Exponentiële groei

Inleiding

Groeiverschijnselen komen veel voor, denk aan het toenemen van geld dat je op de bank zet, het toenemen van de kosten als je meer km in de taxi zit, het groeien van de bevolking, enzovoorts. Soms is er sprake van toename met een vaste hoeveelheid per tijdseenheid, soms is er sprake van toename die afhankelijk is van de hoeveelheid zelf: hoe groter de hoeveelheid, hoe groter ook de toename per tijdseenheid. Bij exponentiële groei is de toename een vast percentage van de totale hoeveelheid.

Je leert nu:

werken met exponentiële groei en afname, bijpassende formules opstellen;
groeifactoren omrekenen naar grotere tijdseenheden;
enkele rekenregels voor het werken met machten.

Je kunt al:

werken met formules voor exponentiële groei en afname;
werken met de begrippen macht, grondtal, exponent en groeifactor;
werken met functies en grafieken.

Verkennen

Stel je voor dat je een heel groot vel papier hebt (A1). Het vel papier vouw je dubbel. Het dubbelgevouwen papier is dan 2 lagen dik. Vouw je dit papier nogmaals dubbel, dan is het papier 4 lagen dik. Een echt vel papier kun je natuurlijk steeds moeilijker dubbelvouwen. Wanneer je je het vel papier voorstelt als een onbegrensd vlak zonder dikte, kun je in principe blijven doorgaan met dubbelvouwen.

> Hoeveel lagen papier zijn er na 20 keer dubbelvouwen?
> Waarom zal dit met een A4tje nooit lukken?

Stel dat het onbegrensde vel papier 0,15 mm dik is.

> Hoe dik is het aantal lagen na 20 keer vouwen?
> Na hoeveel keer vouwen is het aantal lagen nog geen 10 cm dik?
> Van een ander vel papier is na net zo vaak vouwen het aantal lagen maar 5 cm dik. Hoe dik is dat papier?

Uitleg

Bacteriën planten zich voort door tweedeling. Elke bacterie brengt twee nieuwe bacteriën voort door zich te delen. Bij een geschikte constante temperatuur kan de groei van het aantal bacteriën als volgt verlopen:

tijd in uren	0	1	2	3	4	5	6
aantal bacteriën	600	1200	2400	4800	9600	19200	38400

Het aantal bacteriën wordt elk uur twee keer zo groot. Dat zie je door opeenvolgende waarden in de tabel op elkaar te delen:
`1200/600 = `2400/1200 = 4800/2400 = 9600/4800 = 19200/9600 = 2`
Je moet dus steeds met factor 2 vermenigvuldigen om het volgende aantal te vinden:

op tijdstip 0 zijn er 600 bacteriën;
na 1 uur zijn er 600 · 2 bacteriën;
na 2 uur zijn er 600 · 2 · 2 bacteriën;
na 3 uur zijn er 600 · 2 · 2 · 2 = 600 · 2³ bacteriën;

enzovoort. Het aantal bacteriën groeit exponentieel met groeifactor 2 per uur.

Voor het aantal bacteriën B na t uur geldt in dit geval de formule B(t) = 600 · 2^t.
Je ziet dat er machten worden gebruikt voor het herhaaldelijk vermenigvuldigen. In dit geval zijn het machten met grondtal 2, dit getal is de groeifactor per uur. Omdat de variabele t in de exponent zit, spreek je van exponentiële groei.

Voor het aantal bacteriën B na t uur geldt de formule B(t) = 600 · 2^t.
Door te denken aan bacteriegroei en deze functie B(t) kun je een aantal rekenregels voor machten afleiden.

Allereerst heb je op t = 0 volgens de formule 600 · 2⁰ bacteriën. Omdat je weet dat dit precies 600 moet zijn is: 2⁰ = 1.

Na 3 uur heb je 600 · 2³ en 4 uur later 600 · 2³ · 2⁴. Dit is het aantal bacteriën na 7 uur, dus 600 · 2⁷. Conclusie: 2³ · 2⁴ = 2⁷. Als je machten vermenigvuldigt tel je de exponenten op.

