Discrete dynamische modellen

Antwoorden bij de opgaven

1. 1. Discreet omdat het over vaste tijdstappen gaat en dynamisch omdat er sprake is van een verandering in de tijd.
   2. ${\displaystyle K\left(t\right)=1240\cdot {\mathrm{1,005}}^t+50\cdot \frac{1-{\mathrm{1,005}}^t}{1-\mathrm{1,005}}=1240\cdot {\mathrm{1,005}}^t-10000(1-{\mathrm{1,005}}^t)=11240\cdot {\mathrm{1,005}}^t-10000}$
2. 1. Maak een tabel.
   2. Nee.
3. 1. ${\displaystyle K\left(t\right)=\mathrm{1,12}\cdot K(t-1)+1500}$ met ${\displaystyle K\left(0\right)=1500}$.
   2. Het saldo gaat snel omhoog.
   3. Na 10 jaar staat er € 18743,98. Na 11 jaar staat er € 21430,93. Dus na 11 jaar is het kapitaal meer dan € 20000,00.
4. 1. 18% per jaar kappen, betekent 82% per jaar laten staan. Verder worden er jaarlijks 100 nieuwe bomen aangeplant.
   2. Voer de recursieformule in je GR in als u(n)=0.82*u(n-1)+1000 met u(0)=5000.
   3. ${\displaystyle B\left(t\right)=5000\cdot {\mathrm{0,82}}^t+1000\cdot {\mathrm{0,82}}^{t-1}+1000\cdot {\mathrm{0,82}}^{t-2}+...+1000=5000\cdot {\mathrm{0,82}}^t+1000\cdot \frac{1-{\mathrm{0,82}}^t}{1-\mathrm{0,82}}=5000\cdot {\mathrm{0,82}}^t+5555\frac{5}{9}(1-{\mathrm{0,82}}^2)}$, etc.
   4. Als ${\displaystyle t}$ heel groot wordt, dan is ${\displaystyle {\mathrm{0,82}}^t\approx 0}$ en blijft er dus ${\displaystyle B=5555\frac{5}{9}\approx 5556}$ over.
5. 1. Maak een tabel op je GR. Al vrij snel bereikt ${\displaystyle N}$ de grenswaarde 200.
   2. ${\displaystyle N=200}$.
   3. Gewoon proberen op je GR. Je ontdekt waarschijnlijk al snel dat de beginwaarde er niet toe doet.
   4. Nu wordt de grenswaarde 300.
6. 1. ${\displaystyle D\left(t\right)=\mathrm{0,75}D(t-1)+\mathrm{0,32}L(t-1)}$ en ${\displaystyle L\left(t\right)=\mathrm{0,25}D(t-1)+\mathrm{0,68}L(t-1)}$, met ${\displaystyle D\left(t\right)+L\left(t\right)=1}$ (of 100%).
   2. Voer beide rijen in je GR in. Zie voorbeeld 3.
   3. In de evenwichtssituatie is ${\displaystyle D\left(t\right)=D(t-1)=D}$ en ${\displaystyle L\left(T\right)=L(t-1)=L}$. Vul je dit in beide recursieformules in, dan krijg je ${\displaystyle D=\mathrm{1,28}L}$. En omdat ${\displaystyle D+L=1}$ krijg je ${\displaystyle \mathrm{2,28}L=1}$ en dus ${\displaystyle L\approx \mathrm{0,44}}$ en ${\displaystyle D\approx \mathrm{0,56}}$.
7. 1. Neem ${\displaystyle n}$ in maanden. De rente is 5% per jaar, dat is 0,41% per maand. Dus ${\displaystyle S_n=\mathrm{1,0041}\cdot S_{n-1}-2500}$ met ${\displaystyle S_0=500000}$.
   2. Gebruik je GR.
   3. Na 419 maanden heb je nog € 250,27 over en kun je dus geen 2500 euro meer opnemen.
   4. ${\displaystyle S_n=500000\cdot {\mathrm{1,0041}}^n-(2500\cdot {\mathrm{1,0041}}^{n-1}+2500\cdot {\mathrm{1,0041}}^{n-2}+...+2500)=500000\cdot {\mathrm{1,0041}}^n-2500\cdot \frac{1-{\mathrm{1,0041}}^n}{1-\mathrm{1,0041}}\approx 609756-109756\cdot {\mathrm{1,0041}}^n}$.
8. 1. ${\displaystyle K\left(t\right)=\mathrm{1,05}\cdot K(t-1)}$ met ${\displaystyle K\left(0\right)=2000}$.
   2. ${\displaystyle K\left(t\right)=2000\cdot {\mathrm{1,05}}^t}$.
   3. Na 15 jaar.

