
    4. `text(B)_(f) = [-3 + 1/2 sqrt(2), rarr:)`
    5. `f'(0) = 2 - 1/(2 sqrt(2)) ~~ 1,65 = tan(alpha)` en dus is `alpha ~~ 58,7^o`.