Meer exponentiële functies

Inleiding

De basisfunctie van alle exponentiële functies is f(x) = gx met g > 0. Alle andere exponentiële functies kunnen uit f ontstaan door transformatie.
Ze hebben allemaal de vorm y = b · gx + d.
Je zult zien dat deze exponentiële functies wel degelijk nulpunten kunnen hebben...

Je leert nu:

Je kunt al:

Verkennen

Laat zien dat de volgende functies inderdaad kunnen worden geschreven in de vorm y = b · gx + d.

> y1 = 1 – 3 ·0,5x
> y2 = 3 · 0,52x – 1 – 4

Uitleg

De basisfunctie van alle exponentiële functies is y = gx met g > 0. Hier zie je de grafiek met g = 2.
De functies f(x) = b · gx + d hebben een grafiek die uit die van y = gx kan ontstaan:

‡

Opgaven

  1. Bekijk de Uitleg. Het gaat daar over exponentiële functies van de vorm `y = b * g^x + d`. Kies je `b=3`, `g=2` en `d=0` dan krijg je `y = 3 * 2^x`.
    1. Maak met je GR de grafieken van `y_1=2^x` en `y_2=3*2^x`.
    2. Leg uit, dat voor elke waarde van `x` geldt: `y_2=3*y_1`.
    De grafiek van `y_2` onstaat uit die van de bijbehorende basisfunctie `y_1=2^x` door vermenigvuldigen in de `y`-richting. Dit is een voorbeeld van een transformatie van `y_1`. Een ander voorbeeld is een verschuiving in de `y`-richting.
    1. Neem `b=3`, `g=2` en `d=1`. Welk functievoorschrift `y_3` krijg je? Welke twee transformaties moet je toepassen om de grafiek van `y_3` uit die van `y_1=2^x` te laten ontstaan?

  2. Bekijk de functie met voorschrift `f(x) = 6 * 2^(-2x - 1) - 12`.
    1. Herschrijf het functievoorschrift tot het de vorm `y = b * g^x + d` heeft.
    2. Uit welke basisfunctie kan de grafiek van `f` door transformaties ontstaan? Welke transformaties moet je dan toepassen?
    3. Bereken met behulp van de grafische rekenmachine het nulpunt van de grafiek van `f`.
    4. Dit nulpunt had je ook wel algebraïsch kunnen vinden. Laat zien hoe.

Theorie

Elke exponentiële functie heeft een functievoorschrift dat kan worden geschreven in de vorm f(x) = b · gx + d.

Hierbij moet je soms gebruik maken van de rekenregels voor machten.
De grafiek van f is te tekenen door op die van y = gx de volgende transformaties toe te passen:

De grafiek van f heeft daarom als horizontale asymptoot de lijn y = d.
Het eventuele nulpunt vind je door b · gx + d = 0 op te lossen. Vaak heb je daarvoor de rekenmachine nodig.

‡

Voorbeeld 1

Gegeven de functie f met voorschrift f(x)= 60 · 2x – 480.

Breng de grafiek in beeld met de grafische rekenmachine en bepaal de vergelijking van de asymptoot.
Los op: f(x) < 0.

Antwoord

De grafiek van f kan onstaan uit die van y = 2x door

De horizontale asymptoot is daarom y = –480.
Bij een venster van [–10,10]×[–500,500] komt de grafiek goed in beeld.

f(x) = 0 als 60 · 2x – 480 = 0, dus als 60 · 2x = 480.
Als je beide zijden van deze vergelijking door 60 deel, vind je 2x = 8.
Omdat 8 = 23 is, kun je de oplossing zonder rekenmachine vinden: x = 3.

Uit de grafiek volgt nu de oplossing van de ongelijkheid: x < 3.

‡

Voorbeeld 2

Gegeven de functie g met voorschrift g(x) = 16 – 2 · 2–x + 1.

Laat zien hoe deze functie door transformatie kan ontstaan uit een basisfunctie van de vorm y = gx.
Los op: g(x) < 0.

Antwoord

Eerst herschrijven:
g(x) = 16 – 2 · 2–x + 1 = –2 · 2–x · 21 + 16 = –4 · (2–1)x + 16 = –4 · 0,5x + 16.

De functie g(x) = –4 · 0,5x + 16 kan ontstaan door transformatie van y = 0,5x:

Voor het oplossen van g(x) = 0 is het oorspronkelijke voorschrift handiger:
16 – 2 · 2–x + 1 = 0 geeft: 16 = 2 · 2–x + 1.
Nu is 16 = 24, dus staat hier: 24 = 2–x + 2.
Dit betekent dat: 4 = –x + 2 zodat x = –2.

Uit de grafiek volgt de oplossing van de ongelijkheid: x < –2.

