Reële exponenten

Inleiding

Tot nu toe kun je bij exponentiële groei eigenlijk alleen wat zeggen op tijdstippen die gehele positieve waarden hebben. En dat is natuurlijk niet wenselijk, je wilt weten hoeveel bacteriën er zijn na 1,5 uur, of 2,3 uur voor het begintijdstip.
Je gaat nu kijken hoe het met gebroken en/of negatieve exponenten zit.
Dat levert weer een paar nieuwe rekenregels voor machten op...
In het algemeen zul je leren werken met alle mogelijke reële exponenten.

Je leert nu:

werken met gebroken en/of negatieve exponenten;
groeifactoren omrekenen naar kleinere tijdseenheden;
alle rekenregels voor het werken met machten.

Je kunt al:

werken met formules voor exponentiële groei en afname;
de rekenregels voor het vermenigvuldigen en delen van machten en voor machten van machten;
werken met functies en grafieken.

Verkennen

De hoeveelheid bacteriën B in een petrischaaltje groeit volgens de formule B(t) = 6 · 2^t.
Het startmoment van meten t = 0 is vandaag om 12:00 uur.

> Hoeveel bacteriën zullen er geweest zijn om 11:00 uur? En om 10:00 uur?
> Hoe bereken je de hoeveelheid bacteriën als je terug gaat in de tijd? Kan dat ook zonder formule alleen met de groeifactor?
> Kun je ook het aantal bacteriën bepalen om 14:15 uur?
> Gaat dit ook zonder formule?

Uitleg

Voor het aantal bacteriën B in een petrischaaltje na t uur geldt B(t) = 600 · 2^t.

Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën.
Als je aanneemt dat dit voor 12:00 uur ook het geval was, dan zullen er om 11:00 uur `600 * 1/2 = 300` bacteriën in het schaaltje hebben gezeten. Het aantal bacteriën in voorgaande uren bereken je door telkens te delen door 2 (vermenigvuldigen met `1/2`).
Met het functievoorschrift `B(t) = 600 * 2^t` kun je het aantal bacteriën t uur na 12:00 uur berekenen voor positieve gehele getallen t. Wil je met deze formule ook het aantal bacteriën 1 uur voor 12:00 uur kunnen berekenen, dan moet: `B(-1) = 600 * 2^(-1) = 300`.
Blijkbaar moet je afspreken dat `2^(-1) = 1/2`.
Ook voor andere tijdstippen voor 12:00 uur wil je het functievoorschrift kunnen gebruiken. Dus moet gelden:

op tijdstip `t=-2` (10:00 uur): `600 * 2^(-2) = 600 * 1/2 * 1/2 = 150`;
op tijdstip `t=-3` (9:00 uur): `600 * 2^(-3) = 600 * 1/2 * 1/2 * 1/2 = 75`;

enzovoort. Je moet dus ook afspreken dat `2^(-2) = 1/(2^2)` en `2^(-3) = 1/(2^3)`, enzovoort.

Je spreekt in het algemeen af, dat `g^(-n) = 1/(g^n)`.
En daarmee kun je met negatieve exponenten rekenen. Let op: nu moet g niet 0 zijn!

Voor het aantal bacteriën B in een petrischaaltje na t uur geldt B(t) = 600 · 2^t.

Elk uur verdubbelt het aantal bacteriën, het groeit met groeifactor 2.
Het aantal bacteriën groeit ook met een vaste groeifactor per half uur, per kwartier, enzovoort. Voor de groeifactor per half uur schrijf je `2^(1/2)`. Voor de groeifactor per kwartier schrijf je `2^(1/4)`, voor de groeifactor per anderhalf uur schrijf je `2^(1 1/2)`, enzovoort.

Maar welk getal stelt `2^(1/2)` nu eigenlijk voor?

De groeifactor per uur kun je vinden door de groeifactor per half uur twee keer toe te passen: `2^(1/2) * 2^(1/2) = (2^(1/2))^2 = 2`.
Je weet dat `(sqrt(2))^2 = 2`.
Blijkbaar geldt: `2^(1/2) = sqrt(2)`.

Op dezelfde manier kun je beredeneren dat voor de groeifactor per kwartier geldt: `2^(1/4) = root[4](2)`.

