Exponentiële functies

Inleiding

De formules die je typisch bij exponentiële groei tegenkomt zijn voorbeelden van exponentiële functies. Je gaat daarom nu dit type functies nader bestuderen. In plaats van "groeifactor" zal nu vaak "grondtal" worden gezegd, nog steeds is dit grondtal een positief getal.

Je leert nu:

wat een exponentiële functie is;
de karakteristieken van exponentiële functies bepalen;
vergelijkingen en ongelijkheden met exponentiële functies oplossen.

Je kunt al:

werken met formules voor exponentiële groei en afname;
de rekenregels voor machten gebruiken;
werken met functies en grafieken.

Verkennen

Bij bacteriegroei in een petrischaaltje kan het verloop van de hoeveelheid bacteriën B in gram worden gegeven door de formule B = 6 · 2^t met t in uren.
Bekijk nu de grafiek van f(x) = 6 · 2^x.

> Welke snijpunten met de assen heeft deze grafiek?
> Zijn er extremen?
> Zijn er asymptoten?
> Welke karakteristieken hebben functies van de vorm f(x) = b · g^x? En hoe hangt dat af van de waarden van g?

Uitleg

Met je grafische rekenmachine kun je grafieken bekijken van functies van de vorm f(x) = b · g^x.
Deze functies komen o.a. voor bij exponentiële groei en heten exponentiële functies. Je ziet dan voor positieve waarden van b:

als g > 1 is de grafiek voortdurend stijgend;
als g = 1 is de grafiek constant;
als 0 < g < 1 is de grafiek voortdurend dalend;
er zijn geen nulpunten, de x-as is een horizontale asymptoot;
er zijn geen extremen.

Je moet dit natuurlijk zorgvuldiger beredeneren dan alleen op grond van een grafiek.
Dan bedenk je dat door vermenigvuldigen met een getal dat groter is dan 1 elk positief getal alleen maar groter kan worden. Neemt x toe, dan wordt f(x) dus groter. Neemt x af, dan wordt f(x) kleiner, maar nooit negatief of 0. Vandaar dat er geen nulpunt, wel een asymptoot is.
Een vergelijkbare redenering geldt voor 0 < g < 1.
Bedenk zelf hoe dit allemaal zit voor negatieve b.

‡

Opgaven

In de Uitleg wordt gesteld dat je de grafieken van functies van de vorm `f(x) = b * g^x` met je grafische rekenmachine kunt bekijken.
1. Neem `b=1` en `g=2`. Welke functievoorschrift krijg je? Heeft de grafiek van deze functie nulpunten? Welke lijn is de asymptoot van de grafiek van `f`? Is de grafiek stijgend of dalend?
2. Neem `b=1` en `g=3`. Welke functievoorschrift krijg je? Heeft de grafiek van deze functie nulpunten? Welke lijn is de asymptoot van de grafiek van `f`? Is de grafiek stijgend of dalend?
3. Neem `b=1` en `g=1`. Welke functievoorschrift krijg je? Heeft de grafiek van deze functie nulpunten? Waarom heeft de grafiek van `f` nu geen asymptoot?
4. Neem `b=1` en `g=0,5`. Welke functievoorschrift krijg je? Heeft de grafiek van deze functie nulpunten? Welke lijn is de asymptoot van de grafiek van `f`? Is de grafiek stijgend of dalend?
5. Neem `b=2` en `g=1,5`. Welke functievoorschrift krijg je? Heeft de grafiek van deze functie nulpunten? Welke lijn is de asymptoot van de grafiek van `f`? Is de grafiek stijgend of dalend?
6. Neem `b=-2` en `g=1,5`. Welke functievoorschrift krijg je? Heeft de grafiek van deze functie nulpunten? Welke lijn is de asymptoot van de grafiek van `f`? Is de grafiek stijgend of dalend?

Welke eigenschappen heeft een functie van de vorm `f(x) = b * g^x` als `b < 0`? (Maak ook nu weer verschil tussen `g > 1`, `g = 1` en `0 < g < 1`.

Theorie

De grafiek van de exponentiële functie f(x) = b · g^x heeft de volgende karakteristieken:

De grafiek snijdt de y-as in het punt (0, b).
Als b > 0 en g > 1, is de grafiek stijgend. Naar links (voor afnemende x) benadert de grafiek de x-as. Je kunt de functiewaarde zo dicht bij 0 krijgen als je wilt door x voldoende klein te nemen. De x-as is de horizontale asymptoot.
Als b > 0 en 0 < g < 1, is de grafiek dalend. Naar rechts (voor toenemende x) nadert de grafiek naar de x-as, de horizontale asymptoot.
Als b < 0 en 0 < g < 1, is de grafiek stijgend. Naar rechts (voor toenemende x) nadert de grafiek naar de x-as, de horizontale asymptoot.
Als b < 0 en g > 1, is de grafiek dalend. Naar links (voor afnemende x) benadert de grafiek de x-as, de horizontale asymptoot.
Als g = 1 is de grafiek de horizontale lijn y = b.

