Meetkundige rijen

Antwoorden bij de opgaven

    1. Elke term wordt verkregen door de voorgaande term met een vast getal te vermenigvuldigen.
    2. `u(n) = u(n - 1) * r` en `u(0) = a` waarin `r` en `a` constanten zijn.
    1. `100 + 200 + 400 + 800 + ... + 12800 = 100 + 100 * 2^1 + 100 * 2^2 + 100 * 2^3 + ... + 100 * 2^7 = S(7)`
      `S(7) - 2 * S(7) = 100 - 100 * 2^8`, dus `S(7) = 100 * 2^8 - 100 = 25500`.
    2. `1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^10 = S(10)`, dus `S(10) - 2 * S(10) = 1 - 2^11`, zodat `S(10) = 2^11 - 1 = 2047`.
    1. `u(n) = a * r^n` met `n >= 0`.
    2. `u(n) = u(n - 1) * r` en `u(0) = a` waarin `r` en `a` constanten zijn.
    3. `a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^9 = S(9)`.
      `S(9) - r * S(9) = a - a * r^10`, dus `S(9) = (a - a * r^10)/(1 - r)`.
    4. `S(n - 1) = (a - a * r^n)/(1 - r)`
    1. geen meetkundige rij.
    2. meetkundige rij: directe formule `u(n) = 320 * 0,5^n` met `n >=0`; recursieformule `u(n) = u(n-1) * 0,5` met `u(0) = 320`.
    3. geen meetkundige rij.
    4. geen meetkundige rij.
    5. meetkundige rij: directe formule `u(n) = 1 * 3^n` met `n >=0`; recursieformule `u(n) = u(n-1) * 3` met `u(0) = 1`.
    6. meetkundige rij: directe formule `u(n) = 2 * 3^n` met `n >=0`; recursieformule `u(n) = u(n-1) * 3` met `u(0) = 2`.
    7. meetkundige rij: directe formule `u(n) = 5 * (sqrt(3))^n` met `n >=0`; recursieformule `u(n) = u(n-1) * sqrt(3)` met `u(0) = 5`.
    1. Je doet: sum(seq(2^X,X,0,19). Dit geeft een totaal van 1048575.
    2. `S(9) = (1 - 2^20)/(1 - 2) = 1048575`.
    3. `S(9) - S(4) = 1048575 - 31 = 1048544`.
    1. `50 + 50 * 1,05 = 102,50`, dus € 102,50.
      En drie maanden na je verjaardag: `50 + 50 * 1,05 + 50 * 1,05^2 = 155,10`, dus € 155,10.
    2. Wat er maandelijks bij komt is steeds 1,05 keer zo groot dat wat er de maand ervoor bij kwam.
    3. `B(t) = 50 * 1,05^t` met `t = 0, 1, 2, ...`
    4. `S(23) = 50 * (1 - 1,05^24)/(1 - 1,05) ~~ 2225,10` euro.
    1. Over 2011: `6600 * 1,05 = 6930` euro. Over 2012: `6930 * 1,05 = 7276,50` euro.
    2. `h_n = 6600 * 1,05^n`.
    3. `S(9) = 6600 * (1 - 1,05^10)/(1 - 1,05) ~~ 83014,09` euro.
    1. `(t_n)/(t_(n - 1)) = 2`
    2. `S(6) = sum_(n=0)^(6) 3 * 2^(n+1) = sum_(n=0)^(6) 6 * 2^n = 6 * (1 - 2^7)/(1 - 2) = 762`.
    3. `S(13) - S(6) = 98298 - 762 = 97536`.
    1. `3, 6, 12, 24, 48, 96, 192` en `m_(n) = 3 * 2^n`.
    2. `1, -2, 4, -8, 16, -32, 64` en `m_(n) = (-2)^n`.
    3. `100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001` en `m_ n = 100 * (0,1)^n`.
    4. `5, 5, 5, 5, 5, 5, 5` en `m_n = 5`.
    5. 12285 | –1365 | 111,111... | 60
    6. 2976 | –352 | 0,00111... | 25
  10. Begin met nummeren bij nul. Dan `t(2) = ar^2 = 10` en `t(6) = ar^6 = 40`. Dat geeft `40 = 10r^4`, dus `r = +- sqrt(2)`. Dus `ar^2 = a * 2 = 10` en dat levert `a = 5`.
    De directe formule voor de rij is `t(n) = 5 * (sqrt(2))^n` met `n >= 0`.
    De recursieformule voor de rij is `t(n+1) = t(n) * sqrt(2)` met `t(0) = 5`.
    1. `h_A(n) = 3000 + 140n` en `h_B(n) = 3000 * (1,04)^n` met `n >= 0`.
    2. `h_A(8) = 4120` en `h_B(8) = 4105,71`. Maar `h_A(9) = 4260` en `h_B(9) = 4269,94`. Dus in het negende jaar.
    3. `S_A(9) = 1/2 * 10 * (3000 + 4260) = 36300` euro.
    4. `S_B(9) = 3000 * (1 - 1,04^10)/(1 - 1,04) ~~ 36018,32` euro.
  12. `1,3 + 1,3 * 1,03 + 1,3 * 1,03^2 + ... + 1,3 * 1,03^11 ~~ 16,8`.
  13. `1024 + 512 + 256 + ... + 4 + 2 + 1 = 2^10 + 2^9 + ... + 2^2 + 2^1 + 2^0 = 2047`.
    1. `sum_(i = 0)^(10) (100 * (1/3)^i) ~~ 149,999`
    2. `sum_(k = 5)^(10) (4 * (-2)^k) = 15325`
    1. Na 3 stappen is nog `1/8` deel wit en dus `7/8` deel rood.
    2. Na `n` stappen is nog `(1/2)^n` deel wit. Rood is dan `R(n) = 1 - (1/2)^n` m2.
    3. Na 14 stappen.
    4. Eerste rij: Als er wordt gekleurd zoals in de figuur, dan zijn die lengtes `1, 1, 1/2, 1/2, 1/4, 1/4, ...`. Dit is geen rekenkundige en geen meetkundige rij.
      Tweede rij: `1, 1/2, 1/4, 1/8, ...` is een meetkundige rij.
      Derde rij: `0, 1/2, 3/4, 7/8, ...` is geen meetkundige en geen rekenkundige rij.