Rekenkundige rijen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Rekenkundige rijen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Rekenkundige rijen > Uitleg

Opgaven

1. In de Uitleg is sprake van een rekenkundige rij.
   1. Hoe kun je aan de directe formule van een rij zien dat hij rekenkundig is?
   2. Hoe ziet de recursieformule van een rekenkundige rij er altijd uit?


2. Bij rekenkundige rijen kun je de som van een aantal termen op een handige manier vinden zonder de grafische rekenmachine te hoeven gebruiken.
   1. Bereken `100 + 150 + 200 + 250 + ... + 900` op dezelfde manier als in de Uitleg.
   2. Bereken nu `1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100` op deze manier.


3. Een rekenkundige rij ziet er altijd zo uit: `a, a + v, a + 2 * v, a + 3 * v, a + 4 * v, ...`.
   1. Hoe ziet de directe formule van deze rij `u(n)` er uit?
   2. Hoe ziet de recursieformule van deze rij er uit?
   3. Bereken de som van de eerste 10 termen van deze rij.
   4. Bereken de som van de eerste `n` termen van deze rij.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Rekenkundige rijen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. Welke van de volgende rijen zijn rekenkundig? Geef van elke rekenkundige rij de directe formule en het complete recursievoorschrift. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1.
   1. `5, 14, 23, 32, 41, ...`
   2. `320, 160, 80, 40, ...`
   3. `10, 2, -6, -14, ...`
   4. `1, 4, 9, 16, ...`
   5. `1, 3, 9, 27, ...`
   6. `2, 6, 18, 54 ...`
   7. `5, 5sqrt(3), 15, 15sqrt(3), 45 ...`


5. In Voorbeeld 2 zie je hoe de somformule voor een rekenkundige rij wordt gebruikt. Gegeven is de rij `h_n = 2400 + 50n` met `n >= 0`.
   1. Bereken de som van de eerste 10 termen van deze rij met je grafische rekenmachine.
   2. Bereken de som van de eerste 10 termen van deze rij met de somformule voor een rekenkundige rij.
   3. Bereken `sum_(n=5)^(9) h_n`. Gebruik weer de somformule.


6. Janna is net 16 geworden en wil graag een scooter kopen. Ze leent daartoe op 1 juli 2011 € 2500 van de bank. Ze zal dit terug betalen in 25 maandelijkse termijnen van 100 euro. Maar de bank vraagt rente: elke maand 1% over het bedrag dat op dat moment nog niet is afgelost.
   1. Hoeveel moet Janna op 1 augustus aan de bank betalen?
   2. En hoe groot is dat bedrag op 1 september? En op 1 oktober?
   3. Waarom heet dit wel een lineaire aflossingsvorm?
   4. De rij met te betalen bedragen is een rekenkundige rij. Stel voor die rij een directe formule `B(t)` op. Neem `t = 0` op 1 juli 2011 en geef aan welke waarden `t` aanneemt.
   5. Bereken met behulp van de somformule voor een rekenkundige rij hoeveel Janna in totaal aan de bank betaalt voor haar scooter.


7. Je ziet in Voorbeeld 3 hoe je een formule kunt opstellen voor de som van een deel van een rekenkundige rij `u(n) = a + n * v` met `n >= 0`.
   1. Stel een formule op voor `S(20)`.
   2. Stel een formule op voor `sum_(n=10)^(20) u(n)`.

Verwerken

8. De rij `t_0, t_1, t_2, ...` is gegeven door `t_n = 5n + 2`.
   1. Laat zien dat dit een rekenkundige rij is.
   2. Schrijf de som van de eerste zeven termen met het Σ-symbool en bereken die som.
   3. Schrijf de som van de daarop volgende zeven termen met het Σ-symbool en bereken die som.


9. Hieronder staan telkens de twee eerste termen van een rekenkundige rij `r(n)` met `n >= 0`. Schrijf bij elk geval de eerste zeven termen op en geef een directe formule voor de rij.
   1. 5, 7
   2. 5, 2
   3. 1, `9/10`
   4. 5, 5
   Bij elk van deze rijen kun je naar de som van een aantal termen kijken.
   5. Bepaal bij elk van deze rijen de som van de eerste 12 termen.
   6. Bepaal bij elk van deze rijen ook `sum_(n=5)^(10) r(n)`.


10. Van een rekenkundige rij is de derde term 10 en de zevende term 22. Bepaal een recursieformule en een directe formule voor de rij. Geef duidelijk je nummering aan!
    


11. Iemand koopt een huis voor € 240.000. Dit geld leent hij bij een bank, dat heet een hypotheek. Hij komt met de bank overeen dat hij deze hypotheek in 30 jaar volledig aflost in even grote bedragen per jaar. Daar bovenop moet hij de bank jaarlijks rente betalen over zijn schuld van dat jaar, het renteprecentage wordt voor 30 jaar vastgezet op 4%. Om het eenvoudig te houden is `t = 0` het moment waarop hij het geld leent en begint zijn aflossing een jaar later op `t = 1`.
    1. Hoeveel moet deze persoon op `t = 1` aan de bank betalen aan aflossing en rente?
    2. En hoe groot is dat bedrag op `t = 2`? En op `t = 3`?
    3. Waarom heet dit wel een lineaire hypotheek? En waarom komt hij niet veel voor?
    4. De rij met te betalen bedragen is een rekenkundige rij. Stel voor die rij een directe formule op. Geef aan welke waarden `t` aanneemt.
    5. Bereken met behulp van de somformule voor een rekenkundige rij hoeveel hij in totaal aan de bank betaalt voor dit huis.

Testen

12. Bereken `1024 + 1022 + 1020 + ... + 4 + 2`.
    


13. Bereken:
    1. `sum_(i = 0)^(20) (8 + 1/3 i)`
    2. `sum_(k = 1)^(100) (5 + 2k)`


14. Samir koopt een nieuwe PC. Hij leent daartoe op 1 januari 2010 € 800 van de bank. Hij moet dit terug betalen in 16 maandelijkse termijnen. Maar de bank vraagt rente: elke maand 1% over het bedrag dat op dat moment nog niet is afgelost.
    1. Hoeveel moet hij op 1 maart 2010 aan de bank betalen?
    2. De rij met te betalen bedragen is een rekenkundige rij. Stel voor die rij een directe formule `B(t)` op. Neem `t = 0` op 1 januarie 2010 en geef aan welke waarden `t` aanneemt.
    3. Bereken met behulp van de somformule voor een rekenkundige rij hoeveel Samir in totaal aan de bank betaalt voor zijn PC.