Veeltermen

Antwoorden bij de opgaven

  1. -
    1. `x=0 vv x ~~ +-1,76 vv x ~~ +-1,58 vv x~~ +-1,90`
    2. `x~~ +-0,55 vv x ~~ +- 1,38 vv x~~ +-1,78`
    3. Dat het maximale aantal nulwaarden van een veelterm met hoogste exponent `n` ook gelijk is aan `n`.
    1. Nulpunten: `(+-1,0)` en `(+-sqrt(2),0)`.
    2. `f'(x) = 4x^3 - 6x = 0` geeft `x=0 vv x = +-sqrt(1 1/2) = +-1/2sqrt(6)`.
      Min.`f(-1/2sqrt(6)) = -1/4`, max.`f(0)=2` en min.`f(1/2sqrt(6)) = -1/4`.
    3. `f''(x) = 12x^2 - 6 = 0` geeft `x = +=sqrt(1/2) = +=1/2sqrt(2)`.
      Buigpunten `(+-1/2sqrt(2),3/4)`.
    1. -
      `f(x) = (x - 1)(x^2 - 4x + 1) = 0` geeft `x=1 vv x = 2 +- sqrt(3)`.
      Nulpunten: `(1,0)`, `(2 - sqrt(3),0)` en `(2 + sqrt(3),0)`.
    2. `f'(x) = 3x^2 - 10x + 5 = 0` geeft `x = (10 +- sqrt(40))/6`.
      Extremen: max.`f((10 - sqrt(40))/6) ~~ 0,42`, min.`f((10 + sqrt(40))/6) ~~ -4,27`.
    3. `f''(x) = 6x - 10 = 0` geeft `x = 5/3`.
      Buigpunt: `(5/3;-1,93)`.
    4. `f(x) = g(x)` geeft met de GR: `x ~~ -3,15 vv x = 1`.
      Oplossing: `-3,15 < x <= 1`.
    1. `x=-2 vv x=0 vv x=6`
    2. `x=0 vv x=root[3](-40)`
    3. `x=0 vv x = (5 +- sqrt(41))/4`
    4. `x=0 vv x=+-sqrt(6)`
    1. `f_c'(x) = 2x^3 - 2cx = 0` geeft `x=0 vv x=+-sqrt(c)`. Er is tekenwisseling voor `x=0`.
    2. `f_c'(x) = 0` en `f_c(x) = 0` geeft `c=0 vv c=2`.
    3. `f_c''(x) = 0` en `f_c(x) = 0` geeft `c=3,6`.
    4. `f_c'(1) = 1` geeft `c=0,5`.
    1. `P(x) = x^2(2x - 8) = 0` geeft `x = 0 vv x = 4`. Nulpunten: `(0,0)` en `(4,0)`.
      `P'(x) = 6x^2 - 16x = 0` geeft `x=0 vv x = 2 2/3`. Toppen: `(0,0)` en `(2 2/3,-512/27)`.
    2. `x^2(2x - 8) = 2x - 8` geeft `x^2 = 1 vv 2x - 8 = 0` en dus `x=+-1 vv x=4`.
      Haakjes uitwerken is onnodig.
    3. `x^2(2x - 8) = -2x^2` geeft `x^2 = 0 vv 2x - 8 = -2` en dus `x=0 vv x=3`.
      Oplossing: `x <= 3`.
    1. `text(D)_Q = (:larr,4:) uu (:4,rarr:)`
      `Q` is geen veeltermfunctie omdat de (staart)deling niet op 0 uit komt.
    2. Verticale asymptoot: `x=4`.
      Omdat de hoogste macht in de teller groter is dan in de noemer gaat als `x->+-oo` ook `Q(x)->+-oo`. (`oo` is het symbool voor "oneindig groot".)
    3. `text(B)_Q = (:larr,0] uu [8,rarr:)`.
    1. Nulpunt `(1,0)`.
    2. Staartdeling: `f(x) = x^3 + 9x^2 - 15x + 5 = (x - 1)(x^2 + 10x - 5)`.
      Dus `f(x) = 0` geeft `x=1 vv x = (-10 +- sqrt(120))/2` en dus zijn de andere nulpunten `(-10,48;0)` en `(0,48;0)`.