Je spreekt in het algemeen af dat `g^(1/n) = root[n](g)`.
En daarmee kun je met gebroken exponenten rekenen. Let op: nu moet g positief zijn om altijd een reële uitkomst op te leveren.

‡

Opgaven

Neem het eerste deel van de Uitleg door. Kijk goed wanneer er negatieve exponenten worden gebruikt.
1. Wat moet je in de formule `B(t) = 600 * 2^t` invullen om het aantal bacteriën om 8:00 uur te berekenen?
2. Bereken dit aantal op twee manieren, met de functie en door terugrekenen met de groeifactor.

Neem het tweede deel van de Uitleg door. Kijk goed wanneer er gebroken exponenten worden gebruikt.
1. Wat moet je in de formule `B(t) = 600 * 2^t` invullen om het aantal bacteriën om 14:30 uur te berekenen?
2. Bereken dit aantal op twee manieren, met het functievoorschrift en met behulp van de groeifactor per half uur.

Bekijk opnieuw de groei van de kweek bacteriën in de Uitleg.
1. Hoe groot is de groeifactor per drie uur?
2. Hoeveel bedraagt de groeifactor per vier uur?
3. Hoeveel bedraagt de groeifactor per vijf uur?
4. Hoeveel bedraagt de groeifactor per half uur?
5. Hoe groot is de groeifactor per kwartier?
6. Gebruik de rekenmachine om het aantal bacteriën te berekenen na 5 uur, na 5,5 uur en na 5,75 uur.
7. Laat zien dat je het aantal bacteriën na 5,75 uur ook kunt berekenen door het aantal na vijf uur eerst te vermenigvuldigen met de groeifactor per half uur en daarna met de groeifactor per kwartier.

Theorie

Bij exponentiële groei moet je per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Dit getal heet de groeifactor die bij die tijdseenheid hoort. Als g de groeifactor is dan geldt: g > 0.
Om met negatieve exponenten en/of gebroken exponenten te kunnen werken zijn de volgende afspraken nodig:

negatieve exponenten: `g^(-n) = 1/(g^n)`
gebroken exponenten: `g^(1/n) = root[n](g)`

Deze afspraken gelden voor g > 0 en positieve gehele n.

Beide afspraken passen helemaal in de rekenregels voor machten, bijvoorbeeld:
`g^(-n) = (g^0)/(g^n) = 1/(g^n)`

Je hebt nu gezien dat een macht g^a voor g > 0 betekenis heeft als de exponent a en positief getal, nul, een negatief getal of een gebroken getal is.
In feite mag a elk reëel getal zijn.
En daarom kunnen bij exponentiële groei grafieken worden getekend in de vorm van een nette vloeiende kromme lijn. Hier zie je de grafiek bij B = 6 · 2^t.

‡

Voorbeeld 1

Thomas Robert Malthus leefde in het begin van de 19e eeuw. Hij dacht dat de groei van de wereldbevolking wel eens exponentieel zou kunnen zijn. In deze tabel zie je het aantal mensen op aarde in de negentiende eeuw.

jaartal	1800	1820	1840	1860	1880	1900
aantal mensen (in miljoenen)	1000	1102	1216	1340	1477	1629

Stel een model op voor de bevolkingsgroei in die tijd in de vorm van een passend functievoorschrift. Maak er een grafiek bij en bereken hoeveel mensen er in 1600 en in 2000 volgens dit model hadden moeten zijn.

Antwoord

Van 1800 – 1820 wordt het aantal mensen vermenigvuldigd met: 1102/1000 = 1,102.
Controleer dat dit voor elke volgende periode van 20 jaar ook ongeveer zo is.
Vanaf 1800 tot 1900 groeide de wereldbevolking met een vrijwel constante groeifactor per 20 jaar van 1,102. De groeifactor per jaar is dan `1,102^(1/20) ~~ 1,005`.
Neem je de tijd t in jaren met t = 0 in 1800 en het aantal miljoenen mensen N, dan is:
N(t) = 1000 · 1,005^t.

In 1600 zouden er dan 1000 · 1,005^–200 ≈ 369 mln mensen zijn geweest.
In 2000 zouden er dan 1000 · 1,005²⁰⁰ ≈ 2712 mln mensen zijn geweest. (In werkelijkheid waren dat er nog veel meer, namelijk meer dan 6000 mln!)

