Reële exponenten

Inleiding

Je hebt in het kader van exponentiële groei allerlei rekenregels en eigenschappen van machten en hun exponenten opgebouwd. Deze eigenschappen van exponenten en machten zul je veel moeten toepassen. Daarom moet je die eigenschappen goed "in de vingers hebben".
Hoog tijd voor algebraïsche vingeroefeningen...

Je leert nu:

• werken met de rekenregels voor exponenten en machten.

Je kunt al:

• werken met negatieve en gebroken exponenten;
• de rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen van machten en voor machten van machten.

Verkennen

> Bereken: `(root[4](19^220))/(19^54)`

Uitleg

Om `(root[4](19^220))/(19^54)` te kunnen berekenen moet je de eigenschappen van machten goed beheersen.
Je rekenmachine laat je namelijk (zeer waarschijnlijk) in de steek.

Ga na, dat: `(root[4](19^220))/(19^54) = ((19^220)^(1/4))/(19^54) = (19^55)/(19^54) =19` Bekijk stap voor stap welke eigenschappen er zijn gebruikt.

‡

Opgaven

1. Neem de Uitleg door.
   1. Welke eigenschap van machten is er de eerste stap gebruikt om de wortel "weg te werken"?
   2. Welke eigenschap is er vervolgens gebruikt?
   3. En welke eigenschap als laatste?


2. Bereken nu zelf: `(31^25 * root[3](31^30))/((31^12)^3)`

Theorie

Voor elk positief grondtal g en voor willekeurige reële getallen a en b gelden de volgende eigenschappen van machten en exponenten:

• `g^0 = 1`

• `g^(-a) = 1/(g^a)`

• `g^(1/a) = root[a](g)`        mits a > 0.

• `g^(a+b) = g^a * g^b`

• `g^(a - b) = (g^a)/(g^b)`

• `(g^a)^b = g^a*b)`

‡

Voorbeeld 1

Hier zie je enkele berekeningen met behulp van de eigenschappen van machten.

• `(1/3)^(-4) = (1/(3^1))^(-4) = (3^(-1))^(-4) = 3^4 =81`
• `8^(2/3) = (8^(1/3))^2 = (root[3](8))^2 = 2^2 =4`
• `16^(1,5) = 16^(1+1/2) = 16^1 * 16^(1/2) =16 * sqrt(16) = 16 * 4 = 64`
• `27^(-2/3) = (27^(1/3))^(-2) = (sqrt(27))^(-2) = 3^(-2) = 1/(3^2) = 1/9`

‡

Voorbeeld 2

Hier zie je hoe je `x^(-1 1/2)` kunt schrijven zonder negatieve en/of gebroken exponenten:
`x^(-1 1/2) = 1/(x^(1 1/2)) = 1/(x^1 * x^(1/2)) = 1/(x sqrt(x))`

‡

Voorbeeld 3

Hier zie je hoe je `3x sqrt(x)` kunt schrijven als macht van `x`:
`3x sqrt(x) = 3 * x^1 * sqrt(x) = 3 * x^1 * x^(1/2) = 3x^(1 1/2)`

‡

Voorbeeld 4

Als je de grafiek bekijkt van de functie f(x) = 0,5^2x – 1, dan lijkt er sprake te zijn van exponentiële groei.
Laat zien dat dit inderdaad het geval is en bepaal de groeifactor (per eenheid x).

Antwoord

Met de eigenschappen voor machten vind je:

f(x) = 0,5^2x – 1 = 0,5^2x · 0,5^–1 = (0,5²)^x · 2 = 2 · 0,25^x

Dit functievoorschrift heeft de vorm van de formules voor exponentiële groei.
Het begingetal is dan 2 en de groeifactor is 0,25.