    3. `f'(x) = 3x^2 + 18x - 15 = 0` geeft `x = (-6 +- sqrt(56))/2`. Toppen: `(0,74;-0,77)` en `(-6,74;208,77)`.
      `f''(x) = 6x + 18 = 0` geeft `x = -3`. Buigpunt `(-3.104)`.
    4. `f'(x) = -5` geeft `x = (-18 +- sqrt(444))/6`. Dus in `(0,51;-0,19)` en `(-6,51;208,19)`.
    5. `f'(0) = 15`
    1. `x^3 - 2x^2 = 3x - 6` geeft `x^2(x - 2) = 3(x - 2)` en dus `x=+-sqrt(3) vv x=2`.
    2. `0,5x^4 + 4x^3 - 6x - 48 = 0` geeft `(x + 8)(0,5x^3 - 6) = 0` en dus `x=-8 vv x = root[3](12)`.
    3. `x^6 - 16x^3 + 60 = (x^3 - 10)(x^3 - 6) = 0` geeft `x = root[3](6) vv x = root[3](10)`.
    4. `(x - 1)(x^2 - 2) = 0` geeft `x=1 vv x=+-sqrt(2)`.
    1. `f_1(x) = x^4 - 2x^2 + 8 = (x^2 - 4)(x^2 + 2)` geeft `x = +-2`. Nulpunten: `(+-2,0)`.
      `f_1'(x) = 4x^3 - 4x = 0` geeft `x=0 vv x=+-1`. Toppen: `(-1,7)`, `(0,8)` en `(1,7)`.
      `f_1''(x) = 12x^2 - 4 = 0` geeft `x=+-sqrt(1/3)`. Buigpunten: `(+-sqrt(1/3),7 4/9)`.
    2. `f_p'(x) = 0` en `f_p(x) = 0` geeft `p=+-sqrt(0,125)`.
    3. `f_p''(x) = 0` en `f_p(x) = 0` geeft `p=+-sqrt(1,44)`.
    1. `h_4(x) = x^2(x + 4)` heeft voor `x=0` en `x=-4` de waarde `0` en dus moet de grafiek door `O` en `A` gaan.
      Voor `x=+-1` heeft deze functie dezelfde waarden als `g_4` en gaat de grafiek door de punten `B` en `C` die bij deze `x`-waarden horen en op de grafiek van `g_4` liggen.
    2. `h_4(x) = x^3 + 4x^2` en `h_4'(x) = 3x^2 + 8x`.
      `h_4'(x) = 0` geeft `x=0 vv x = -8/3`; max.`h_4(-8/3) = 256/27` en min.`h_4(0) = 0`.
    3. Zie het antwoord bij a. De lijnen `x=+-1` en `y=0`.
    4. `h_a'(x) = 3x^2 + 2ax = 0` geeft `x=0 vv x = -2/3a`.
      De toppen zijn `(0,0)` en `(-2/3a,4/27a^3)`. Deze punten voldoen beide aan `y = -1/2 x^2`.
    1. `f_1(x) = x^3 + 12x^2 + 36x` en `f_1'(x) = 3x^2 + 24x + 36`.
      `f_1'(x) = 0` geeft `x=-6 vv x=-2`; max.`f(-6)=0` en min.`f(-2)=-32`.
    2. `f_c'(x) = 0` geeft `x=-6 vv x=-2` en de toppen zijn `(-6,0)` en `(-2,-32c)`.
      `-32c=80` geeft `c=-2,5`.
    3. `f_c''(x) = 6cx + 24c = 0` geeft `x=-4`, dus buigpunt `(-4,-16c)`.
    4. `f_c'(-4) = -12c`, dus de buigraaklijn heeft vergelijking `y = -12cx - 64c`.
      Deze lijn gaat door `(0,80)` als `-64c = 80`, dus `c=-1,25`.