Exponentiële vergelijkingen zoals b · g^x = a los je op met de grafische rekenmachine. Bij exponentiële ongelijkheden gebruik je bovengenoemde eigenschappen.

‡

Voorbeeld 1

In het water van een meer is verontreiniging ontdekt, er wordt op een bepaald moment 40 mg/L (milligram per liter) van een bepaalde stof in het water aangetroffen. Gelukkig wordt deze stof op natuurlijke wijze afgebroken. De stof kan worden gemeten met een nauwkeurigheid van gehele mg/L. Het blijkt dat de concentratie exponentieel vervalt met 20% per dag.

Na hoeveel dagen is deze stof uit het meer verdwenen?

Antwoord

De "groeifactor" per dag is 0,80.
Op t = 0 is er 40 mg/L gemeten.
Voor de concentatie C (in mg/L) geldt dus: C(t) = 40 · 0,80^t.

Omdat de groeifactor tussen 0 en 1 ligt is dit een dalende exponentiële functie.
Echter, zo'n exponentiële functie komt nooit op 0 uit, hoe groot je t ook kiest. Er is sprake van een horizontale asymptoot met vergelijking C = 0.
Is de stof dan nooit verdwenen? Theoretisch inderdaad niet, maar in de praktijk is de stof niet meer meetbaar als de concentratie onder de 1 mg/L zakt (dat volgt uit de nauwkeurigheid van meten). Om te bepalen na hoeveel dagen de stof is "verdwenen" moet je daarom de ongelijkheid 40 · 0,80^t < 1 oplossen.

Dat doe je met de grafische rekenmachine. Je vindt: t > 16,5.

‡

Voorbeeld 2

In een stedelijk gebied liggen twee middelgrote steden: A met 750.000 inwoners en B met 620.000 inwoners op 1-1-2007. In A groeide het aantal inwoners de laatste jaren gemiddeld met 2,5% per jaar, in B was dat 3,1%.

Na hoeveel jaren is B groter dan A als deze ontwikkeling zo doorgaat?

Antwoord

De groeifactor van A is 1,025, die van B is 1,031.
Dat B harder groeit dan A is duidelijk.
Als A het aantal inwoners van A en B dat van B voorstelt, beide in duizendtallen, en t is de tijd in jaren vanaf 1-1-2007, dan zijn beide groeifuncties:

A(t) = 750 · 1,025^t
B(t) = 620 · 1,031^t

De bijbehorende grafieken maak je op de grafische rekenmachine en je bepaalt het snijpunt.
Ga na dat je t = 32,6138... vindt.

Conclusie: 33 jaar na 1-1-2007 is B groter als je er van uit gaat dat er steeds op 1-1-20XX wordt geteld.

‡

Voorbeeld 3

Een exponentiële functie heeft de vorm f(x) = b · g^x.
De grafiek gaat door de punten A(–2, 6) en B(4, 1).
Stel het bijpassende functievoorschrift op.

Antwoord

Er zijn algebraïsche methoden om dit te doen:

Eerst de groeifactor bepalen: als x van –2 naar 4 gaat wordt `f(x)` vermenigvuldigd met `1/6`.
Voor het grondtal g geldt daarom `g^6 = 1/6` en dus `g = (1/6)^(1/6)` = 0,7418...
Omdat f(4) = 1 is b ≈ 3,30.
Conclusie: f(x) ≈ 3,30 · 0,74^x.
Uit f(4) = 1 volgt: b · g⁴ = 1.
Uit f(–2) = 6 volgt: b · g^–2 = 6.
De onderste vergelijking geeft: `b = 6/(g^(-2)) = 6g^2`.
En dus: 6 · g² · g⁴ = 1.
Hiermee bereken je g en dan ga je verder zoals bij de eerste methode.

‡

Opgaven

Lees in Voorbeeld 1 over de exponentiële afname van de concentratie van een (verontreinigende) stof in het water van een meer.
1. Leg uit waarom de groeifactor per dag 0,80 is.
2. Breng de grafiek van `C(t)` in beeld op je grafische rekenmachine.
3. Bereken in twee decimalen nauwkeurig vanaf welk tijdstip de concentratie niet meer meetbaar is, dus `C(t) < 1/40`.

Bestudeer Voorbeeld 2.
1. Waaraan zie je dat `B` harder groeit dan `A`?
2. Ga na dat je voor het snijpunt van beide grafieken inderdaad `t = 32,6138...` vindt.
3. Een derde stad C is kleiner dan zowel A als B. Maar deze stad groeit heel snel, met 8,3% per jaar. Op 1-1-2009 is `C` (het aantal inwoners van C) even groot als `B`. Wanneer is `C` even groot als `A`?