‡

Voorbeeld 3

Een kop hete koffie komt uit een automaat. De koffie koelt af tot kamertemperatuur. De afkoeling gaat in het begin snel. Naarmate het temperatuurverschil tussen koffie en omgeving kleiner wordt, gaat de afkoeling trager.
De temperatuur hangt af van de tijd waarin de koffie afkoelt.
De functie K(t) = 60 · 0,998t + 20 beschrijft de temperatuur van de koffie in een omgeving van 20°C. Hierin is t de tijd in seconden nadat de koffie uit de automaat komt.

De meeste mensen vinden koffie niet lekker als de temperatuur is gedaald tot beneden de 50°C.
Na hoeveel seconden is dat het geval?

Antwoord

Op t = 0 is de K(0) = 80°C.
De temperatuur daalt langzaam richting de 20°C.

De vergelijking 60 · 0,998t + 20 = 50 kun je met de grafische rekenmachine oplossen, je kunt er ook eerst 0,998t = 0,5 van maken.
Ga na, dat je vindt: t ≈ 346.

Conclusie: na ongeveer 346 seconden (5 minuten en 46 seconden) is de koffie voor de meeste mensen niet meer lekker.

‡

Opgaven

  1. Bestudeer eerst Voorbeeld 1.
    Bekijk de grafieken van:
    `f(x) = (1/3)^x`, `g(x) = 1/2 * (1/3)^x` en `h(x) = 1/2 * (1/3)^x - 5`
    1. Hoe kun je de grafiek van `g` door transformatie laten ontstaan uit die van `f`?
    2. Hoe kun je de grafiek van `h` krijgen door transformatie van de grafiek van `f`?
    3. Welke lijn is asymptoot van de grafiek van `h`?
    4. Geef het domein en het bereik van de functie `h`.
    5. Vereenvoudig de vergelijking `1/2 * (1/3)^x - 5 = 1000` en los hem op.
    6. Los op: `1/2 * (1/3)^x - 5 > 1000`.

  2. De grafiek van de functie `f(x) = 2 * 2^(x+1) - 1` kun je door transformatie uit de grafiek van de functie `g(x) = 2^x` laten ontstaan. Je herschrijft eerst het functievoorschrift van `f` tot `f(x) = 4 * 2^x - 1`. Zie Voorbeeld 2.
    1. Leg uit hoe dat in zijn werk gaat.
    2. Beschrijf nu hoe je door transformatie de grafiek van `f` kunt laten ontstaan uit die van `g`.
    3. Het punt `(0,1)` op de grafiek van `g` wordt na de transformaties een punt op de grafiek van `f`. Bereken de coördinaten van dit punt.
    4. Schrijf nu de horizontale asymptoot en het domein en het bereik van `f` op.

  3. Je hebt allerlei technieken geleerd om vergelijkingen algebraïsch op te lossen. In dit hoofdstuk moet je vaak ook werken met de rekenregels voor machten. Hier zie je daarvan een voorbeeld:
    `4 * (1/2)^(1 - x) - 2 sqrt(2) = 7 sqrt(2)`
    `4 * (1/2)^(1 - x) = 8 sqrt(2)`
       `(1/2)^(1 - x) = 2 sqrt(2)`
       `(2^(-1))^(1 - x) = 2^(1 1/2)`
       `(2)^(x - 1) = 2^(1 1/2)`
         `x - 1 = 1 1/2`
           `x = 2 1/2`
    1. Leg stap voor stap uit wat er gebeurt.
    2. Los zelf deze vergelijking algebraïsch op: `4 * 3^x + 6 = 330`
    3. Los algebraïsch op: `sqrt(2) * (1/3)^(x+1) = 27 sqrt(6)`

  4. Los de ongelijkheid `40 * (1/3)^x + 100 = 110` op.
    Vereenvoudig de vergelijking eerst zover mogelijk en gebruik pas daarna als dat nodig is de grafische rekenmachine.

  5. Bekijk eerst Voorbeeld 3.
    Een thermoskan wordt 's morgens om 8:00 uur gevuld met koffie van 80°C. De koffie in de thermoskan koelt af volgens de formule:
    `T(t) = 20 + 60 * 0,83^t`
    Hierin is `T` de temperatuur in graden Celsius en `t` het aantal uren na 8:00 uur.
    1. Ga ervan uit dat de koffie niet meer lekker is als de temperatuur beneden de 50°C komt. Tot hoe laat is de koffie te drinken? Bereken dit tot op een kwartier nauwkeurig.
    2. Hoe kun je aan het functievoorschrift zien dat de koffie bij het vullen van de thermoskan een temperatuur had van 80°C?
    3. Hoe kun je aan het functievoorschrift zien dat de temperatuur van de koffie daalt?
    4. Bekijk de grafiek van `T(t)`. Hoe kun je de grafiek van `T` uit die van `T = 0,83^t` laten ontstaan door transformatie?
    5. Hoe lang duurt het voor de koffie een temperatuur bereikt van 21°C?
    6. Welke lijn is asymptoot van de grafiek van `T(t)`?
    7. De koffie staat in een woonkamer. Kun je aan het functievoorschrift van `T(t)` zien wat de temperatuur is van de woonkamer?

