Totaalbeeld

Antwoorden bij de opgaven

    1. Directe formule: `u(n) = 7 * 2^n` met `n = 0, 1, 2, 3, ...`
      Recursieformule: `u(n) = u(n-1) * 2` met `u(0) = 7`.
    2. Directe formule: `u(n) = 3n + 5` met `n = 0, 1, 2, 3, ...`
      Recursieformule: `u(n) = u(n-1) + 3` met `u(0) = 5`.
    1. De rij bij b, want daarvan is elke term (behalve de eerste) steeds 3 groter dan zijn voorganger.
    2. Gebruik de somformule voor een rekenkundige rij: `1/2 * 50 * (5 + 152) = 3925`.
    3. Dit is een meetkundige rij omdat elke term (behalve de eerste) steeds 2 keer zo groot is dan zijn voorganger.
    4. Gebruik de somformule voor een meetkundige rij: `S(49) = 7 * (1 - 2^(50))/(1 - 2) = 7 * (2^(50) - 1)`.
  3. De maatschappij heeft aan Kees verdient:

    `100 * 1,09^(16) + 100 * 1,09^(15) + ... + 100 * 1,09 + 100 = 100 * (1 - 1,09^(17))/(1 - 1,09) ~~ 3697,37`.

    Omdat ze daarvan 3500 euro kwijt zijn, hebben ze winst gemaakt op deze verzekering.
    1. Eigen antwoord waarin in ieder geval moet voorkomen `1,072^(1/12) ~~ 1,0058`.
    2. `n = 12` geeft: `S_(12) = 1,0058^(12) * 100000 - (1 - 1,0058^(12))/(1 - 1,0058)* 2000 ~~ 82 405,78` euro.
    3. Het kapitaal is op als: `1,0058^n * 100000 = (1,0058^(n-1) + 1,0058^(n-2) + ... + 1,0058 + 1) * 2000`.
      Dat is het geval als: `1,0058^n * 100000 = (1-1,0058^n)/(1 - 1,0058) * 2000`.
      Deze vergelijking kun je algebraïsch of met de GR oplossen.
      Algebraïsch: `1,0058^n * 50 * -0,0058 = 1 - 1,0058^n`, dus `0,29 * 1,0058^n = 1` en `1,0058^n ~~ 3,4483`.
      Met behulp van logaritmen vind je: `n ~~ 214,04`.
      Na 214 maanden is het kapitaal ontoereikend om nog een keer een opname te doen. Er is dan echter nog wel een klein restsaldo over, dus helemaal op is het niet, vandaar de aanhalingstekens.
    1. `sqrt(2) * 210 = 296,9849 ~~ 297`.
    2. A3: 420 mm bij 297 mm en `sqrt(2) * 297 = 420,0214 ~~ 420`.
    3. De lengte is dan `b`, de breedte is `1/2 b sqrt(2)`. En `b : 1/2 b sqrt(2) = 1 : 1/2 sqrt(2) = sqrt(2) : 1`.
    4. `1,189 xx 0,841 = 0,999949 ~~ 1` m2.
    5. Recursieformule `l_(n+1) = 1/(sqrt(2)) * l_n` met `l_0 = 1,189` en directe formule `l_n = 1,189 * `(1/(sqrt(2))^n` met `n = 0, 1, 2, 3, ...`
    6. Laat `O_n` de oppervlakte in m2 zijn van A`n`. `O_0 = 1`, `O_1 = 1/2`, dat geeft de rij `1, 1/2, 1/4, 1/8, ...`
      De recursieformule voor de oppervlakte is dus `O_(n+1) = 1/2 * O_n` met `O_0 = 1`. De directe formule is `O_(n) = (1/2)^n` voor `n >= 0`.
    7. Lengte is `a * sqrt(2)` en breedte is `a`, dus de oppervlakte is `a^2 * sqrt(2) = 1`, oftwel `a^2 = sqrt(1/2)` en `a ~~ 0,84089`. Dat geeft een breedte van 841 mm en een lengte van 1189 mm.
    1. De beginhoeveelheid is 100. Als er 4% ontsnapt is er nog 96% aanwezig, dus de directe formule is `H(n) = 100 * 0,96^n`.
    2. Na `n - 1` uur is er nog `100 * 0,96^(n-1)` aanwezig en na `n` uur nog `100 * 0,96^n`. Er is `100 * 0,96^(n-1) - 100 * 0,96^n = 4 * 0,96^(n-1)` ontsnapt in het n-de uur.
    3. Volgens de formule bij a is uitgestroomd: `100 - 100 * 0,96^n` m3 gas.
      Volgens de formule bij b is uitgestroomd `4 + 4 * 0,96 + 4 * 0,96^2 + ... + 4 * 0,96^(n-1) = 4 * (1 - 0,96^n)/(1 - 0,96) = 100 * (1 - 0,96^n)` m3 gas.
      Dat is evenveel.
    1. `50 + 100 + 150 + ... + 850 = 7650` euro.
