Reële exponenten

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Exponentiële functies > Reële exponenten > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Exponentiële functies > Reële exponenten > Uitleg

Opgaven

1. Neem het eerste deel van de Uitleg door. Kijk goed wanneer er negatieve exponenten worden gebruikt.
   1. Wat moet je in de formule `B(t) = 600 * 2^t` invullen om het aantal bacteriën om 8:00 uur te berekenen?
   2. Bereken dit aantal op twee manieren, met de functie en door terugrekenen met de groeifactor.


2. Neem het tweede deel van de Uitleg door. Kijk goed wanneer er gebroken exponenten worden gebruikt.
   1. Wat moet je in de formule `B(t) = 600 * 2^t` invullen om het aantal bacteriën om 14:30 uur te berekenen?
   2. Bereken dit aantal op twee manieren, met het functievoorschrift en met behulp van de groeifactor per half uur.


3. Bekijk opnieuw de groei van de kweek bacteriën in de Uitleg.
   1. Hoe groot is de groeifactor per drie uur?
   2. Hoeveel bedraagt de groeifactor per vier uur?
   3. Hoeveel bedraagt de groeifactor per vijf uur?
   4. Hoeveel bedraagt de groeifactor per half uur?
   5. Hoe groot is de groeifactor per kwartier?
   6. Gebruik de rekenmachine om het aantal bacteriën te berekenen na 5 uur, na 5,5 uur en na 5,75 uur.
   7. Laat zien dat je het aantal bacteriën na 5,75 uur ook kunt berekenen door het aantal na vijf uur eerst te vermenigvuldigen met de groeifactor per half uur en daarna met de groeifactor per kwartier.

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Exponentiële functies > Reële exponenten > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

4. In Voorbeeld 1 zie je de groei van de wereldbevolking in de negentiende eeuw.
   1. Bereken de aantallen mensen in 1600 en in 2000 met behulp van de groeifactor per 20 jaar. Ontstaan er verschillen met de antwoorden in het voorbeeld?
   2. Doe dit nog eens met behulp van de groeifactor per 5 jaar.
   3. Bereken met behulp van het groeimodel in Voorbeeld 1 het aantal mensen in 2008.
   4. Wanneer zou volgens dit groeimodel het aantal mensen verdubbeld zijn t.o.v. het aantal in 1900?


5. Iemand zet op 1 juli 2007 een bedrag van € 7500,- op de bank vast tegen een rente van 4,2% per jaar. Hoeveel bedraagt zijn kapitaal op 1 januari 2008? Bekijk eerst Voorbeeld 2.
   1. Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per jaar.
   2. Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per half jaar.
   3. Beantwoord de vraag met behulp van de groeifactor per maand.


6. In Voorbeeld 3 wordt de C-14 methode voor het dateren van hele oude voorwerpen besproken.
   1. Bereken de groeifactor per eeuw.
   2. Bereken met behulp hiervan de leeftijd van een oud gebruiksvoorwerp waarvan de concentratie C-14 nog maar 28% is.

Verwerken

7. Een groeikern naast een grote stad groeit gedurende een aantal jaren volgens de formule `A(t) = 25000 * 1,1^t`.
   `A(t)` is het aantal inwoners op tijdstip `t`, waarbij `t` de tijd in jaren is en `t=0` op 1-1-1995. Ga ervan uit dat de groeikern blijft groeien volgens de formule.
   1. Hoeveel inwoners heeft de groeikern op 1-1-2005?
   2. Hoeveel inwoners heeft de groeikern op 1-8-2005?
   3. Hoe groot is de groeifactor per jaar?
   4. Wat is het groeipercentage per maand?
   5. Bereken de hoeveelheid inwoners op 1 januari in de jaren 1990 en 1985.
   6. Laat zien dat `(1,1^(-5))^2 = 1,1^(-10)`. Gebruik hierbij de jaren 1995, 1990 en 1985.


