Differentieerregels

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Onder differentiëren versta je het bepalen van de afgeleide `f'` van een functie `f` met behulp van differentieerregels.
   2. Die differentieerregels vind je vanuit de definitie van afgeleide: `f'(x) = lim_(h rarr 0) (f(x + h) - f(x))/h`.
      (Bekijk eventueel de theorie bij "Het begrip afgeleide" nog eens.)
   3. De somregel (elke term mag je afzonderlijk differentiëren), de machtsregel en de constante-regel.
   4. Eerst haakjes uitwerken tot `f(x) = 8x^3` en dan is `f'(x) = 24x^2`.
   5. Het uitwerken van de haakjes is nu een zeer tijdrovende bezigheid, hoewel niet onmogelijk!
   6. Je kunt `f(x)` voor `x != 0` schrijven als `f(x) = 2 + 3x` met afgeleide `f(x) = 3`.
      Je kunt `g(x)` niet vereenvoudigen tot een functie zonder `x` in de noemer en voor dergelijke functies heb je nog geen differentieerregel geleerd.
2. 1. `f'(x) = -1 1/2 x^2`
   2. `K'(q) = 6q^2 + 120q - 100`
   3. `I'(d) = 1/2 pi d^2`
   4. `f'(x) = 3x^2 + 20x - 600`
   5. `f'(x) = 4x^3 + 6`
   6. `H'(t) = 25 - 10t`
   7. `T'(p) = 3a^2p^2 - a`
   8. `f'(x) = 3x^2 + 16x + 16`
3. 1. Nulpunten zijn `(0,0), (20,0)` en `(40,0)`. Venster `[-10,60] xx [-100000,150000]`.
   2. `f(x) = x^4 - 60x^3 + 800x^2` geeft `f'(x) = 4x^3 - 180x^2 + 1600x`.
   3. `f'(x) = 0` levert op `x = 0 vv x ~~ 12,19 vv x ~~ 32,81`, dus de extremen zijn (in gehelen nauwkeurig) max.`f(12) ~~ 32274` en min.`f(33) ~~ -99150`.
   4. `f''(x) = 12x^2 - 360x + 1600 = 0` als `x ~~ 5,43 vv x ~~ 24,57`.
      De buigpunten zijn ongeveer `(5,14834)` en `(25,-42612)`.
4. 1. `f'(20) = -8000` en dus is `tan(alpha) = -8000` zodat `alpha ~~ -89,99^o`.
   2. Je krijgt alleen de werkelijke hoek te zien als op beide assen dezelfde schaalverdeling wordt gebruikt. Dat is beslist niet het geval als je de grafiek zo in beeld hebt als bij de vorige opgave.
   3. `f'(x) = -8000` oplossen geeft met de grafische rekenmachine `x = 20 vv x ~~ 28,5 vv x ~~ 35,3`.
5. 1. `x = 40 - 2h` of `h = 20 - 0,5x` met `x` en `h` in cm.
   2. `H(x) = 200(20x - 0,5x^2) = 4000x - 100x^2`
   3. `H'(x) = 4000 - 200x = 0` geeft `x = 20`.
6. 1. `f'(x) = 30x^5 - 65x^4 + 10`
   2. `f'(x) = 2ax + b`
   3. `P'(I) = 2RI`
   4. `(text(d)y)/(text(d)x) = 4x^3 - 20x`
   5. `f'(x) = -64x^7`
   6. `f'(x) = 6ax^2 - 3a^2`
   7. `(text(d)A)/(text(d)r) = 2pi r + 2 l`
   8. `h'(x) = 600x - 180x^2 + 12x^3`
7. 1. `f'(x) = (12)/5 x^2 - 6x = 0` geeft`x = 0 vv x = 2,5`.
      Uit de grafiek of een tekenschema van `f'` lees je af dat er twee extremen zijn, namelijk min.`f(2,5) = -6,25` en max.`f(0) = 0`.
   2. `f''(x) = (24)/5 x - 6 = 0` geeft `x = 1,25`.
      Uit de grafiek of een tekenschema van `f''` lees je af dat er één buigpunt is, namelijk `(1,25; -3,25)`.
8. 1. `y'(x) = 3x^2 - 10x + 7` geeft `y'(2) = -1`. De bijbehorende hoek is `-45^o`.
   2. `y'(x) = -1` geeft `3x^2 - 10x + 8 = 0`. Deze vergelijking heeft twee oplossingen dus er is nog een punt op de grafiek waarin de hellingshoek van de grafiek `-45^o` is.
      Ook zijn er nog twee punten van de grafiek waarin de hellingshoek `45^o` is, want ook `y'(x) = 3x^2 - 10x + 7 = 1` heeft twee oplossingen.
9. 1. `I(x) = x(20 - 2x)(60 - 2x) = 1200x - 160x^2 + 4x^3`
   2. `I'(x) = 12x^2 - 320x + 1200 = 0` geeft `x = (80 +- sqrt(2800))/6`.
      Aan de grafiek van `I` zie je dat de inhoud maximaal is als `x = (80 - sqrt(2800))/6 ~~ 4,5` cm.
10. 1. `f(x) = x^5 - 40x^4 + 400x^3` geeft `f'(x) = 5x^4 - 160x^3 + 1200x^2`.
       En `f'(x) = 0` levert op: `x = 0 vv x = 12 vv x = 20`.
    2. Voor `x = 0` wisselt de afgeleide niet van teken, zowel links als rechts van `x = 0` is de grafiek van `f` stijgend.
    3. `f''(x) = 20x^3 - 480x^2 + 2400x = 0` geeft `x = 0 vv x = (24 +- sqrt(96))/2`.
       Dit levert drie waarden voor `x` op voor in elk van die drie waarden wisselt `f''` van teken.
11. 1. `f'(x) = -2x^3 + 3`
    2. `f'(x) = -12x - 4x^3`
    3. `f'(x) = 3x^2 - 2x - 1`
    4. `f'(x) = a - 3ax^2`
    5. `H'(t) = 12pt^2`
    6. `(text(d))y/(text(d)t) = 6000t - 300t^2 - 80t^3`
12. 1. `f(2) = 7`
    2. `f'(x) = 1/6 x^3 + 1/2 x^2 + x + 1` geeft `f'(2) = (19)/3`.
    3. `f'(0) = 1`, dus de gevraagde hoek is `45^o`.
13. 1. `y'(x) = -3x^2 + 12x = 0` geeft `x = 0 vv x = 4`.
       M.b.v. de grafiek: min.`f(0) = -10` en max.`f(4) = 22`
    2. `y''(x) = -6x + 12 = 0` geeft `x = 2`.
       Het buigpunt is `(2,6)`.