Verschilrijen en somrijen

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Verschilrijen en somrijen > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Verschilrijen en somrijen > Uitleg

Opgaven

1. In de Uitleg is sprake van rijen van verschillen. Die verschilrijen maak je met je grafische rekenmachine. Maar dan moet je wel de directe formule van de rij hebben.
   1. Maak de verschilrij `V_1` bij `h_1`. Hij is nogal saai. Waarom is dat zo?
   2. Maak nu de verschilrij `V_2` bij `h_2`.
   3. Hoeveel is `V_2(5)`?
   4. Waarom bestaan `V_1(0)` en `V_2(0)` eigenlijk niet?


2. De verschilrijen in de Uitleg gaan over de jaarlijkse huurverhoging. Maar je kunt ook kijken naar het totaalbedrag dat je gerekend over een aantal jaren kwijt bent aan huur. Je moet daarvoor de termen van de rijen `h_1` en `h_2` optellen.
   1. `S_1(5) = h_1(0) + h_1(1) + h_1(2) + h_1(3) + h_1(4) + h_1(5)`. Hoe kun je dit korter opschrijven?
   2. Bereken `S_1(5)` met je grafische rekenmachine. Wat stelt dit bedrag precies voor?
   3. Bereken ook `S_2(5)` met je grafische rekenmachine.
   4. Is de procentuele huurverhoging de eerste zes jaar gunstiger?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Discrete wiskunde > Rijen > Verschilrijen en somrijen > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

3. In Voorbeeld 1 worden de verschil en som van een rij met huurprijzen nog eens bekeken.
   1. De nummering van de huurprijzen begint bij 0. Hoe zit dat met de verschilrij? En met de somrij?
   2. Maak een tabel van de verschilrij zonder er eerst een formule voor af te leiden.
   3. Voer zelf de afleiding van de formule voor de verschilrij uit. Ga na, dat de waarden van die verschilrij overeen komen met de tabel bij b.
   4. Leg uit, waarom de totale huurprijs over de eerste 10 jaren `S(9)` is en niet `S(10)`.
   5. Bereken met je grafische rekenmachine `sum_(n=0)^(8) 2880 * 1,02^n`. Wat heb je nu precies berekend?


4. In Voorbeeld 2 wordt de rij kwadraten bekeken.
   1. Leid zelf de formule voor de verschilrij `V_n` af. Waarom moet `n >= 2`?
   2. Bereken `V_100` zowel met behulp van de formule voor `V_n` als vanuit de kwadratenrij zelf.
   Bekijk nu de rij met derde machten: `d_n = n^3` voor `n >= 1`.
   3. Leid een formule af voor de verschilrij van `d_n`.
   4. Je ziet in Voorbeeld 2 hoe je door naar de verschilrij te kijken een recursieformule voor de kwadratenrij kunt maken. Maak nu een recursieformule voor de rij met derde machten.


5. In Voorbeeld 3 maak je kennis met de rij van Fibonacci. Je zult er later nog toepassingen van tegenkomen.
   1. Stel zelf de recursieformule van deze rij op.
   2. Bereken nu met je grafische rekenmachine de som van de eerste 20 termen van de rij van Fibonacci.


6. Gegeven is de rij `t(i) = 5i + 2` voor `i >= 0`.
   1. Stel een formule op voor de verschilrij `V(i)`.
   2. Bereken `sum_(i=0)^(5) t(i)`. Is dit nu de vierde, vijfde of de zesde term van de somrij `S(i)`? Is het `S(4)`, `S(5)` of `S(6)`?
   3. Welke termen van `t(i)` moet je optellen om `sum_(i=2)^(5) t(i)` te berekenen? Waarom is dit gelijk aan `S(5) - S(1)`?

Verwerken

7. Gegeven is de rij `t(n) = 2n + 1` met `n >= 0`.
   1. Schrijf de eerste zes termen van de verschilrij `V(n)` op.
   2. Schrijf de eerste zes termen van de somrij `S(n)` op.
   3. Bereken `S(19)`.
   4. Bereken `sum_(n=10)^(19) t(n)`.


8. Bekijk de rij 2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...
   Je hoeft niet op zoek te gaan naar een directe formule, hoewel die wel is te vinden. De `n`de term van deze rij is `u(n)` met `n >= 0`.
   1. Welke verschilrij hoort er bij deze rij?
   2. Beschrijf de verschilrij met een directe formule.
   3. Leid nu voor `u(n)` een recursieformule af.
   4. `S(n)` is de bijbehorende somrij. Bereken `S(20)`.
   5. Bereken ook `sum_(n=15)^(20) u(n)`.


9. Dit toenamediagram kun je opvatten als de weergave van zes termen van een verschilrij.
   1. Schrijf de grootte (ongeveer) van deze termen op.
   2. Stel dat de beroepsbevolking aan het begin van 1997 bestond uit 3 miljoen personen. Hoe groot ongeveer was dan de beroepsbevolking aan het eind van 1997? En aan het eind van 1999?
   3. Is er een verband tussen toenamediagrammen en verschilrijen?
   4. Welke uitspraken over de periode 1997 tot en met 2002 hieronder zijn juist?
      1. De beroepsbevolking is elk jaar toegenomen.
      2. Over de hele periode is de beroepsbevolking afgenomen.
      3. In 2002 is de beroepsbevolking minder toegenomen dan in 2001.
      4. Aan het eind van 2002 was de beroepsbevolking kleiner dan aan het eind van 2001.


10. De rij `t_0, t_1, t_2, ...` is gegeven door `t_n = 0,5n^2 + 1,5n + 1`.
    1. Schrijf de eerste tien termen van deze rij op.
    2. Schrijf de eerste negen termen op van de verschilrij.
    3. Schrijf de eerste acht termen op van de verschilrij van die verschilrij.
    Bekijk nu de rij `u_0, u_1, u_2, ...` met `u_n = n^2 + 5n`.
    4. Bepaal weer een stuk van de verschilrij en de verschilrij van de verschilrij. Is er een overeenkomst met het antwoord van c? Geef een verklaring?

Testen

11. De rij `u_0, u_1, u_2, ...` is gegeven door de directe formule `u_n = n^2 - n`.
    1. Bereken de eerste vijf termen van de verschilrij `V_n` van deze rij.
    2. Stel een directe formule op voor `V_n`. Maak hiermee een recursieformule voor `u_n`.
    3. Bereken de eerste vijf termen van de somrij van deze rij.
    4. Bereken `sum_(n=6)^(8) u_n`.