Exponentiële groei

Inleiding

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Exponentiële functies > Exponentiële groei > Inleiding

Probeer de vragen bij Verkennen zo goed mogelijk te beantwoorden.

Uitleg

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Exponentiële functies > Exponentiële groei > Uitleg

Opgaven

  1. Bekijk het verhaal van de bacteriegroei in de Uitleg.
    1. Wat versta je onder de 'groeifactor' per uur van het aantal bacteriën?
    2. Hoeveel procent bacteriën komt er elk uur bij?
    3. Hoeveel bacteriën heb je na 12 uur? En hoeveel heb je er een uur later?
    4. Hoeveel bacteriën heb je 3 uur later dan 12 uur na `t=0`? Van welke rekenregel is dit een voorbeeld?

  2. Gebruik de rekenregels voor machten en herschrijf (`a!=0)`:
    1. `a^4 * a^14`
    2. `3a^3 * 4a^5`
    3. `-5a^3 * (2a)^3`
    4. `(15a^8)/(-5a^6)`
    5. `((3a)^5)/((6a^4))`
    6. `((2a)^4 * 0,5a^2)/(8a^6)`

  3. Bekijk het laatste deel de Uitleg.
    1. Hoeveel bedraagt `0^4`?
    2. En hoe zit het met `0^0`? Welke moeilijkheid doet zich nu voor?
    3. Waarom wordt grondtal 0 uitgesloten voor exponentiële functies, denk je?

Theorie

www.math4all.nl > MAThADORE-basic HAVO/VWO > 4/5/6 VWO wi-a > Exponentiële functies > Exponentiële groei > Theorie

Bestudeer eerst de Theorie. In de opgaven wordt je naar de Voorbeelden verwezen.

Opgaven

  1. Iemand zet op 1-1-2000 op een bankrekening € 800,- tegen 6% rente. De rente wordt jaarlijks op de bankrekening bijgeschreven. Er wordt verder geen geld op de bankrekening gestort of geld van de bankrekening gehaald.
    Bekijk eventueel Voorbeeld 1.
    1. Wat is de groeifactor per jaar van het tegoed op de bankrekening?
    2. Hoeveel staat er op de bankrekening op 1-1-2005? Laat zien hoe je dat berekent.
    3. Welke formule geldt voor het spaartegoed `S(t)`, waarin `t` de tijd in jaren na 1-1-2000 is?
    4. Hoe groot is de groeifactor per vijf jaar? Bereken ook het groeipercentage per vijf jaar.
    5. Laat met berekeningen zien dat je op de volgende manieren het tegoed op 1-1-2020 kunt berekenen:
      • `t=20` invullen in de formule;
      • het tegoed op 1-1-2000 vermenigvuldigen met de groeifactor per 20 jaar;
      • het tegoed op 1-1-2000 vijf keer vermenigvuldigen met de groeifactor per 4 jaar;
      • het tegoed op 1-1-2000 vier keer vermenigvuldigen met de groeifactor per 5 jaar.

  2. Bekijk de tabel in Voorbeeld 2, waarbij sprake is van exponentiële afname.
    1. Controleer dat de groeifactor per jaar inderdaad telkens ongeveer 0,97 is.
    2. Welke formule vind je voor het aantal abonnementen `A(t)` als je `t=0` neemt in 2007?
    3. Laat zien dat de krant in 2022 inderdaad in de problemen raakt.

  3. Neem de tabel over en vul in:

    procentuele toename per jaar  13  –6 0,3



    groeifactor per jaar


    		1,15 0,98 3,95 0,01


  4. Bekijk Voorbeeld 3.
    Gebruik de rekenregels voor machten om de uitdrukkingen als één macht te schrijven:
    1. `(2^214 * 2^80)/((2^12)^24)`
    2. `(1/3)^83 * (3^40)^2`

Verwerken

  1. In een ondiep meer van 1000 km2 begint riet te groeien. Op 1-1-1995 is de oppervlakte van het met riet begroeide deel 2 km2.
    Vanaf dat moment wordt de oppervlakte van het met riet begroeide deel gemeten.
    In 1998 constateert men dat de oppervlakte van het met riet begroeide deel elk jaar drie keer zo groot is geworden. Ga ervan uit dat het riet zich in hetzelfde tempo blijft uitbreiden.
    1. Geef het functievoorschrift van het met riet begroeide oppervlakte `R(t)`, waarbij `t` de tijd in jaren is.
    2. Maak een tabel bij deze functie voor de eerste vijf jaar.
    3. Na hoeveel jaar is het hele meer begroeid met riet?

