Meetkundige rijen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Meetkundige rijen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Meetkundige rijen > Uitleg

Opgaven

1. In de Uitleg is sprake van een meetkundige rij.
   1. Hoe kun je aan de directe formule van een rij zien dat hij meetkundig is?
   2. Hoe ziet de recursieformule van een meetkundige rij er altijd uit?


2. Bij meetkundige rijen kun je de som van een aantal termen op een handige manier vinden zonder de grafische rekenmachine te hoeven gebruiken.
   1. Bereken `100 + 200 + 400 + 800 + ... + 12800` op dezelfde manier als in de Uitleg.
   2. Bereken nu `1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^10` op deze manier.


3. Een meetkundige rij ziet er altijd zo uit: `a, a * r, a * r^2, a * r^3, a * r^4, ...`.
   1. Hoe ziet de directe formule van deze rij `u(n)` er uit?
   2. Hoe ziet de recursieformule van deze rij er uit?
   3. Bereken de som van de eerste 10 termen van deze rij.
   4. Bereken de som van de eerste `n` termen van deze rij.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Meetkundige rijen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. Welke van de volgende rijen zijn meetkundig? Geef van elke meetkundige rij de directe formule en het complete recursievoorschrift. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.
   1. `5, 14, 23, 32, 41, ...`
   2. `320, 160, 80, 40, ...`
   3. `10, 2, -6, -14, ...`
   4. `1, 4, 9, 16, ...`
   5. `1, 3, 9, 27, ...`
   6. `2, 6, 18, 54 ...`
   7. `5, 5sqrt(3), 15, 15sqrt(3), 45 ...`


5. In Voorbeeld 2 zie je hoe de somformule voor een meetkundige rij wordt gebruikt. Gegeven is de rij `a_n = 2^n` met `n >= 0`.
   1. Bereken de som van de eerste 20 termen van deze rij met je grafische rekenmachine.
   2. Bereken de som van de eerste 20 termen van deze rij met de somformule voor een meetkundige rij.
   3. Bereken `sum_(n=5)^(9) a_n`. Gebruik weer de somformule.


6. In Voorbeeld 3 gaat het over sparen met een vast jaarlijks spaarbedrag en een vaste jaarlijkse rente.
   Stel je voor dat je vanaf je 16e verjaardag (`t = 0`) elke maand 50 euro op een nieuwe spaarrekening zet. Je krijgt een rente van 0,5% per maand.
   1. Hoeveel heb je twee maanden na je verjaardag op deze spaarrekening staan? En drie maanden na je verjaardag?
   2. Waarom is er telkens sprake van de som van een meetkundige rij?
   3. Stel voor die meetkundige rij een directe formule `B(t)` op. Neem `t` in maanden vanaf je verjaardag.
   4. Bereken met behulp van de somformule voor een meetkundige rij hoeveel je totale saldo `S` na 24 maanden sparen bedraagt.


7. Iemand huurt vanaf 1 januari 2010 een apartement voor € 550,= per maand. Zij houdt rekening met een huurverhoging van 5% per jaar.
   1. Hoeveel moet zij jaarlijks aan huur betalen over het jaar 2011? En over 2012?
   2. Stel een formule op voor de jaarlijks huurbedragen `h_n`, met `n = 0` in 2010.
   3. Hoeveel betaalt ze in totaal aan huur gerekend over de eerste 10 jaar?

Verwerken

8. De rij `t_0, t_1, t_2, ...` is gegeven door `t_n = 3 * 2^(n + 1)`.
   1. Laat zien dat dit een meetkundige rij is.
   2. Schrijf de som van de eerste zeven termen met het Σ-symbool en bereken die som.
   3. Schrijf de som van de daarop volgende zeven termen met het Σ-symbool en bereken die som.


9. Hieronder staan telkens de twee eerste termen van een rekenkundige rij `r(n)` met `n >= 0`. Schrijf bij elk geval de eerste zeven termen op en geef een directe formule voor de rij.
   1. 3, 6
   2. 1, –2
   3. 100, 10
   4. 5, 5
   Bij elk van deze rijen kun je naar de som van een aantal termen kijken.
   5. Bepaal bij elk van deze rijen de som van de eerste 12 termen.
   6. Bepaal bij elk van deze rijen ook `sum_(n=5)^(9) r(n)`.


10. Van een meetkundige rij is de derde term 10 en de zevende term 40. Bepaal een recursieformule en een directe formule voor de rij. Geef duidelijk je nummering aan!
    


11. Twee huurders huren elk een huis tegen een jaarhuur van € 3000 in het eerste jaar. De jaarhuur van huurder A wordt elk jaar met € 140 verhoogt, die van huurder B met 4%.
    1. Stel formules op voor hun jaarhuur in de opeenvolgende jaren.
    2. In welk jaar gaat B meer huur betalen dan A? (Gebruik de grafische rekenmachine).
    3. Hoeveel is A over de eerste tien jaar aan huur kwijt?
    4. Hoeveel is B over de eerste tien jaar aan huur kwijt?


12. Je leent bij een kredietbank een bepaald bedrag tegen een rente van 1,3% per maand.
    Laat zien dat dit overeen komt met een jaarrente van ongeveer 16,8%.
    

Testen

13. Bereken `1024 + 512 + 256 + ... + 4 + 2 + 1`.
    


14. Bereken:
    1. `sum_(i = 0)^(10) (100 * (1/3)^i)`
    2. `sum_(k = 5)^(10) (4 * (-2)^k)`


15. Een wit vierkant van 1 m² wordt in stappen rood gekleurd. In stap 1 wordt de helft gekleurd, in elke volgende stap de helft van het dan nog witte deel.
    
    
    
    
    1. Hoe groot is de oppervlakte van het nog witte deel na drie stappen?
    2. Stel een formule op voor de oppervlakte van het rode deel na `n` stappen.
    3. Na hoeveel stappen is het witte deel kleiner dan 1 cm²?
    Bekijk de drie rijen gevormd door
    1. de lengte van de opeenvolgende witte stukken;
    2. de oppervlakten van die stukken;
    3. de oppervlakten van de opeenvolgende rode stukken.
    4. Ga voor elk van die rijen na of hij rekenkundig of meetkundig is.