Differentieerregels

Inleiding

De afgeleide van een functie geeft de helling van de grafiek in een punt weer. Het is ook een maat voor de veranderingssnelheid van de functiewaarde voor een bepaalde waarde van x. Je bepaalt een afgeleide door te differentiëren. Dat lijkt tot nu toe misschien een eenvoudige klus. Maar wanneer de functies ingewikkelder worden moet je er speciale differentieerregels voor toepassen. Je herhaalt eerst nog even de al bekende technieken.

Je leert nu:

• regels toepassen bij het differentiëren;
• het belang van uitbreiding van die differentieerregels inzien.

Je kunt al:

• allerlei soorten functies gebruiken;
• differentiëren met de machtsregel, de constante-regel en de somregel;
• werken met de afgeleide en de tweede afgeleide, onder andere voor het berekenen van extremen en buigpunten.

Verkennen

Je kunt al differentiëren.
Neem nu de functies f en g met f(x) = 6x⁵ en g(x) = 2x³.

> Bepaal de afgeleide van:

• f₁(x) = f(x) + g(x)
• f₂(x) = f(x) – g(x)
• f₃(x) = f(x) · g(x)
• f₄(x) = f(x) / g(x)

> Voor functie f₁ (de som van f en g) geldt dat de afgeleide gelijk is aan de som van de afgeleiden van f en g.
Kun je voor f₂, f₃ en f₄ iets vergelijkbaars opschrijven?

Uitleg

Je hebt al eerder met afgeleide functies gewerkt. Je weet hoe je bij machtsfuncties met gehele positieve exponenten de afgeleide kunt bepalen. Verder weet je hoe je met constanten die je optelt bij of vermenigvuldigt met een functie moet werken.
Maar daarmee kun je nog niet van alle soorten functies de afgeleide vinden. Bijvoorbeeld van functies als f(x) = 2^x en g(x) = sin(x) kun je nog niet differentiëren. Bovendien weet je nog niet hoe je met productfuncties, quotiëntfuncties en samengestelde functies omgaat bij het differentiëren. Met behulp van eenvoudige functies kun je gemakkelijk nagaan dat dan geen voor de hand liggende regels gelden:

• Als f(x) = x³ dan is f'(x) = 3x².
• Als g(x) = x² dan is g'(x) = 2x.

De productfunctie van f en g is dan: P(x) = f(x) · g(x) = x³ · x².
Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van P gewoon het product is van f' en g': P'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x² · 2x.
Maar dat is fout! Immers P(x) = x⁵ en dus moet P'(x) = 5x⁴ zijn.

Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie Q(x) = $\frac{f(x)}{g(x)}$ niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

Zo kun je ontdekken dat een bepaalde manier van differentiëren fout is.
Om te beoordelen of hij goed is, is meer nodig...

Opgaven

1. Je hebt al geleerd wat differentiëren is.
   1. Omschrijf wat differentiëren precies is.
   2. Hoe kom je aan de regels voor het differentiëren?
   3. Welke differentieerregels pas je toe bij het bepalen van de afgeleide van `f(x) = 3x^3 + 6x^2 - 12`?
   4. Kun je met behulp van differentieerregels de afgeleide bepalen van `f(x) = (2x)^3`? Zo ja, hoe?
   5. Waarom kun je met de differentieerregels die je op dit moment kent moeilijk de afgeleide bepalen van `f(x) = (2x + 3)^(12)`?
   6. Waarom kun je met de differentieerregels die je op dit moment kent wel de afgeleide bepalen van `f(x) = (2x + 3x^2)/(x)` maar niet de afgeleide bepalen van `g(x) = (2x + 3x^2)/(x + 1)`?

Theorie

De afgeleide van een functie f is:

$f\text{'}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels:

Differentieerregel 1 (machtsregel):
Als f(x) = cxⁿ dan is f'(x) = ncx^n – 1 voor elke c en voor gehele positieve n.

Differentieerregel 2 (constante-regel):
Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.

Differentieerregel 3 (somregel):
Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

De bewijzen van deze differentieerregels vind je bij het onderwerp "Afgeleide functies".
Ze bewijzen goede diensten bij het berekenen van hellingwaarden van functies die bestaan uit een som (verschil) van machtsfuncties met positieve gehele exponenten. Heb je daarentegen met andere functies te maken, dan zijn ook andere differentieerregels nodig.

In de voorbeelden vind je de verschillende toepassingen van het differentiëren nog eens terug.