‡

Voorbeeld 2

Een spaartegoed staat uit tegen 5% rente per jaar.
De bank kan de rente per half jaar bijschrijven of zelfs maandelijks.
Met welke rentepercentages moeten ze dan werken? (Geef beide percentages in twee decimalen nauwkeurig.)

Antwoord

De groeifactor van het spaartegoed per jaar is 1,05.

Als g de groeifactor per half jaar is, kun je die op twee manieren uitrekenen:

uit `g * g = g^2 - 1,05` volgt `g = sqrt(1,05) ~~ 1,0247`
`g = 1,05^(1/2) ~~ 1,0247`

Het rentepercentage per half jaar is dus 2,47%.

Op dezelfde manier is de groeifactor per maand `1,05^(1/12) ~~ 1,0041` of `root[12](1,05) ~~ 1,0041`.
Het renteprecentage per maand is dus 0,41%.

‡

Voorbeeld 3

De ouderdom van hele oude voorwerpen worden bepaald met de zogenaamde C14-methode. C14 is een bepaalde variant van koolstof, een stof die in levende wezens voorkomt en dus ook in mummies, oude houten en leren voorwerpen, e.d. zit. Deze variant neemt exponentieel af te nemen als een levend wezen sterft. Voor dat moment is de concentratie C14 gelijk aan die in onze atmosfeer, na die tijd wordt die concentratie kleiner. De halveringstijd van deze stof is nauwkeurig bekend, namelijk 5736 jaar. Meer hierover in het artikel C14-datering in de Wikipedia.

Stel dat bij een bepaalde mummie de concentratie C14 is afgenomen met 40%.
Er is dan dus nog 60% van de oorspronkelijke concentratie over.
Hoe bereken je nu de leeftijd van die mummie?

Antwoord

De halveringstijd is 5736 jaar.
Als g de groeifactor per jaar is geldt dus: g⁵⁷³⁶ = 0,5.
Hieruit bereken je de groeifactor per jaar: `g = root[5736](0,5) ~~ 0,999879`.
Als t de leeftijd van de mummie is moet (0,999879)^t = 0,6.
Deze exponentiële vergelijking los je op met de grafische rekenmachine: t ≈ 4221 jaar.

‡

Opgaven

In Voorbeeld 1 zie je de groei van de wereldbevolking in de negentiende eeuw.
1. Bereken de aantallen mensen in 1600 en in 2000 met behulp van de groeifactor per 20 jaar. Ontstaan er verschillen met de antwoorden in het voorbeeld?
2. Doe dit nog eens met behulp van de groeifactor per 5 jaar.
3. Bereken met behulp van het groeimodel in Voorbeeld 1 het aantal mensen in 2008.
4. Wanneer zou volgens dit groeimodel het aantal mensen verdubbeld zijn t.o.v. het aantal in 1900?

Iemand zet op 1 juli 2007 een bedrag van € 7500,- op de bank vast tegen een rente van 4,2% per jaar. Hoeveel bedraagt zijn kapitaal op 1 januari 2008? Bekijk eerst Voorbeeld 2.
1. Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per jaar.
2. Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per half jaar.
3. Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per maand.

In Voorbeeld 3 wordt de C-14 methode voor het dateren van hele oude voorwerpen besproken.
1. Bereken de groeifactor per eeuw.
2. Bereken met behulp hiervan de leeftijd van een oud gebruiksvoorwerp waarvan de concentratie C-14 nog maar 28% is.

Verwerken

Een groeikern naast een grote stad groeit gedurende een aantal jaren volgens de formule `A(t) = 25000 * 1,1^t`.
`A(t)` is het aantal inwoners op tijdstip `t`, waarbij `t` de tijd in jaren is en `t=0` op 1-1-1995. Ga ervan uit dat de groeikern blijft groeien volgens de formule.
1. Hoeveel inwoners heeft de groeikern op 1-1-2005?
2. Hoeveel inwoners heeft de groeikern op 1-8-2005?
3. Hoe groot is de groeifactor per jaar?
4. Wat is het groeipercentage per maand?
5. Bereken de hoeveelheid inwoners op 1 januari in de jaren 1990 en 1985.
6. Laat zien dat `(1,1^(-5))^2 = 1,1^(-10)`. Gebruik hierbij de jaren 1995, 1990 en 1985.