8. Op 1 januari 2002 heeft iemand een kapitaal van € 7969,24 op zijn spaarrekening staan. Het kapitaal staat al jaren vast tegen een rente van 6%. De rente wordt ieder jaar bijgeschreven.
   1. Bereken de grootte van het kapitaal op 1 januari 2001, 1 januari 2000 en 1 januari 1999.
   2. In welk jaar heeft het kapitaal een grootte van `7969,24 * 1,06^(-6)`?
   3. De spaarder heeft waarschijnlijk een rond bedrag ingelegd toen hij begon met sparen. Wanneer, denk je, is hij begonnen, en met welk bedrag?


9. Een kolonie bacteriën groeit exponentieel. In drie uur tijd is het aantal gegroeid van 1200 naar 3000.
   1. Hoeveel bedraagt de groeifactor per 3 uur?
   2. Bereken het groeipercentage per uur.
   3. Welke formule kun je opstellen voor de groei van deze kolonie als `H(t)` de hoeveelheid bacteriën en t de tijd in uren is. Neem `t = 0` op het moment dat er 1200 bacteriën zijn.
   4. Op welk moment waren er nog 600 bacteriën?


10. Sinds het begin van de jaartelling is de wereldbevolking steeds sneller gegroeid. Het aantal van 300 miljoen aardbewoners aan het begin van de jaartelling verdubbelde zich in vijftienhonderdjaar. In 1750 waren er 800 miljoen mensen en vijftig jaar later zelfs 1,2 miljard. Niet langer dan 150 jaar later was het aantal mensen op aarde opnieuw verdubbeld (tot 2,4 miljard in 1950). In 1986 telde de wereldbevolking 4,8 miljard mensen. In 1997 waren er 1 miljard mensen meer dan in 1986. In 2000 waren er 6 miljard mensen en in 2050 zal de aarde wellicht circa 9 miljard mensen tellen.
    1. In de tekst is sprake van verschillende perioden.
       Bereken voor die perioden waarin de wereldbevolking zich heeft verdubbeld het groeipercentage per jaar.
    2. Bereken ook voor de andere perioden het groeipercentage per jaar.


11. De radioactieve stof jodium-131 ontstaat bij een kernexplosie. Doordat de fall-out op het gras komt, krijgt het hooi een te hoog jodium-131 gehalte. Melk van koeien die met dit hooi gevoerd worden is niet meer voor consumptie geschikt. Na een ongeluk in een kerncentrale bevat hooi in de omtrek van de centrale zes keer het toegestane gehalte jodium-131. De halveringstijd van jodium-131 is acht dagen.
    Hoeveel dagen moet het hooi bewaard blijven voordat het weer aan koeien gevoerd kan worden?
    

Testen

12. In een vijver is sterke algengroei. Op het tijdstip dat men begint met meten zit er in een liter water 10 gram algen. Deze concentratie algen blijkt per week met 15% toe te nemen.
    1. Geef een formule waarmee je de concentratie algen kunt berekenen. Neem `t` voor de tijd in weken, met `t = 0` het tijdstip waarop men begon met meten.
    2. Neem aan dat ook voor de meting de concentratie algen groeide met 15% per week. Hoeveel bedroeg de concentratie drie weken voor het begin van de meting? Rond af op één decimaal.
    3. Hoeveel bedroeg de concentratie twee dagen voor het begin van de meting? Geef het antwoord weer in één decimaal nauwkeurig.
    4. Na hoeveel dagen is de hoeveelheid algen verdubbeld?


13. Van een bepaalde soort vlinders daalt het aantal exponentieel. In een zeker seizoen (`t = 0`) zijn er ongeveer 6000 van deze vlinders. Vijf seizoenen later zijn er nog maar ongeveer 4300.
    1. Bereken de groeifactor per jaar van deze soort vlinders.
    2. Stel een formule op voor het aantal vlinders van deze soort als functie van `t` (in jaren).
    3. Met hoeveel procent neemt het aantal vlinders per jaar af?
    4. Hoeveel bedraagt de halveringstijd voor het aantal vlinders van deze soort?
    5. Bereken na hoeveel jaar het aantal vlinders voor het eerst minder dan 1000 zal zijn.