Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. `f'(x) = 20x^4 - 24x + 60`
    2. `E'(t) = 1 + t + 1/2 t^2 + 1/6 t^3`
    3. `f'(x) = 12a(ax + b)^11`
    4. `GTK(q) = 0,5q^2 - 20q + 60` geeft `(text(d)GTK)/(text(d)q) = q - 20`
    1. `f'(x) = 6x^2 - 4x^3 = 0` geeft `x=0 vv x=1,5`.
      Aan de grafiek zie je dat er in `(0,0)` wel een horizontale raaklijn maar geen extreme waarde is. De enige extreme waarde is bij `x=1,5`.
    2. `f''(x) = 12x - 12x^2 = 0` geeft `x=0 vv x = 1`. Dus `(1,1)`.
    3. `f'(1) = 2` en dus is de buigraaklijn `y = 2x - 1`.
    1. `0,5x^3 - 2x = -x^2 - 1,5x + 1` levert een derdegraads vergelijking op en die heeft maximaal 3 oplossingen.
      `0,5x^3 - 2x = -x^2 - 1,5x + 1` geeft `x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 2)(x^2 - 1) = 0` en dus `x=-2 vv x=-1 vv x=1`.
    2. `f'(x) = 1,5x^2 - 2 = 0` geeft `x = +-sqrt(4/3)`. Max.`f(-sqrt(4/3)) = 1 1/3 sqrt(4/3)` en min.`f(sqrt(4/3)) = -1 1/3 sqrt(4/3)`.
    3. `f''(x) = 3x = 0` geeft `x = 0`. Buigpunt: `(0,0)`.
    4. `f('0) = -2` dus raaklijn `y = -2x`.
      `-x^2 - 1,5x + 1 = -2x` geeft `x^2 - 0,5x - 1 = 0` en dus `x = (0,5 +- sqrt(4,25))/2`.
      De gevraagde snijpunten zijn `(1,28;-2,56)` en `(-0,78;1,56)`.
    1. Gegeven vergelijking herschrijven.
      `0 <= q <= 12`
    2. `TO = pq = 120q - 10q^2`
    3. `TW = TO - TK = -1,5q^3 + 12,5q^2`
    4. `TW'(q) = -4,5q^2 + 25q = 0` geeft `q=0 vv q = 50/9`.
      `TW` is maximaal bij `q = 50/9` en dan is `p ~~ 64,44` euro.
    5. `GTK = TK/q = 1,5q^2 - 22,5q + 120` en `GTK'(q) = 3q - 22,5 = 0` als `q = 7,5`.
      Dus bij een afzet van 7500 stuks.
    1. `f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2px = 0` geeft `x=0 vv x = (6 +- sqrt(36 - 8p))/4`.
      Er is maar één nulwaarde als `36 - 8p < 0`, dus als `p > 4,5`.
    2. `A = (1,-1+p)` en `f'(1) = -8 + 2p`.
      De raaklijn moet door `O(0,0)`, dus `-1 + p = -8 + 2p` zodat `p=7`.
    1. Gebruik de GR: `text(B)_f = [-4;3,39:)`.
    2. `(100x^2 - 400)/(x^4 + 100) = 80/(x^2)` geeft `100x^4 - 400x^2 = 80x^4 + 8000` en `x^4 - 20x^2 - 400 = 0`. Dit levert op `x^2 = 10 +- 10sqrt(5)` en `x = +-sqrt(10 + 10sqrt(5))`.
      Oplossing: `-sqrt(10+10sqrt(5)) <= x < 0 vv 0 < x < sqrt(10+10sqrt(5))`.
    3. `f(x) = 1/(f(x))` geeft `f(x) = +-1`.
      `f(x) = 1` geeft `x^2 = (100 +- sqrt(8000)/2)` en dus `x ~~ +-9,73 vv x ~~ +-2,30`.
      `f(x) = -1` geeft `x^2 = (100 +- sqrt(11200)/2)` en dus `x ~~ +-1,71`.
      Oplossing: `x < -9,73 vv -2,30 < x < -2 vv -1,71 < x < 1,71 vv 2 < x < 2,30 vv x > 9,73`.
    1. `f'(x) = 4x^3 - 42x^2 - 40x + 600`
      Omdat er (bekijk de grafiek) bij `x=10` een top zit is `f'(x) = (x - 10)(4x^2 - 2x - 60)` (staartdeling). En dus is `f'(x) = 0` als `x=10 vv x=(2 +- sqrt(962))/8`.