Op 1 januari 2002 heeft iemand een kapitaal van € 7969,24 op zijn spaarrekening staan. Het kapitaal staat al jaren vast tegen een rente van 6%. De rente wordt ieder jaar bijgeschreven.
1. Bereken de grootte van het kapitaal op 1 januari 2001, 1 januari 2000 en 1 januari 1999.
2. In welk jaar heeft het kapitaal een grootte van `7969,24 * 1,06^(-6)`?
3. De spaarder heeft waarschijnlijk een rond bedrag ingelegd toen hij begon met sparen. Wanneer, denk je, is hij begonnen, en met welk bedrag?

Een kolonie bacteriën groeit exponentieel. In drie uur tijd is het aantal gegroeid van 1200 naar 3000.
1. Hoeveel bedraagt de groeifactor per 3 uur?
2. Bereken het groeipercentage per uur.
3. Welke formule kun je opstellen voor de groei van deze kolonie als `H(t)` de hoeveelheid bacteriën en t de tijd in uren is. Neem `t = 0` op het moment dat er 1200 bacteriën zijn.
4. Op welk moment waren er nog 600 bacteriën?

Sinds het begin van de jaartelling is de wereldbevolking steeds sneller gegroeid. Het aantal van 300 miljoen aardbewoners aan het begin van de jaartelling verdubbelde zich in vijftienhonderdjaar. In 1750 waren er 800 miljoen mensen en vijftig jaar later zelfs 1,2 miljard. Niet langer dan 150 jaar later was het aantal mensen op aarde opnieuw verdubbeld (tot 2,4 miljard in 1950). In 1986 telde de wereldbevolking 4,8 miljard mensen. In 1997 waren er 1 miljard mensen meer dan in 1986. In 2000 waren er 6 miljard mensen en in 2050 zal de aarde wellicht circa 9 miljard mensen tellen.
1. In de tekst is sprake van verschillende perioden.
  Bereken voor die perioden waarin de wereldbevolking zich heeft verdubbeld het groeipercentage per jaar.
2. Bereken ook voor de andere perioden het groeipercentage per jaar.

De radioactieve stof jodium-131 ontstaat bij een kernexplosie. Doordat de fall-out op het gras komt, krijgt het hooi een te hoog jodium-131 gehalte. Melk van koeien die met dit hooi gevoerd worden is niet meer voor consumptie geschikt. Na een ongeluk in een kerncentrale bevat hooi in de omtrek van de centrale zes keer het toegestane gehalte jodium-131. De halveringstijd van jodium-131 is acht dagen.
Hoeveel dagen moet het hooi bewaard blijven voordat het weer aan koeien gevoerd kan worden?

Testen

In een vijver is sterke algengroei. Op het tijdstip dat men begint met meten zit er in een liter water 10 gram algen. Deze concentratie algen blijkt per week met 15% toe te nemen.
1. Geef een formule waarmee je de concentratie algen kunt berekenen. Neem `t` voor de tijd in weken, met `t = 0` het tijdstip waarop men begon met meten.
2. Neem aan dat ook voor de meting de concentratie algen groeide met 15% per week. Hoeveel bedroeg de concentratie drie weken voor het begin van de meting? Rond af op één decimaal.
3. Hoeveel bedroeg de concentratie twee dagen voor het begin van de meting? Geef het antwoord weer in één decimaal nauwkeurig.
4. Na hoeveel dagen is de hoeveelheid algen verdubbeld?

Van een bepaalde soort vlinders daalt het aantal exponentieel. In een zeker seizoen (`t = 0`) zijn er ongeveer 6000 van deze vlinders. Vijf seizoenen later zijn er nog maar ongeveer 4300.
1. Bereken de groeifactor per jaar van deze soort vlinders.
2. Stel een formule op voor het aantal vlinders van deze soort als functie van `t` (in jaren).
3. Met hoeveel procent neemt het aantal vlinders per jaar af?
4. Hoeveel bedraagt de halveringstijd voor het aantal vlinders van deze soort?
5. Bereken na hoeveel jaar het aantal vlinders voor het eerst minder dan 1000 zal zijn.