maand	geslachtsrijp	niet geslachtsrijp	totaal
0	1	0	1
1	1	1	2
2	2	1	3
3	3	2	5
4	5	3	8
5	8	5	13
6	13	8	21

9. 1. Maak een tabel zoals die hiernaast.
      ${\displaystyle A\left(n\right)=A(n-1)+A(n-2)}$ met ${\displaystyle A\left(0\right)=1}$ en ${\displaystyle A\left(1\right)=1}$.
   2. Gebruik je GR.
   3. Na 12 maanden zijn er 233 geslachtsrijpe en 144 niet geslachtsrijpe paren. Er zijn dan 754 konijnen.
10. 1. De toename is recht evenredig met het temperatuursverschil. Dus: ${\displaystyle T(t+1)-T\left(t\right)=c\cdot (20-T\left(t\right))}$.
    2. Na 26 minuten is het verschil minder dan 1°C.
    3. De grenswaarde vind je als ${\displaystyle T(t+1)\approx T\left(t\right)}$, dus als (zie a): ${\displaystyle 20-T\left(t\right)\approx 0}$. Dit betekent ${\displaystyle T\left(t\right)=20}$ als grenswaarde.
11. 1. Een stijging van 90% betekent een groeifactor van 1,90. Dus ${\displaystyle A\left(t\right)=\mathrm{1,90}\cdot A(t-1)}$ met ${\displaystyle A\left(0\right)=3000}$.
    2. De groeifactor is groter dan 1. De groei blijft steeds toenemen.
    3. Gebruik je GR.
    4. Uiteindelijk zal men op 47500 abonnees uitkomen.
12. 1. ${\displaystyle C_t=Y_t-30}$ en dus ${\displaystyle Y_t-30=\mathrm{0,8}{Y}_t+10}$. Dus ${\displaystyle Y_t=\mathrm{0,8}{Y}_{t-1}+40}$.
    2. Gebruik je GR.
    3. ${\displaystyle Y_t=190\cdot {\mathrm{0,8}}^t+40\cdot {\mathrm{0,8}}^{t-1}+40\cdot {\mathrm{0,8}}^{t-2}+...+40=190\cdot {\mathrm{0,8}}^t+40\cdot \frac{1-{\mathrm{0,8}}^t}{1-\mathrm{0,8}}=200-10\cdot {\mathrm{0,8}}^t}$.
    4. Evenwicht betekent ${\displaystyle Y_t=Y_{t-1}=Y}$ en dus ${\displaystyle Y=\mathrm{0,8}Y+40}$ geeft ${\displaystyle Y=200}$.
    5. Het evenwichtsniveau wordt dan 250. Als ${\displaystyle I_t}$ met 10 wordt verhoogt dan wordt het evenwichtsniveau met 50 verhoogd.
13. 1. Neem ${\displaystyle n}$ in maanden. 6% per jaar betekent een groeifactor van ongeveer 1,0049 per maand. Dus ${\displaystyle S_t=\mathrm{1,0049}\cdot S_{t-1}-1500}$ met ${\displaystyle S_0=1000000}$.
    2. Nee, de rij blijft groeien.
    3. ${\displaystyle S_t\approx \mathrm{1308163,21}\cdot {\mathrm{1,0049}}^t-\mathrm{308163,21}}$. (Afhankelijk van afronding.)
14. 1. Ja, de toenames worden kleiner naarmate ${\displaystyle N_t}$ groter wordt.
    2. ${\displaystyle \Delta N_t=N_{t+1}-N_t=c\cdot (5000-N_t)}$, geeft ${\displaystyle N_{t+1}=5000c+(1-c)\cdot N_t}$.
    3. Gegeven is nu: ${\displaystyle N_0=1000}$ en ${\displaystyle N_1=1600}$. Invullen in de recursieformule geeft: ${\displaystyle 1600=5000c+(1-c)\cdot 1000}$, dus ${\displaystyle 4000c=600}$. Dan is ${\displaystyle c=\mathrm{0,15}}$.
    4. Maak een tabel bij de differentievergelijking en bekijk de groei per jaar. Je ziet dat er vanaf het begin ieder jaar er minder meervallen bijkomen.