Na 7 uur heb je 600 · 2⁷ en 4 uur eerder 600 · 2⁷ / 2⁴. Dit is het aantal bacteriën na 3 uur, dus 600 · 2³. Conclusie: 2⁷ / 2⁴ = 2³. Als je machten deelt trek je de exponenten af.

De groeifactor per uur is 2. Per drie uur is die groeifactor 2³ = 8.
Het aantal bacteriën na 12 uur kun je op twee manieren berekenen: 600 · 2¹² of 600 · 8⁴. Dus moet (2³)⁴ = 2¹². Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten.

Deze rekenregels gelden heel algemeen voor alle grondtallen en exponenten. Alleen met grondtal 0 moet je voorzichtig zijn...

‡

Opgaven

Bekijk het verhaal van de bacteriegroei in de Uitleg.
1. Wat versta je onder de 'groeifactor' per uur van het aantal bacteriën?
2. Hoeveel procent bacteriën komt er elk uur bij?
3. Hoeveel bacteriën heb je na 12 uur? En hoeveel heb je er een uur later?
4. Hoeveel bacteriën heb je 3 uur later dan 12 uur na `t=0`? Van welke rekenregel is dit een voorbeeld?

Gebruik de rekenregels voor machten en herschrijf (`a!=0)`:
1. `a^4 * a^14`
2. `3a^3 * 4a^5`
3. `-5a^3 * (2a)^3`
4. `(15a^8)/(-5a^6)`
5. `((3a)^5)/((6a^4))`
6. `((2a)^4 * 0,5a^2)/(8a^6)`

Bekijk het laatste deel de Uitleg.
1. Hoeveel bedraagt `0^4`?
2. En hoe zit het met `0^0`? Welke moeilijkheid doet zich nu voor?
3. Waarom wordt grondtal 0 uitgesloten voor exponentiële functies, denk je?

Theorie

Bij exponentiële groei moet je per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Dit getal heet de groeifactor die bij die tijdseenheid hoort. Als g de groeifactor is dan geldt: g > 0.
Om vast te stellen of de groei exponentieel is, deel je opeenvolgende waarden van de hoeveelheid op elkaar. Komt daar steeds hetzelfde getal uit, dan is er sprake van exponentiële groei. De hoeveelheid op t = 0 noem je de beginwaarde.
Als een hoeveelheid met steeds hetzelfde percentage groeit is er sprake van exponentiële groei. Bij een groei met p procent hoort de groeifactor: `g = 1 + p/100`.
Voor p > 0 neemt de hoeveelheid toe en is g > 1: exponentiële toename.
Voor p < 0 neemt de hoeveelheid af en is 0 < g < 1: exponentiële afname.

Bij exponentiële groei werk je met machten: vermenigvuldig je n keer hetzelfde getal g, dan schrijf je dat als gⁿ. Dit is een macht, de groeifactor g heet het grondtal, n heet de exponent, waarbij n (voorlopig) een positief geheel getal is.
Voor n = 0 is de afspraak: g⁰ = 1.
In het algemeen geldt voor een willekeurig grondtal g en willekeurige positieve gehele n en m de volgende rekenregels:
gⁿ · g^m = g^n + m `(g^n)/(g^m) = g^(n-m)` (gⁿ)^m = g^n · m

‡

Voorbeeld 1

Op 1 januari 2000 stond een bedrag van € 3500,00 op een spaarrekening.
De bank gaf op deze rekening een rente van 4% per jaar.
Neem aan dat dit alles vanaf 1-1-2000 niet verandert en stel een formule op voor het saldo S op deze rekening afhankelijk van de tijd t in jaren vanaf 1-1-2000. Maak een tabel die laat zien hoe het saldo zich ontwikkelde.

Antwoord

Bij een procentuele toename van 4% per jaar hoort een groeifactor van 1,04.
Op t = 0 was het saldo 3500 euro.
Een passende formule is daarom S = 3500 · 1,04^t.

Als je deze formule invoert invoert in de rekenmachine heb je snel een tabel.