      Toppen: `(10,0)`, `(-3,63;1598,30)` en `(4,13;1441,60)`.
      `f''(x) = 12x^2 - 84x - 40 = 0` geeft `x = (21 +- sqrt(561))/6`.
      Buigpunten: `(7,45;652,47)` en `(-0,45;-271,27)`.
    2. `p=0 vv p ~~ 1441,60`
    3. `f(0) = 0` en `f'(0) = 600`, dus de raaklijn is `y=600x`.
      `f(x) = 600x` geeft `x=0 vv x=(14 +- sqrt(276))/2`.
      De gevraagde punten zijn `(15,3;9184,0)` en `(-1,3;784,0)`.
    1. Lengte = `l`, breedte = `2h` en hoogte = `h`.
      `l + 8h = 120` en `I = l * 2h^2` geeft `I = 2h^2(120 - 8h) = 240h^2 - 16h^3`.
      `I'(x) = 480h - 48h^2 = 0` geeft `h=0 vv h=10`, alleen `h=10` levert een maximum op.
      `h=10` betekent `b=20` en `l=40`, dus `I=8000` cm3.
    2. Zelfde procedure als bij a, maar nu met `l + 8h = p` geeft: `h = 1/12 p`, `b = 1/6 p` en `l = 1/3 p`. Inderdaad is dan `b=2h` en `l=4h`.
  9. Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde `x`. Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is aan `h = 6 - 1/2 x`. De inhoud ervan is dan `I = x^2(6 - 1/2 x) = 6x^2 - 1/2 x^3`.
    Met behulp van differentiëren vind je een maximale inhoud als `x=8` en dus `h=2`. De bedoelde afmetingen zijn dus `6 xx 6 xx 2` m.
    1. Zie website.
    2. `x = (2v_0)/g * sin(alpha)cos(alpha)`
    3. `x` is maximaal als `sin(alpha)cos(alpha)` zo groot mogelijk is.
      Maak hiervan een grafiek (`alpha` in graden) voor `0 <= alpha <= 90`. Bij 45° vind je het maximum.
    4. De bijbehorende grootste hoogte is `(v_0)/(4g)`.
    1. Nulpunten: `f(x)=0` geeft `x=-1/2 vv x=+-2`, dus `(-1/2,0)`, `(-2,0)` en `(2,0)`.
      Extremen: `f'(x) = 6x^2 + 2x - 8 = 0` geeft `x=-1 1/3 vv x=1`; max.`f(-1 1/3) = 3 19/27` en min.`f(1)=-9`.
    2. `f(x) = g(x)` geeft `x=0 vv x=+-2`.
      Oplossing: `-2 < x < 0 vv x > 2`.
    3. De lengte van `AB` is `f(p) - g(p) = 2p^3 - 8p`.
      De oppervlakte van `Delta OAB` is `-p^4 + 4p^2 = 3` geeft `(p^2 - 3)(p^2 - 1) = 0`.
      Dit levert op `p=-sqrt(3) vv p=-1`.
    4. Lijn door `O` heeft vergelijking `y=ax`. Raken aan de grafiek van `f` betekent `a=f'(x)` voor een bepaalde waarde van `x`.
      Zo krijg je `2x^3 + 4x^2 - 8x - 4 = x(6x^2 + 2x - 8)` en dus `4x^3 - 2x^2 + 4 = 0`.
      Deze vergelijking kun je alleen met de GR oplossen: `x ~~ -0,858`.
      Het raakpunt wordt ongeveer `(-0,858;4,546)` en de vergelijking van de raaklijn wordt `y = -5,30x`.
    1. als `v = 17` dan `h = –0,0185a^2 + 0,27a + 2,50`.
      `h'(a) = –0,037a + 0,27 = 0` geeft `a ~~ 7,3`.
      Daarbij hoort een maximale hoogte van `h ~~ 3,5` m.
    2. 150 km/u komt overeen met 41,67 m/s.
      Volgens de grafiek hoort daar een hoek bij van ongeveer –5°.
    3. Bij de netsituatie: als `a = 12` dan `h = 1`.
      Dit geeft: `-(5,16)/(v^2) * 12^2 + 0,18 * 12 + 2,50 = 1` en dus `(743,04)/(v^2) = 3,66` en `v ~~ 14,25`. Conclusie: `v <= 14,2` (m/s) of `v < 14,3` (m/s).
    4. 7 meter voorbij het net betekent `a = 19` en de grond raken betekent `h = 0`.