Verwerken

  1. Gegeven zijn de functies `f(x) = 2^(x-2) - 3` en `g(x) = 4 * 0,5^(x-3) - 1`.
    1. Herschrijf beide functievoorschriften tot de vorm `y = b * g^t + d`. Hoe ontstaan de grafieken van `f` en `g` door transformatie uit grafieken van bijpassende basisfuncties?
    2. Los algebraïsch op: `f(x) = -2 7/8`
    3. Los op: `g(x) > 1,5`. Rond in het antwoord af op twee decimalen.
    4. Welke waarden neemt `g(x)` aan voor `x <= 4`?

  2. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op. Vereenvoudig eerst zover mogelijk en geef daarna de oplossing in twee decimalen nauwkeurig.
    1. `5^x = 10`
    2. `5^x <= 10`
    3. `3 * 5^x + 5 = 10`
    4. `3 * 5^x + 5 > 10`
    5. `(1/3)^x = 2`
    6. `(1/3)^x > 2`
    7. `5 * (1/3)^x - 8 = 2`
    8. `5 * (1/3)^x - 8 < 2`

  3. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden algebraïsch op:
    1. `5 * 10^x = 5000`
    2. `3 * 2^p - 2 = 46`
    3. `6 * (5^t + 5) = 180`
    4. `162 * (1/3)^x > 2`
    5. `7 + 16 * 1,5^x <= 43`
    6. `10 * (1/2)^x >= 160`

  4. Los algebraïsch op als dat mogelijk is. Geef anders een benadering met twee cijfers achter de komma.
    1. `4 * 0,5^x - 1 < 0`
    2. `2 * 2^(-x + 1) - 1 > 0`
    3. `6 * 0,25^x - 4 >= 0,75`
    4. `3 * 0,5^(2x - 1) - 4 < -3,25`
    5. `3,5^(x + 50) - 0,5 > 3`
    6. `-2^x + 1 >= -7`
    7. `3^(x - 4) < 1/9 sqrt(3)`

  5. Een patiënt krijgt via een infuus een medicijn toegediend. De formule
    `A(t) = 540 - 540 * 0,95^t`
    geeft de hoeveelheid `A(t)` in mg van het medicijn die na `t` minuten in het bloed aanwezig is.
    1. Hoe zie je aan de formule dat de grafiek van `A(t)` stijgend is?
    2. Geef de vergelijking van de asymptoot van de grafiek van `A(t)`.
    3. Maak duidelijk dat `A(t)` niet exponentieel toeneemt.
    4. Na hoeveel minuten (in gehelen) is 75% van de maximale hoeveelheid medicijn in het bloed opgenomen?

Testen

  1. Bekijk de volgende functies
    `f(x)=2^x`, `g(x)=3*2^x - 7` en `h(x)=3*(2^x - 7)`
    1. Beschrijf welke transformaties je moet uitvoeren om de grafiek van `g` te krijgen uit de grafiek van `f`.
    2. Welke lijn is asymptoot van de grafiek van `g`? Schrijf domein en het bereik van `g` op.
    3. Los op: `g(x) >= 100`.
    4. Beschrijf welke transformaties je moet uitvoeren om de grafiek van `h` te krijgen uit de grafiek van `f`.
    5. Welke lijn is asymptoot van de grafiek van `h`? Schrijf domein en het bereik van `g` op.
    6. Los op: `h(x) < 100`.

  2. Ga uit van de functie `g(x) = (1/2)^x`.
    1. Beschrijf welke transformaties je moet uitvoeren om de grafiek van de functie `f(x) = -3 * (1/2)^x + 5 te` krijgen uit die van `g`.
    2. Hoe kun je aan het functievoorschrift van `f` zien dat de grafiek daalt?
    3. Welke lijn is asymptoot van de grafiek van `f`? Wat is het bereik van `f`?
    4. Bereken het snijpunt van de grafiek van `f` met de `x`-as.
    5. Los op: `f(x) <= 0`

  3. Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op als dat mogelijk is. Rond anders af op twee decimalen nauwkeurig.
    1. `(1/3)^x < 9`
    2. `1/2 * (1/3)^x > 1/18`
    3. `1/2 * (1/3)^x - 5 > 10`
    4. `5 * (1/3)^(x + 2) > 10`

  4. Gegeven zijn de functies `f(x) = 2^x - 2` en `g(x) = (1/2)^(x - 1) + 2`.
    1. Geef het bereik van de functies `f` en `g`.
    2. Los op: `g(x) <= 5`. Rond in het antwoord af op twee decimalen.