Veeltermen

Antwoorden bij de opgaven

  1. -
    1. x=0x±1,76x±1,58x±1,90
    2. x±0,55x±1,38x±1,78
    3. Dat het maximale aantal nulwaarden van een veelterm met hoogste exponent n ook gelijk is aan n.
    1. Nulpunten: (±1,0) en (±2,0).
    2. f'(x)=4x3-6x=0 geeft x=0x=±112=±126.
      Min.f(-126)=-14, max.f(0)=2 en min.f(126)=-14.
    3. f''(x)=12x2-6=0 geeft x=+=12=+=122.
      Buigpunten (±122,34).
    1. -
      f(x)=(x-1)(x2-4x+1)=0 geeft x=1x=2±3.
      Nulpunten: (1,0), (2-3,0) en (2+3,0).
    2. f'(x)=3x2-10x+5=0 geeft x=10±406.
      Extremen: max.f(10-406)0,42, min.f(10+406)-4,27.
    3. f''(x)=6x-10=0 geeft x=53.
      Buigpunt: (53;-1,93).
    4. f(x)=g(x) geeft met de GR: x-3,15x=1.
      Oplossing: -3,15<x1.
    1. x=-2x=0x=6
    2. x=0x=-403
    3. x=0x=5±414
    4. x=0x=±6
    1. fc'(x)=2x3-2cx=0 geeft x=0x=±c. Er is tekenwisseling voor x=0.
    2. fc'(x)=0 en fc(x)=0 geeft c=0c=2.
    3. fc''(x)=0 en fc(x)=0 geeft c=3,6.
    4. fc'(1)=1 geeft c=0,5.
    1. P(x)=x2(2x-8)=0 geeft x=0x=4. Nulpunten: (0,0) en (4,0).
      P'(x)=6x2-16x=0 geeft x=0x=223. Toppen: (0,0) en (223,-51227).
    2. x2(2x-8)=2x-8 geeft x2=12x-8=0 en dus x=±1x=4.
      Haakjes uitwerken is onnodig.
    3. x2(2x-8)=-2x2 geeft x2=02x-8=-2 en dus x=0x=3.
      Oplossing: x3.
    1. DQ=,44,
      Q is geen veeltermfunctie omdat de (staart)deling niet op 0 uit komt.
    2. Verticale asymptoot: x=4.
      Omdat de hoogste macht in de teller groter is dan in de noemer gaat als x± ook Q(x)±. ( is het symbool voor "oneindig groot".)
    3. BQ=,0][8,.
    1. Nulpunt (1,0).
    2. Staartdeling: f(x)=x3+9x2-15x+5=(x-1)(x2+10x-5).
      Dus f(x)=0 geeft x=1x=-10±1202 en dus zijn de andere nulpunten (-10,48;0) en (0,48;0).
    3. f'(x)=3x2+18x-15=0 geeft x=-6±562. Toppen: (0,74;-0,77) en (-6,74;208,77).
      f''(x)=6x+18=0 geeft x=-3. Buigpunt (-3.104).
    4. f'(x)=-5 geeft x=-18±4446. Dus in (0,51;-0,19) en (-6,51;208,19).
    5. f'(0)=15
    1. x3-2x2=3x-6 geeft x2(x-2)=3(x-2) en dus x=±3x=2.
    2. 0,5x4+4x3-6x-48=0 geeft (x+8)(0,5x3-6)=0 en dus x=-8x=123.
    3. x6-16x3+60=(x3-10)(x3-6)=0 geeft x=63x=103.
    4. (x-1)(x2-2)=0 geeft x=1x=±2.
    1. f1(x)=x4-2x2+8=(x2-4)(x2+2) geeft x=±2. Nulpunten: (±2,0).
      f1'(x)=4x3-4x=0 geeft x=0x=±1. Toppen: (-1,7), (0,8) en (1,7).
      f1''(x)=12x2-4=0 geeft x=±13. Buigpunten: (±13,749).
    2. fp'(x)=0 en fp(x)=0 geeft p=±0,125.
    3. fp''(x)=0 en fp(x)=0 geeft p=±1,44.
    1. h4(x)=x2(x+4) heeft voor x=0 en x=-4 de waarde 0 en dus moet de grafiek door O en A gaan.