‡

Voorbeeld 2

Een krant zag in een reeks van jaren het aantal jaarabonnementen dalen.

jaartal	2000	2001	2002	2003	2004	2005
aantal abonnementen (×1000)	970	941	913	885	859	833

Stel op grond van deze tabel een zo goed mogelijk passende formule op die het verloop van het aantal duizenden abonnementen A als functie van de tijd t in jaren beschrijft. Neem voor 2000 t = 0.
Als het aantal jaarabonnementen onder de 500.000 zakt raakt de krant in problemen. In welk jaar is dat et geval als dit verloop niet wijzigt?

Antwoord

De jaartallen nemen gelijkmatig toe. Deling van opeenvolgende aantallen abonnementen levert steeds (ongeveer) 0,97 op, dus de daling is een vorm van exponentiële groei. De groeifactor g ≈ 0,97 < 1, dus er is sprake van exponentiële afname.
Het aantal abonnementen neemt jaarlijks met 3 procent af.

Een passende formule is daarom: A(t) = 970 · 0,97^t.

Maak vervolgens een tabel van deze functie met de rekenmachine.
Ga na dat op t = 22 de waarde van A minder dan 500 is.
Op deze manier raakt de krant in 2022 in de problemen.

‡

Voorbeeld 3

Bereken `(256^100 * 64^200)/(1024^199)`.

Antwoord

Was je zo blij met je rekenmachine, laat ie je in de steek! Of niet soms?
Dit moet je zonder rekenmachine kunnen, gewoon met de rekenregels en met machten van 2.
Tel maar na: 256 = 2⁸, 64 = 2⁶ en 1024 = 2¹⁰.

En dus staat hier: `((2^8)^100 * (2^6)^200)/((2^10)^199) = (2^800 * 2^1200)/(2^1990) = (2^2000)/(2^1990) = 2^10 = 1024`.

Zo zie je maar weer dat de mens machtiger is dan zijn machine...

‡

Opgaven

Iemand zet op 1-1-2000 op een bankrekening € 800,- tegen 6% rente. De rente wordt jaarlijks op de bankrekening bijgeschreven. Er wordt verder geen geld op de bankrekening gestort of geld van de bankrekening gehaald.
Bekijk eventueel Voorbeeld 1.
1. Wat is de groeifactor per jaar van het tegoed op de bankrekening?
2. Hoeveel staat er op de bankrekening op 1-1-2005? Laat zien hoe je dat berekent.
3. Welke formule geldt voor het spaartegoed `S(t)`, waarin `t` de tijd in jaren na 1-1-2000 is?
4. Hoe groot is de groeifactor per vijf jaar? Bereken ook het groeipercentage per vijf jaar.
5. Laat met berekeningen zien dat je op de volgende manieren het tegoed op 1-1-2020 kunt berekenen:
  - `t=20` invullen in de formule;
  - het tegoed op 1-1-2000 vermenigvuldigen met de groeifactor per 20 jaar;
  - het tegoed op 1-1-2000 vijf keer vermenigvuldigen met de groeifactor per 4 jaar;
  - het tegoed op 1-1-2000 vier keer vermenigvuldigen met de groeifactor per 5 jaar.

Bekijk de tabel in Voorbeeld 2, waarbij sprake is van exponentiële afname.
1. Controleer dat de groeifactor per jaar inderdaad telkens ongeveer 0,97 is.
2. Welke formule vind je voor het aantal abonnementen `A(t)` als je `t=0` neemt in 2007?
3. Laat zien dat de krant in 2022 inderdaad in de problemen raakt.

Neem de tabel over en vul in:

procentuele toename per jaar 13 –6 0,3

groeifactor per jaar

1,15 0,98 3,95 0,01

Bekijk Voorbeeld 3.
Gebruik de rekenregels voor machten om de uitdrukkingen als één macht te schrijven:
1. `(2^214 * 2^80)/((2^12)^24)`
2. `(1/3)^83 * (3^40)^2`

Verwerken

In een ondiep meer van 1000 km² begint riet te groeien. Op 1-1-1995 is de oppervlakte van het met riet begroeide deel 2 km².
Vanaf dat moment wordt de oppervlakte van het met riet begroeide deel gemeten.
In 1998 constateert men dat de oppervlakte van het met riet begroeide deel elk jaar drie keer zo groot is geworden. Ga ervan uit dat het riet zich in hetzelfde tempo blijft uitbreiden.
1. Geef het functievoorschrift van het met riet begroeide oppervlakte `R(t)`, waarbij `t` de tijd in jaren is.
2. Maak een tabel bij deze functie voor de eerste vijf jaar.
3. Na hoeveel jaar is het hele meer begroeid met riet?