‡

Opgaven

3. Bekijk Voorbeeld 1. Bereken vervolgens met behulp van de eigenschappen voor machten:
   1. `3^(-2)`
   2. `81^(1/4)`
   3. `8^(1 2/3)`
   4. `2^(-3) * 2^7`
   5. `(3^(-12))^(1/4)`
   6. (2^2)^(-3) * (2^(-2))^(-4)
   7. (2^(1/2))^10


4. Bestudeer Voorbeeld 2. Schrijf nu op dezelfde manier de onderstaande machten van `x` zonder negatieve en/of gebroken exponenten.
   1. `2x^(2 1/3)`
   2. `(3x^(-1))/(2x)`
   3. `4x^(-3/4)`
   Oefen nu verder met:
   4. `2x^(1/2)`
   5. `2x^(2 1/2)`
   6. `1/3 x^(-4)`
   7. `3x^(-2 1/2)`


5. Bestudeer Voorbeeld 3. Schrijf als macht van `x`.
   1. `3/(2x)`
   2. `3/(2x sqrt(x))`
   3. `(4 root[3](x))^2`
   Oefen verder met:
   4. `2x sqrt(x)`
   5. `2/(x^3 * root[3](x^2))`


6. Gegeven is de functie `f` door `f(x) = 12 * 3^(-0,5x + 1)`.
   Laat zien dat dit een functie is van de vorm `y = b * g^x` en bereken `b` en `g`. (Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 4.)

Verwerken

7. Bereken:
   1. `(17^105)/(17^23) * 17^(-85)`
   2. `(1/2)^219 * 8^72`
   3. `(3/4)^231 * (4/9)^230 * 3^233`
   4. `(7^102)/((49^10)^5)`
   5. `(4/9 * root[3](64))^(1/2)`


8. Schrijf de volgende machten van `x` zonder negatieve en/of gebroken exponenten.
   1. `x^(-1)`
   2. `x^(-1/2)`
   3. `x^(3/4)`
   4. `x^(1 3/4)`
   5. `3x^(-1,5)`
   6. `1/2 x^(-2,75)`


9. Schrijf als macht van `x`:
   1. `1/(x^2 sqrt(x))`
   2. `1/(3 * root[4](x))`
   3. `1/2 sqrt(x)`
   4. `1/(2x sqrt(x))`
   5. `(3x sqrt(x))^3`


10. Schrijf de volgende uitdrukkingen als een macht van een grondtal `g`, voor zeker geheel getal `g <= 10`. Bereken zonder rekenmachine de uitkomst als een breuk. Laat steeds in tussenstappen zien hoe je de rekenregels voor machten gebruikt.
    1. `(2^3)^2`
    2. `2^3 * 2^2`
    3. `(2^(1/4))^8`
    4. `1000^(1/3)`
    5. `root[3](1000)`
    6. `7^(1/4) * 7^(3/4)`
    7. `625^(1/4)`
    8. `4^(2 1/2)`


11. Je kunt de rekenregels gebruiken om bepaalde uitdrukkingen in `x` te herschrijven tot macht van `x`. Je ziet er hier voorbeelden van. Laat zien hoe het herschrijven in zijn werk gaat.
    1. `(2x^3)^4 * -3x^5 = -48x^17`
    2. `(2x * x^2)/(x^4) = 2x^(-1)`
    3. `4x^2 * root[3](x) = 4x^(2 1/3)`
    4. `2/(x sqrt(x)) = 2x^(-1 1/2)`
    5. `1/2 x^(-1 1/3) = 1/(2x root[3](x))`
    6. `((2sqrt(x))^3)/(x^2 root[3](8x)) = x^(-5/6)`


12. Schrijf de volgende functievoorschriften in de vorm `f(x) = b * g^x`.
    1. `f(x) = 3 * 2^(0,5x)`
    2. `f(x) = 0,5^(-x + 2)`
    3. `f(x) = 9 * (1/3)^(4 - 2x)`

Testen

13. Schrijf de volgende uitdrukkingen als macht van 2 of 3. Bereken zonder rekenmachine de uitkomst als een breuk. Laat steeds in tussenstappen zien hoe je de rekenregels voor machten gebruikt.
    1. `3^(-5) * 9^2`
    2. `2^(-10) * (2^3)^5`
    3. `(1/2)^(-4)`
    4. `81^(-1/4)`


14. Herschrijf de volgende uitdrukkingen tot macht van `x`.
    1. `3x^5 * (2x^3)^2`
    2. `(x^2 * 3x^4)/(x^7)`
    3. `2/(sqrt(x))`
    4. `4x * root[4](x^2)`


15. Schrijf het functievoorschrift `f(x) = 6 * (sqrt(2))^(4x - 2)` in de vorm `f(x) = b * g^x`.