Voorbeeld 1

Differentiëren van functies die bestaan uit een som (verschil) van machtsfuncties met positieve gehele exponenten gaat zo:

• f(x) = 31,7 geeft: f'(x) = 0

• f(x) = 7x⁴ geeft: f'(x) = 7 · 4x³ = 28x³

• f(x) = x⁵ – 3x⁴ + 10x³ – 2x + 100 geeft: f'(x) = 5x⁴ – 12x³ + 30x² – 2

• s(t) = v₀t + $\frac{1}{2}$at² geeft: v(t) = s'(t) = v₀ + at

• A(r) = 20πr + 2πr² geeft: $\frac{\text{d}A}{\text{d}r}$  = 20π + 4πr

• f(x) = a²x⁴ – 2bx² + c³ geeft: f'(x) = 4a²x³ – 4bx

Voorbeeld 2

Gegeven is de functie f met f(x) = x(60 – x)².
Bereken algebraïsch de extremen van f en het buigpunt van de grafiek van f.

Antwoord

Je ziet een nette grafiek van f. Er lijken twee extremen en één buigpunt te zijn. Zeker weet je dat pas na differentiëren.
Om de afgeleide te kunnen bepalen moeten eerst de haakjes worden uitgewerkt:

f(x) = x(60 – x)² = 3600x – 120x² + x³.

De afgeleide is dan: f'(x) = 3600 – 240x + 3x².
De tweede afgeleide is: f"(x) = –240 + 6x.

Voor de extremen moet je oplossen: f'(x) = 3600 – 240x + 3x² = 0.
Je vindt: x = 20  V  x = 60. De extremen zijn: max.f(20) = 32000 en min.f(0) = 0.

Voor het buigpunt los je op: f"(x) = –240 + 6x = 0.
Dit levert op: x = 40 en het buigpunt (40, 16000).

Inderdaad zie je bij dit deel van de grafiek alle karakteristieken.

Voorbeeld 3

Hier zie je de grafiek van f(x) = x(60 – x)² uit voorbeeld 2 nog eens.
Nu is de raaklijn aan de grafiek van f in (0,0) getekend.
Welke hoek maakt deze raaklijn met de x-as?
Zijn er andere punten op de grafiek van f waarin de raaklijn dezelfde hoek met de x-as maakt?

Antwoord

In voorbeeld 2 is de afgeleide van f bepaald: f'(x) = 3600 – 240x + 3x².
Dus f'(0) = 3600.

In de figuur zie je na inzoomen dat tan(α) = $\frac{3600}{1}$ = 3600 als α de gevraagde hoek is. Hieruit vind je: α ≈89,98°.

Vervolgens zoek je andere punten van de grafiek waarin de raaklijn dezelfde hoek met de x-as maakt. Omdat die hoek bepaald wordt door het hellingsgetal, weet je dat in die punten de afgeleide gelijk is aan 3600 of aan –3600.
Dus moet je oplossen: f'(x) = 3600  V  f'(x) = –3600.
Ga na dat dit oplevert: x = 0  V  x = 80, want de vergelijking f'(x) = –3600 heeft geen oplossingen.
Het enige andere punt waarin de raaklijn dezelfde hoek met de x-as maakt is (80,24000).

Opgaven

2. Om de afgeleide (de hellingsfunctie) van een functie te kunnen bepalen moet je differentiëren. In de Theorie vind je de differentieerregels die je daarvoor tot nu toe hebt geleerd. Functievoorschriften die niet in de juiste vorm staan moet je eerst herschrijven. Differentieer de volgende functies. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.
   1. `f(x) = 6 - 1/2 x^3`
   2. `TK(q) = 2q^3 + 60q^2 - 100q + 50`
   3. `I(d) = 1/6 pi d^3 + a^2`
   4. `f(x) = x(x - 20)(x + 30)`
   5. `f(x) = x^4 + 6x + 12`
   6. `H(t) = 25t - 5t^2`
   7. `T(p) = a^2p^3 - ap + a^4`
   8. `f(x) = x(x + 4)^2`


3. Bekijk de grafiek van de functie `f` met voorschrift `f(x) = x^2(x - 20)(x - 40)`.
   1. Om zelf de grafiek zo in beeld te krijgen, bepaal je eerst algebraïsch de nulpunten van de functie. Vervolgens kijk je naar de tabel en stel je het venster van je grafische rekenmachine in. Welke instellingen geven (ongeveer) hetzelfde deel van de grafiek te zien?
   2. Wil je de extremen van `f` algebraïsch berekenen, dan moet je eerst de functie differentiëren. In Voorbeeld 2 zie je hoe dat bij een dergelijke functie gaat. Je moet eerst de haakjes uitwerken. Doe dat en bepaal vervolgens de afgeleide.
   3. Bereken nu de extremen van `f` in gehelen nauwkeurig.
   4. Op grond van de grafiek lijken er twee buigpunten te zijn. Met behulp van de tweede afgeleide kun je die bepalen. Bereken ook die buigpunten algebraïsch in gehelen nauwkeurig.