Schrijf als één macht:
1. `2^4 * 2^3`
2. `(2^3)^2 * 2^4 + 2^3 * 2^7`
3. `(2^512)/(2^509)`
4. `(2^53)^3 * (1/2)^100`

In het jaar 2000 zijn er in een natuurgebied 5000 herten. Uit tellingen is gebleken dat dit aantal met 4% per jaar daalt.
1. Stel een formule op voor de 'groei' van het aantal herten vanaf het jaar 2000.
2. Bereken het aantal herten in het jaar 2010.
3. Bereken het groeipercentage per tien jaar.
4. In welk jaar is het aantal herten voor het eerst gehalveerd?

Schrijf als één macht:
1. `(3^214)/(3^211)`
2. `3^110 * (1/3)^109`
3. `((3^16)^10)/(3^100 * 3^60)`
4. `(3/4)235 * (4/3)^236`

Een kapitaal van € 10000,- wordt gedurende 10 jaar belegd in aandelen. In de tabel zie je de groei van het kapitaal in de eerste 6 jaar.

tijd in jaren 0 1 2 3 4 5 6

kapitaal in euro 10415 10850 11295 11760 12250 12750 13280

Onder rendement wordt hier verstaan de procentuele toename van het belegde kapitaal per jaar.
1. Maak duidelijk dat het kapitaal in de eerste 6 jaar bij benadering exponentieel toeneemt.
2. Bereken voor deze periode het rendement (per jaar).
3. Maak een tabel van een kapitaal van € 10000,- dat 10 jaar wordt belegd bij een rendement van 8% per jaar.
4. Na hoeveel jaar is dit kapitaal verdubbeld?
5. Iemand belegt een kapitaal van € 10000,- gedurende 10 jaar. Stel dat hij de eerste 5 jaar een rendement van 14% per jaar behaalt en de daarop volgende 5 jaar 4% per jaar. Bereken het kapitaal `K` na 5 jaar en na 10 jaar.
6. Laat met een berekening zien of het de belegger meer oplevert in vergelijking met de vorige situatie als het rendement de eerste 5 jaar 4% is en de volgende 5 jaar 14%.

Testen

Iemand betaalt een huur van € 950,- (per maand). Er wordt een jaarlijkse huurverhoging verwacht van 4%.
1. Stel een formule op waarmee je voor volgende jaren de huur per maand kunt berekenen.
2. Maak een tabel waarmee je kunt uitzoeken hoe lang het duurt tot de huur meer dan € 1300,- per maand is geworden.
3. Hoe groot is de groeifactor van de maandelijkse huur per 4 jaar?
4. Bereken met behulp van de groeifactor per 4 jaar de groeifactor per 20 jaar.
5. Bereken het groeipercentage per 20 jaar.
6. Na hoeveel jaar is de huur per maand voor het eerst meer dan verdubbeld?

Schrijf als één macht: `(17^11 * 17^54)/((17^4)^21)`.

Iemand koopt voor € 5000,- aandelen. In de volgende jaren blijkt dat de aandelen elk jaar 12% in waarde dalen.
1. Stel een functievoorschrift op voor de waarde van de aandelen `W(t)`, waarin `t` de tijd in jaren sinds de aankoop van de aandelen is.
2. Na hoeveel jaar is de waarde van de aandelen minder dan € 1000,- geworden.
3. Bereken het groeipercentage per vijf jaar.
4. Met welk getal moet je de waarde na vijf jaar vermenigvuldigen om de waarde na tien jaar te krijgen? Bereken de waarde na tien jaar.
5. Bereken het groeipercentage per tien jaar.

procentuele toename per jaar	13	–6	0,3
groeifactor per jaar				1,15	0,98	3,95	0,01

tijd in jaren	0	1	2	3	4	5	6
kapitaal in euro	10415	10850	11295	11760	12250	12750	13280