  2. Schrijf als één macht:
    1. `2^4 * 2^3`
    2. `(2^3)^2 * 2^4 + 2^3 * 2^7`
    3. `(2^512)/(2^509)`
    4. `(2^53)^3 * (1/2)^100`

  3. In het jaar 2000 zijn er in een natuurgebied 5000 herten. Uit tellingen is gebleken dat dit aantal met 4% per jaar daalt.
    1. Stel een formule op voor de 'groei' van het aantal herten vanaf het jaar 2000.
    2. Bereken het aantal herten in het jaar 2010.
    3. Bereken het groeipercentage per tien jaar.
    4. In welk jaar is het aantal herten voor het eerst gehalveerd?

  4. Schrijf als één macht:
    1. `(3^214)/(3^211)`
    2. `3^110 * (1/3)^109`
    3. `((3^16)^10)/(3^100 * 3^60)`
    4. `(3/4)235 * (4/3)^236`

  5. Een kapitaal van € 10000,- wordt gedurende 10 jaar belegd in aandelen. In de tabel zie je de groei van het kapitaal in de eerste 6 jaar.

    tijd in jaren 0 1 2 3 4 5 6
    kapitaal in euro 10415 10850 11295 11760 12250 12750 13280

    Onder rendement wordt hier verstaan de procentuele toename van het belegde kapitaal per jaar.
    1. Maak duidelijk dat het kapitaal in de eerste 6 jaar bij benadering exponentieel toeneemt.
    2. Bereken voor deze periode het rendement (per jaar).
    3. Maak een tabel van een kapitaal van € 10000,- dat 10 jaar wordt belegd bij een rendement van 8% per jaar.
    4. Na hoeveel jaar is dit kapitaal verdubbeld?
    5. Iemand belegt een kapitaal van € 10000,- gedurende 10 jaar. Stel dat hij de eerste 5 jaar een rendement van 14% per jaar behaalt en de daarop volgende 5 jaar 4% per jaar. Bereken het kapitaal `K` na 5 jaar en na 10 jaar.
    6. Laat met een berekening zien of het de belegger meer oplevert in vergelijking met de vorige situatie als het rendement de eerste 5 jaar 4% is en de volgende 5 jaar 14%.

Testen

  1. Iemand betaalt een huur van € 950,- (per maand). Er wordt een jaarlijkse huurverhoging verwacht van 4%.
    1. Stel een formule op waarmee je voor volgende jaren de huur per maand kunt berekenen.
    2. Maak een tabel waarmee je kunt uitzoeken hoe lang het duurt tot de huur meer dan € 1300,- per maand is geworden.
    3. Hoe groot is de groeifactor van de maandelijkse huur per 4 jaar?
    4. Bereken met behulp van de groeifactor per 4 jaar de groeifactor per 20 jaar.
    5. Bereken het groeipercentage per 20 jaar.
    6. Na hoeveel jaar is de huur per maand voor het eerst meer dan verdubbeld?

  2. Schrijf als één macht: `(17^11 * 17^54)/((17^4)^21)`.

  3. Iemand koopt voor € 5000,- aandelen. In de volgende jaren blijkt dat de aandelen elk jaar 12% in waarde dalen.
    1. Stel een functievoorschrift op voor de waarde van de aandelen `W(t)`, waarin `t` de tijd in jaren sinds de aankoop van de aandelen is.
    2. Na hoeveel jaar is de waarde van de aandelen minder dan € 1000,- geworden.
    3. Bereken het groeipercentage per vijf jaar.
    4. Met welk getal moet je de waarde na vijf jaar vermenigvuldigen om de waarde na tien jaar te krijgen? Bereken de waarde na tien jaar.
    5. Bereken het groeipercentage per tien jaar.