4. Bekijk de grafiek van de functie `f` met voorschrift `f(x) = x^2(x - 20)(x - 40)` uit de vorige opgave.
   1. Het punt `(20,0)` is een nulpunt van de grafiek van `f`. De raaklijn aan die grafiek maakt daar een hoek `alpha` met de `x`-as. Zie eventueel Voorbeeld 3. Bereken de grootte van die hoek in hondersten van graden nauwkeurig.
   2. Waarom zal in de grafiek die hoek waarschijnlijk anders zijn?
   3. Er zijn nog andere punten op de grafiek van `f` waarin de raaklijn dezelfde hoek maakt met de `x`-as. Bereken de `x`-waarden van die punten in één decimaal nauwkeurig.


5. Een Nederlands bedrijf maakt goten voor bevloeiing van akkers in een ontwikkelingsland. Die goten worden gemaakt door vlakke platen kunststof te buigen. Die platen zijn 2 meter lang en 40 centimeter breed. Ze worden zo gebogen dat een goot ontstaat van 2 meter lang met als dwarsdoorsnede (in de breedterichting) een rechthoek.
   1. De breedte van de goot noem je `x` en de hoogte is `h`. Welke verband bestaat er tussen `x` en `h`? Stel een formule voor dat verband op.
   2. Je kunt nu een formule opstellen voor de hoeveelheid water die zo’n goot kan bevatten. Druk de hoeveelheid water `H` in uit in `x`.
   3. Bereken bij welke waarde van `x` die hoeveelheid water maximaal is.

Verwerken

6. Differentieer de volgende functies.
   1. `f(x) = 5x^6 - 13x^5 + 10x - 25`
   2. `f(x) = ax^2 + bx + c`
   3. `P(I) = RI^2`
   4. `y(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 9)`
   5. `f(x) = -8x^8 - 88`
   6. `f(x) = 2ax^3 - 3a^2x + a^3`
   7. `A(r) = pi r^2 + l2r`
   8. `h(x) = 3x^2(10 - x)^2`


7. Gegeven is de functie `f(x) = 4/5x^3 - 3x^2`.
   1. Bereken algebraïsch de extremen van `f`.
   2. Bereken algebraïsch de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van `f`.


8. Het punt `(2,0)` ligt op de grafiek van de functie `y = x^3 - 5x^2 + 7x - 2`.
   1. Bereken de hoek die de raaklijn in dit punt aan de grafiek maakt met de `x`-as.
   2. In hoeveel andere punten van de grafiek maakt de raaklijn dezelfde hoek met de `x`-as?


9. Uit een stuk karton van 20 bij 60 centimeter wordt een bakje gevouwen. Neem voor de hoogte van dit bakje `x` cm.
   
   
   
   
   1. De inhoud `I` van dit bakje hangt alleen af van `x` (als er verder niets boven het open bovenvlak mag uitsteken). Stel een bijpassend functievoorschrift `I(x)` op.
   2. Bereken algebraïsch bij welke waarde van `x` de inhoud van het bakje maximaal is.


10. Hier zie je een deel van de grafiek van `f(x) = x^3(x - 20)^2`.
    1. In het deel van de grafiek dat in beeld is, bevinden zich drie punten waarin de raaklijn aan de grafiek evenwijdig is aan de `x`-as. Bereken de `x`-coördinaten van die drie punten algebraïsch.
    2. Waarom heeft de functie `f` toch maar twee (lokale) extremen?
    3. Laat zien dat de grafiek van `f` wel drie buigpunten heeft.

Testen

11. Differentieer de volgende functies:
    1. `f(x) = -0,5x^4 + 3x`
    2. `f(x) = 10 - 6x^2 - x^4`
    3. `f(x) = (x - 1)(x^2 - 1)`
    4. `f(x) = ax(1 - x^2)`
    5. `H(t) = 3p^2 + 4pt^3`
    6. `y(t) = 20t^2(10 - t)(15 + t)`


12. Het punt `(2,7)` ligt op de grafiek van `f(x) = 1/24x^4 + 1/6x^3 + 1/2x^2 + x + 1`.
    1. Controleer deze bewering met een berekening.
    2. Bereken de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van `f` in het punt `(2,7)`.
    3. Bereken de hoek waaronder de grafiek van `f` de `y`-as snijdt.


13. Je ziet hier een deel van de grafiek van de functie `y = -x^3 + 6x^2 - 10`.
    1. De grafiek heeft twee (lokale) extremen. Bereken beide extremen.
    2. Bereken het buigpunt van de grafiek.