      Voor x=±1 heeft deze functie dezelfde waarden als g4 en gaat de grafiek door de punten B en C die bij deze x-waarden horen en op de grafiek van g4 liggen.
    2. h4(x)=x3+4x2 en h4'(x)=3x2+8x.
      h4'(x)=0 geeft x=0x=-83; max.h4(-83)=25627 en min.h4(0)=0.
    3. Zie het antwoord bij a. De lijnen x=±1 en y=0.
    4. ha'(x)=3x2+2ax=0 geeft x=0x=-23a.
      De toppen zijn (0,0) en (-23a,427a3). Deze punten voldoen beide aan y=-12x2.
    1. f1(x)=x3+12x2+36x en f1'(x)=3x2+24x+36.
      f1'(x)=0 geeft x=-6x=-2; max.f(-6)=0 en min.f(-2)=-32.
    2. fc'(x)=0 geeft x=-6x=-2 en de toppen zijn (-6,0) en (-2,-32c).
      -32c=80 geeft c=-2,5.
    3. fc''(x)=6cx+24c=0 geeft x=-4, dus buigpunt (-4,-16c).
    4. fc'(-4)=-12c, dus de buigraaklijn heeft vergelijking y=-12cx-64c.
      Deze lijn gaat door (0,80) als -64c=80, dus c=-1,25.
    1. Verticale asymptoten: x=±10.
      Horizontale asymptoot: y=0.
    2. Teken de grafiek en bepaal de extremen met de rekenmachine: min.f(1,6)3,2 en max.f(6,4)0,8.
      Bereik: ;0,8][3,2;.
    3. 0<p<0,8p>3,2
    4. 10x-40x2-10=10x-40 geeft 10x=401x2-10=1 en dus x=4x=±11.
      Je vindt A(-11;-73,17), B(11;-6,83) en A=(-4,0).
      OA is het langst.
    1. 2x2+2xl=40 en I=x2l geeft I(x)=20x-x3.
    2. I>0 en x>0 geeft 0<x<20.
    3. I'(x)=20-3x2=0 als x=±203.
      I is maximaal als x=2032,58. De bijbehorende maximale waarde voor I is ongeveer 34,43 m3. Dus 0<I<34,43.
    1. f(x)=(x2-4)(x2-2)=0 geeft x=±2x=±2.
      Nulpunten (±2,0) en (±2,0).
      f'(x)=4x3-12x=0 geeft x=0x=±3.
      Min.f(±3)=-1 en max.f(0)=8.
    2. x4-6x2+8=-2x2+20 geeft x4-4x2-12=(x2-6)(x2+2)=0 en dus x=±6. De snijpunten zijn (±6,8).
    3. -6<x<6
    4. f'(x)=g'(x) geeft 4x3-12x=-4x en dus x=0x=±2.
      Er zijn dus drie van die waarden.
  2. Met behulp van een staartdeling vind je: (x+2)(x2+6x+6)=0 en dus x=-2x=-3±3.
    1. f4(x)=x4-4x3+4x2=0 geeft x=0x=2. Nulpunten (0,0) en (2,0).
      f4'(x)=4x3-12x2+8x=0 geeft x=0×x=1x=2. Min.f4(0)=f4(2)=0 en max.f4(1)=1.
      f4''(x)=12x2-24x+8=0 geeft x=6±126. Buigpunten (6±126,4/9).
    2. f4(x)=mx en f4'(x)=m geeft x4-4x3+4x2=(4x3-12x2+8x)x.
      Hieruit volgt x=0x=23x=2 en dan m=0m=6481 (m=0 vervalt).
    3. fp'(x)=0 geeft x=0x=6±36-8p8.
      Dit levert drie waarden voor x op als 36-8p>0, dus p<4,5, en er bovendien geen gelijke waarden voor x tussen zitten, dus p0. Met een tekenschema voor fp' kun je nagaan dat er drie extremen zijn als p<00<p<4,5.
    1. x=2±2x=-12
    2. Nulpunten (-12,0) en (2,0). Toppen (13,125/27) en (2,0). Buigpunt (76,125/54).
    3. a=0a=6,25
    4. f'(x)=2a heeft geen oplossingen voor x als a<-2512.