    1. Verticale asymptoten: `x=+-sqrt(10)`.
      Horizontale asymptoot: `y=0`.
    2. Teken de grafiek en bepaal de extremen met de rekenmachine: min.`f(1,6) ~~ 3,2` en max.`f(6,4) ~~ 0,8`.
      Bereik: `(:larr;0,8] uu [3,2;rarr:)`.
    3. `0 < p < 0,8 vv p > 3,2`
    4. `(10x - 40)/(x^2 - 10) = 10x - 40` geeft `10x = 40 vv 1/(x^2 - 10) = 1` en dus `x=4 vv x=+-sqrt(11)`.
      Je vindt `A ~~ (-sqrt(11);-73,17)`, `B ~~ (sqrt(11);-6,83)` en `A = (-4,0)`.
      `OA` is het langst.
    1. `2x^2 + 2xl = 40` en `I = x^2 * l` geeft `I(x) = 20x - x^3`.
    2. `I > 0` en `x > 0` geeft `0 < x < sqrt(20)`.
    3. `I'(x) = 20 - 3x^2 = 0` als `x = +-sqrt(20/3)`.
      `I` is maximaal als `x = sqrt(20/3) ~~ 2,58`. De bijbehorende maximale waarde voor `I` is ongeveer `34,43` m3. Dus `0 < I < 34,43`.
    1. `f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 2) = 0` geeft `x=+-2 vv x=+-sqrt(2)`.
      Nulpunten `(+-2,0)` en `(+-sqrt(2),0)`.
      `f'(x) = 4x^3 - 12x = 0` geeft `x=0 vv x=+-sqrt(3)`.
      Min.`f(+-sqrt(3)) = -1` en max.`f(0)=8`.
    2. `x^4 - 6x^2 + 8 = -2x^2 + 20` geeft `x^4 -4x^2 - 12 = (x^2 - 6)(x^2 + 2) = 0` en dus `x=+-sqrt(6)`. De snijpunten zijn `(+-sqrt(6),8)`.
    3. `-sqrt(6) < x < sqrt(6)`
    4. `f'(x) = g'(x)` geeft `4x^3 - 12x = -4x` en dus `x=0 vv x=+-sqrt(2)`.
      Er zijn dus drie van die waarden.
  17. Met behulp van een staartdeling vind je: `(x + 2)(x^2 + 6x + 6) = 0` en dus `x=-2 vv x=-3+-sqrt(3)`.
    1. `f_4(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 = 0` geeft `x=0 vv x=2`. Nulpunten `(0,0)` en `(2,0)`.
      `f_4'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0` geeft `x=0 xx x=1 vv x=2`. Min.`f_4(0)=f_4(2)=0` en max.`f_4(1)=1`.
      `f_4''(x) = 12x^2 - 24x + 8 = 0` geeft `x=(6 +- sqrt(12))/6`. Buigpunten `((6 +- sqrt(12))/6,4/9)`.
    2. `f_4(x) = mx` en `f_4'(x) = m` geeft `x^4 - 4x^3 + 4x^2 = (4x^3 - 12x^2 + 8x)x`.
      Hieruit volgt `x=0 vv x=2/3 vv x=2` en dan `m=0 vv m=64/81` (`m=0` vervalt).
    3. `f_p'(x) = 0` geeft `x=0 vv x=(6 +- sqrt(36 - 8p))/8`.
      Dit levert drie waarden voor `x` op als `36 - 8p > 0`, dus `p < 4,5`, en er bovendien geen gelijke waarden voor `x` tussen zitten, dus `p != 0`. Met een tekenschema voor `f_p'` kun je nagaan dat er drie extremen zijn als `p < 0 vv 0 < p < 4,5`.
    1. `x = 2 +- sqrt(2) vv x = -1/2`
    2. Nulpunten `(-1/2,0)` en `(2,0)`. Toppen `(1/3,125/27)` en `(2,0)`. Buigpunt `(7/6,125/54)`.
    3. `a=0 vv a=6,25`
    4. `f'(x) = 2a` heeft geen oplossingen voor `x` als `a < -25/12`.