In Voorbeeld 3 wordt uitgelegd hoe je het functievoorschrift opstelt van een exponentiële functie als twee punten van de grafiek zijn gegeven.
Stel het voorschrift op van de exponentiële functie `f` waarvan de grafiek gaat door `(10,200)` en `(14,350)`.

Verwerken

Iemand zet € 10000,- op een spaarrekening. De rente is 5% per jaar en wordt bijgeschreven op de spaarrekening.
1. Stel een bijpassend functievoorschrift op voor het saldo `S(t)` met `t` in jaren na het moment waarop het startbedrag op de spaarrekening is geplaatst. Schrijf op bij welke vensterinstellingen de grafiek goed in beeld komt.
2. Hoe lang duurt het voor het spaartegoed is gegroeid tot € 15000,-?
3. Hoe lang duurt het voor het spaartegoed zich verdubbeld heeft?

Een saldo van € 4000,- kan ontstaan zijn doordat ooit iemand € 1,- op een spaarrekening zette tegen 5% rente.
1. Wanneer moet die € 1,- dan op de spaarrekening gezet zijn? Een antwoord tot op een jaar nauwkeurig is voldoende.
2. Kun je dit antwoord ook vinden door een geschikte grafiek van `S(t) = 4000 * 1,05^t` te tekenen?
3. Stel je voor dat je de grafiek van `S` steeds verder naar links door trekt. Zal de grafiek ooit de horizontale as snijden? Licht je antwoord toe. Wat betekent dit voor de grafiek van `S`?

Op een afgelegen terrein wordt op 6-1-2007 een hoeveelheid radioactief afval gevonden. Aangenomen wordt dat dit afval er al tien jaar heeft gelegen. De straling blijkt 2000 Bq (becquerel) te zijn. Vier maanden later wordt de straling opnieuw gemeten. Deze blijkt nu ongeveer 1630 Bq te zijn. De straling neemt exponentieel af.
1. Hoeveel Bq was de straling een jaar geleden? En hoe groot is de straling over 2,5 jaar?
2. Stel een functievoorschrift op voor de hoeveelheid straling, afhankelijk van de tijd `t` in maanden. Neem `t = 0` op 6-1-2007.
3. Wat is het bereik van de functie bij vraag b?
4. Vanaf welke datum is de straling minder dan 1000 Bq?

Persoon A zet op 1-1-2000 € 2000,- op de bank tegen 4% rente per jaar.
Persoon B zet op 1-1-2000 € 1500,- op de bank tegen 6% rente per jaar.
1. Geef de functievoorschrift van het banktegoed `a(t)` van persoon A en het banktegoed `b(t)` van persoon B, waarbij `t` de tijd in jaren is na 1-1-2000.
2. Maak met de grafische rekenmachine de grafieken van de functies `a` en `b`. Bij welke vensterinstellingen komen de grafieken zo in beeld dat ook het snijpunt zichtbaar is?
3. Vanaf welke maand van welk jaar is het banktegoed van persoon B groter dan dat van persoon A?

Hier staan de grafieken getekend van twee exponentiële functies. Geef van beide functies het functievoorschrift.

Een huurder betaalt een huur van € 650,- en vindt de jaarlijkse huurverhoging van 5,5% te veel. Hij herinnert zich nog dat exponentiële groei veel harder gaat dan lineaire groei. Hij stelt zijn verhuurder daarom voor om de huur elk jaar met € 50,- te verhogen. Na hoeveel jaar gaat dit de huurder voordeel opleveren?

Testen

Een bepaalde hoeveelheid `H` groeit vanaf `t=0` volgens `H(t) = 200 * 1,03^t`.
1. Hoe zie je aan het functievoorschrift dat er echt van toename sprake is?
2. Vanaf welke waarde van `t` (in drie decimalen nauwkeurig) is de hoeveelheid 200% groter geworden dan op `t=0`?
3. Neem aan dat ook voor `t=0` deze hoeveelheid met 3% per tijdseenheid groeide. Voor welke waarden van `t` is de hoeveelheid kleiner dan 0,01?

Iemand betaalt op 1-1-2000 een huur van € 850,- per maand. Jaarlijks wordt in januari zijn huur met 5,5% verhoogd.
1. Stel het functievoorschrift op voor de huur per maand `H(t)` afhankelijk van de tijd `t` in jaren na 2000.
2. Vanaf welke datum is de huur hoger dan € 1000,- per maand?

De grafiek van een exponentiële functie `f` gaat door de punten `(2,80)` en `(8,200)`. Stel een bijpassend functievoorschrift op.