    2. `350 + 350 * 1,03 + 350 * 1,03^2 + ... + 350 * 1,03^(16) ~~ 7616,56` euro.
    3. `50 * 1,03^(16) + 100 * 1,03^(15) + ... + 800 * 1,03^1 + 850`. Dit is geen rekenkundige of meetkundige rij; gewoon rekenen dus: € 8174,06.
    1. Daling per minuut is `T_(t+1) - T_t = c * (T_t - 20)`.
    2. `T_(t+1) = T_t - 0,05 * (T_t - 20)` invoeren in de GR. De rij nadert `T = 20`.
    3. Als er een grenswaarde `T` is, dan wordt op den duur `T_(t+1) = T_t = T` en dus `T = T - 0,05 * (T - 20)`. Dit levert op `T = 20`.
    4. Na 26 minuten is het verschil minder dan 1°C.
    1. Bij de lineaire hypotheek betaal je 30 keer 8000 euro aflossing en `9600 + 9280 + 8960 + ... + 320 = 1/2 * 30 * (9600 + 320) = 148800` euro rente. In totaal kost deze hypotheek dus € 388800,00.
    2. Bij de annuïteitenhypotheek betaal je 30 keer hetzelfde bedrag `A` (de annuïteit).
      `A` bereken je uit `240000 * 1,04^(30) - A * (1,04^29 + 1,04^28 + ... + 1,04 + 1) = 0`, dus uit `240000 * 1,04^(30) = A * (1 - 1,04^30)/(1 - 1,04)`. Dit geeft `A ~~ 13879,22` en je betaalt dus in totaal € 416376,60.
    3. Leuk voor een werkstuk, praktische opdracht.
    1. `q_A = p(t – 1) – 15`: de aangeboden hoeveelheid hangt af van de prijs van de voorgaande periode van 0,5 jaar.
      `q_V = 400 – 1,5p(t)`: de gevraagde hoeveelheid hangt af van de actuele prijs in de huidige periode.
    2. `t - 1` gaat over de voorgaande periode van 0,5 jaar. De stappen in dit model zijn tijdstappen van 0,5 jaar.
    3. `p = 166`.
    4. `400 - 1,5 p(t) = p(t - 1) - 15` geeft `p(t) = 276 2/3 - 2/3 p(t - 1)`. En ook hieruit volgt de evenwichtsprijs van 166 euro.
  11. Eigen antwoord.
    1. Dag 1: 500 g ureum in het water. 3% eraf geeft 500 - 15 = 485 g.
      Dag 2: 485 + 500 = 985. 3% eraf geeft 955 g.
      Dag 3: 955 + 500 = 1455,455. 3% eraf geeft 1412 g.
      Dag 4: 1412 + 500 = 1912. 3% eraf geeft 1854 g.
      Dag 5: 1854 + 500 = 2354. 3% eraf, geeft ..., enzovoort.
      Bij het begin van de derde dag is er 955 g.
    2. Gedurende de vijfde dag komt het ureumgehalte boven de wettelijke norm van 2 g per m3.
    3. In de loop van de dag komt er 500 g bij en 's nachts verdwijnt 20% van de totale hoeveelheid.
      Je houdt 80% over. Dus `U_n = 0,80 * (U_(n-1) + 500) = 0,8 U_(n-1) + 400`.
    4. Schrijf de recursieformule uit en gebruik de somformule voor een meetkumdige rij.
    5. `2500 * (0,8)^n > 0` voor elke `n >= 0`. Dus `U_n` blijft altijd kleiner dan 2000.
    6. Bij het begin van de achtste dag is er 1580,5696 g ureum aanwezig. In de loop van die dag komt er 500 g bij. Een gedeelte van de achtste dag is het ureumgehalte boven de wettelijke norm van 2000 g.
    1. Met `s = 0,3` en `k = 2` vind je `S_t = 0,3 Y_t` en `K_t = 2 Y_t`.
      `K_(t+1) - K_t = I_t = S_t = 0,3 Y_t = 0,3 * 0,5 K_t` en hieruit volgt het gestelde.
    2. Omdat `Y_t > 1000` moet `K_t > 2000`. Maak met de rekenmachine een tabel bij de differentievergelijking uit a. Je vindt bij `K_16 ~~ 1871,5` en `K_17 ~~ 2152,2`. Dus voor `t = 17`.
    3. Als `s` kleiner wordt dan wordt `I_t = S_t` ook kleiner. Als `S_t` kleiner wordt dan wordt `Delta K_t` ook kleiner. Als `Delta K_t` kleiner wordt dan neemt de groei van het nationaal inkomen af.
      Je kunt ook zo redeneren:
      Uit `Delta K_t = s/n Y_t` volgt dat bij het kleiner worden van `s` ook `Delta K_t` afneemt, etc.